Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Аналогично, сначала по явной схеме нторого порядка точности вычисляется вторая производная, которая обозначается через зт и хранится в соответствующем массиве. Таким образом, 174 Д1. Методы реюения ураенееия переноса еикря порядка точности могут быть получены с помощью второго диагонального аппроксиманта Паде Л де кье 1с+~+ 2 (Яе+ Рен) + 12 (5' 5ге~) =О. (3.362) Это уравнение позволяет объединенной системе уравнений для г' и 5 сохранить как четвертый порядок точности, так и трех- диагональный вид матрицы вплоть до границы.
Таким образом, данная форма проще и точнее, чем обычные пятиточечные выражения. Используя компактную схему в неявном методе чередующихся направлений (см. равд. 3.1.16), Херш ]1976] рассчитал двумерные стационарные течения вязкой жидкости при малом числе Рейнольдса. Г1ри помощи компактной схемы четвертого порядка удалось достигнуть экономии машинного времени в 20 раз и объема машинной памяти в 3 раза по сравнению со схемой второго порядка (примерно при той же точности).
Граничные условия для вихря брались с предыдущего слоя по времени (как это обычно делается в том случае, когда интерес представляет только стационарное решение), что приводило к потере точности по времени. Трехточечные компактные разности можно также применять для построения схем шестого и более высокого порядка точности (Херш, личное сообщение). В схеме Рубина — Хосла ]1975], основанной на аппроксимации сплайнами, вводится перслеепный еааг по пространственной сетке, и в этом случае порядок ошибки для Р остается 0(Л'), но порядок ошибки для 5 уменьшается до 0(Л').
Для ознакомления с разностными схемами высокого порядка точности, а также со спектральными и псевдоспектральными схемами рекомендуются монография Крайса и Олиджера ]1973] и обзор Орсага и Израэли ]1974]. Важно отметить, что даже правильные и равномерно точные во всех точках схемы высокого порядка не решают проблему сеточного числа Рейнольдса, описанную в равд. 3.1.8. В самом деле, колебания, возникающие при Ке, ) 2 при использовании разностей высокого порядка, часто увеличиваются. По-видимому, неблагоприятные оценки схем высокого порядка точности, приведенные во многих ранних исследованиях, можно отнести за счет недостаточного понимания роли ограничения па ме„которое, возможно, является самой сложной проблемой вычислительной гпдродинамики; см.
Роуч ]1976]. В заключение заметим, что точность не является единственным соображением при выборе метода. Суммарные затраты, как машинного времени, так и времени человека, часто играют главенствующую роль. Суммарные затраты должны включать как затраты на проведение серийных расчетов, так и затраты 2.2.1. Прямые мегоди решения уравнений для функции гока 175 на разработку программы для ЭВМ, причем последние в значительной мере зависят от простоты метода.
Сложные методы затрудительны для программирования, проверки и особенно для отладки по сравнению с простыми методами, что становится более важным в случае областей с границами сложной формы и прн включении дополнительных факторов, например химических реакций. Ясно, что выбор наилучшего метода отнюдь не очевиден. 3.2. Методы решения уравнений для функции тока В предыдущих разделах была рассмотрена только одна из трех частей полной задачи динамики несжимаемой жидкости, а именно решение параболического уравнения переноса вихря. Прн этом решалась задача с начальными данными, т.
е. задача «маршевого» типа по времени. Рассмотрим теперь вторую часть полной задачи, а именно методы решения эллиптического уравнения Пуассона (2.13) для функции тока ф: ве,~ веф ~уефа (3.363) Здесь имеет место краевая задача, для решения которой требуются другие методы, Мы будем рассматривать решение уравнения Пуассона с двумя типами граничных условий вдоль различных частей границы: либо с условием Дирихле, когда на границе известны значения функции вр, либо с условием Неймана, когда на границе известны значения нормальной производной двр1дл. Именно вопрос о том, когда эти условия являются подходящими, составляет заключительную часть полной задачи и будет рассматриваться в равд.
З.З. Дискретизированная форма уравнения Пуассона зеву Веф — + — =~ охе ауе использующая разности второго порядка, представляет собой пятиточечный шаблон (Том и Апельт [1961] ) + '~~ ' '~ =ьц, (3.365) Лхе Ьуе где ~и~ известно. 3.2.!. Прямые методы В прямоугольной области, где гпах(= У и гпах)= е', уравнения (3.365) и граничные условия образуют в совокупности систему У =(! — 2) Х(У вЂ” 2) линейных алгебраических уравнений. Эта система является блочно-трехдиагональной, как 176 3.2 т11етоды решения уравнений для функции таки и система, которая была получена при использовании полностью неявной схемы для решения двумерного уравнения диффузии (см. равд. 3.1.!4), отличается от последней лишь наличием «источиикового» иеодиородиого члена ~ь! и также ие может быть решена при помощи метода прогонки.
Наиболее элементарными методами решения такой системы являются правило Крамера и различные варианты метода исключения Гаусса (см. Креиделл [1956] ). Для задач, прелставляющих практический интерес, М весьма велико и эти методы становятся иеподходящими, В правиле Крамера требуется выполнить невероятно большое число операций — приблизительно (%+1)1 умножений, и даже если имеется достаточно машинного времени, то точность решения будет фактически сведена иа иет ошибками округления '). Число умножений в метолах Гаусса прямо пропорционально Мз, и можно ожидать, что точность решения будет ухудшаться при !ч', больших пятидесяти (Хеммииг [1962]), в зависимости от деталей метода и длины слова в машпие.
Эти (и другие) методы обсуждаются в книге Уэстлейка [!968]. За последпие годы были разработаны высокоэффективные прямые методы. Дорр [1970] приводит обзор «блочных» методов, методов циклического исключения, методов тсизориого произведения, методов, используюпгих ряды Фурье, и некоторых других.
Ланкастер [1970] также представил обзор прямых схем. Другими недавно опубликованными прямыми метолами являются метод дискретного инвариантного вложения Эиджела [1968а], его подход динамического программирования (Эид>кел [1968б]), метод суммарного представления Положего [!965], а также Диденко и Ляшенко [1964) (см. также Чалеико [1970)), метод Ии [1969], метод иечетио-четиого исключения Базби с соавторами [1969, 19706] и метод расчета распространения вектора ошибки (метод БУР) Роуча [1971а, 1971б).
Хейз [1970) использовал интегральную формулу Грина для прямого решения уравнения Лапласа (ь = О). Эиджел и Калаба [!970) получили формулы метода с одним обходом расчетных точек, основанного па ипвариаитиом вложении. Другие прямые методы рассматривали Свифт [1971] и Цао [1970]. Особенно привлекательным является метод Буиемапа [1969], основанный иа нечетко-четиом исключении.
Соответствующая программа для ЭВМ достаточно коротка и замкнута, ие зависит от подпрограмм для быстрого преобразования Фурье ') Но времени, как правило, бывает недостаточно. Данные, приведенные форсайтом [1970], показывают, что на выполнение умножений дяя решения 26 уравнений при помощи правила Крамера на вычислительной матпиие СВС 6600 потребуется 1О" лет, что а 10' раз превышает возраст Вселенной (по соврсмеиньш оиснкаи1.
д 2,2. Метод Ричардсона и метод Либмана !77 и дает результаты, имеющие машинную точность. Но непосредственное применение этого метода ограничено прямоугольными областями с граничными условиями Дирихле на всей границе, причем ( — 1 н У вЂ” 1 должны быть степенями двойки.
(Возможные способы обобщения таких методов можно найти в разд, 3.2.9.) Этот метод использовал Фромм [1971[ для решения задачи в большой области с числом ячеек 128 Х 128. Программа здесь получается очень хорошей, но использованная в ней система индексации точек (М,<У) несопоставима с системой ((,У), применяемой в этой книге, т. е. систему (М,й() невозможно перевести в систему ((,У). Все эти методы обладают одним или несколькими из следующих недостатков: ограничены ') прямоугольными, (.- или Т-образными областями и выбором граничных условий типа чр = О; требуют большого объема памяти ЭВМ; неприменимы в случае системы координат, отличной от декартовой; из-за накопления ошибки округления могут быть использованы лишь для областей ограниченного размера (т.
е. для ограниченных значений ( н У); накладывают ограничение на выбор узлов расчетной сетки (например, ( — 1 и У вЂ” 1 должны иметь вид 2е, где (е — целое число); требуют громоздких предварительных вычислений для построения сетки; приводят к сложным программам и алгоритмам. Однако для решения больших задач все большее применение находят именно прямые методы, особенно методы, основанные па разложении в ряды Фурье. Наиболее гибкий и простой по сравнению с другими прямыми методами метод расчета распространения вектора ошибки обсуждается в разд. 3.2.8; в разд. 3.2.9 рассматриваются методы, используюшие ряды Фурье (и играющие все ббльшую и большую роль).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
