Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Таким образом, на современных ЭВМ целесообразнее по очереди устранять невязку в каждой точке, используя уже найденные новые значения, т.е. применять метод Либмана. Исторически метод Саусвелла интересен потому, что его усовершенствование привело к зкстраполяционному методу Либмана, более известного под названием метода последовательной верхней релаксации. 3.2.4. Метод последовательной верхней релаксации Практика применения (Фокс [1948]) метода Саусвелла показала, что для достижения наибольшей скорости сходимости нужно устранять не наибольшую невязку [ть>[, а ту невязку ть и для ликвидации которой требуется наибольшее «смещенне» [>[>»т»>! — >[>нт >[.
Такой прием, очевидно, может быть применен только достаточно квалифицированным вычислителем, который может быстро приближенно вычислить максимальное смещение при визуальном переборе невязок. Затем был развит другой подход. Было обнаружено, что оптимальная скорость сходимости достигается не приравниванием невязок нулю, а использованием «верхней» или «нижней» релаксации в зависимости от того, какие знаки имеют невязки в соседних точках: одинаковые или противоположные (Фокс [1948] ). (Общее понятие верхней релаксации было предложено Ричардсоном еще в 1910 г.) Такая идея с успехом была использована в методе Саусвелла, но теперь для реализации этого метода потребовался вычислитель, обладающий еще ббльшими мастерством и интуицией.
(Это требование фактически было даже выгодным (Фокс [1948]) при расчетах вручную, так как вычислитель, вероятно, менее утомлялся от однообразной работы!) Франксл [!950] и независимо от него Япг [1954] разработали способ применения схемы верхней релаксации для метода Либмана, удобный для электронных вычислительных машин. Франкел назвал его «экстраполированным методом Либмана» (см. задачу 3.21), а Янг — «методом последовательной верхней релаксации».
3/24. Метод последовательной верхней релаксации 183 Сложив уравнение (3.377) и тождество 0 = тйне / — ф[/, а затем перегруппировав члены, получим 1 'ь'Л'=ф'./+ 2(1+8 ) [ф[ць /+ %/-~',/+Р'"ь /+ь+ +()'зР",~/', — Ах~~, / — 2(1+8~)$в Д. (3,380) Теперь прн приближении к решению фецл-ъ.фн для всех ((,/) член в квадратных скобках становится равным нулю в силу уравнения (3.365), а уравнение (3.380) переходит в отвечаю/цее сходимости Равепство $х+,.' = фь р Если положить, что член в квадратных скобках равен нулю и что в точке ((,/) апнц.' =-фе, то получится метод Либмана. В методе последоваь/ ь! тельной верхней релаксации члеп в квадратных скобках в уравнении (3.380) умножается на релаксационный множитель (параметр релаксации) со, где го чь 1; таким образом, в общем слУчае невЯзка ть/ Ф О, но тн/- 0 пРп тйе+'-э ф'.
Метод последовательной верхней релаксации приводит к уравнениям р~ ).,ре+ ~ + наг„р» + Щ+! — Дхе~ 2 (1 + тЯе) фе Д (3 381) Для сходнмости требуется, чтобы 1 ( от ( 2. Франкел и Янг определили «оптимальное» значение параметра гос, причем их критерий оптимальности основывался на асимптотическом уменьшении наиболее стойкой ошибки. Оптимальное значение еос зависит от сетки, конфигурации области и типа граничных условий. Используя подход Франкела [1950! для решения задачи Дирихле в прямоугольной области размером (! — 1) Ах Х 2((У вЂ” 1)йр с постоянными Ах и Ау, можно показать, что =2 (3.382а) где сов (пд/ — 1)) + 8 еое (и/(/ 1)) ~ ' — [ 1+ Рх При то = гос число итераций й, необходимое для уменьшения невязки до некоторого заданного уровня, прямо пропорционально полному числу итерируемых уравнений тУ = (/ — 2)2( Х(7 — 2), тогда как для метода Либмана /е — А/'.
Поэтому метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром релаксации гов (иногда называемый оптимальным методом верхней релаксации) лучше для больших задач. Аналитическая оценка величины гоа имеется только для довольно узкого класса задач (Янг [1954], Митчелл [1969], Уорлик и Янг [1970!). Миякода [1962! показал, что если на всех 104 З.2 Методы реглекия уравнений для фи акции тока 100 10-1 10 т 10-4 10-з 10 з 1.0 ы-ы 1,5 2.0 Рис.
3.1ба. Поведение итераций в методе последовательной верхней реяаксации в зависимости от величины параметра релаксации сь Размер сетки 7 = 7 =- 21, йх = йу, оптимальное значение м в этом случае <эе = 1.7295. По оси ординат отложена величина тпах ен на пятидесятой итерации. границах ставятся условия Неймана, то ые увеличивается. В тех случаях, когда на некоторых границах ставятся условия Днрихле, а на остальных условия Неймана, когда Лх или Лу переменны и когда рассматривается (.-образная область (и многие другие непрямоугольные области), параметр озо аналитически не определен, В таких случаях ото можно найти экспериментально, последовательно решая уравнения Лапласа с нулевыми граничными условиями при различных значениях ы (1 ( от.с, 2) и проверяя сходимость к решению 40",,=0 при больших 71.
(Величина пто не зависит от наличиЯ Ясточникового члена 1..) Нрн этом весьма важно, чтобы в начальное условие входили все компоненты ошибки (данному требованию легко удовлетворить, положив во всех внутренних точках тре, = 1). п1 185 3.2 4 Метод последовательной верхней релаксации !О О !.0 ы 'ы х,5 2.0 рис, 3.166. Поведение итераций в методе последовательной верхней релаксации в аааиснмости от величины параметра релаксации ы при тех же данных, что на рис.
3.16а. По оси ординат отложено относительное число итерации, необходимых длЯ выполнениЯ УсловиЯ хйма, — хР а„ = е. л+1 а Процесс экспериментального нахождения цхо затруднителен, так как обычно скорость сходимости резко меняется при изменении параметра ы в окрестности его оптимального значения тоо. Соответствуюший пример представлен на рис. 3.1ба и 3.16б.
Изменение кривизны приведенных на них графиков в окрестности о!о показывает, что обычно лучше брать ото с неболыпим избытком, чем с недостатком. Видно также, что выбор близкого к единице значения цх, например ох = 1.1, приводит к незначительному улучшению сходимости по сравнению со случаем о! = 1.
!86 3.2 Методьь решения ураененид для функции тока Поскольку уравпение Пуассона надо решать на каждой итерации уравнения переноса вихря, всегда имеет смысл экспериментально оценить величину еоь. Джейн [1967) предложил другой удобный в некоторых случаях способ оценки еоь из численных расчетов. Следуя Карре [196!), Стробридж и Хупер [1968), а также Хопер и Венструп [1970) при решении задач с осевой симметрией тоже оценивали еиь по прошествии нескольких первых итераций. Оценкой параметра тоь занимались и другие исследователи (Янг и Эйдсон [1970), ~Китко [1970) ).
Описанный здесь метод последовательной верхней релаксации является исходным методом «поточечной» последовательной верхней релаксации Франкела и Янга. В нем берутся значения с (й + 1)-й итерации в двух соседних с (~',1) точках (! — 1,1) и (й/ — 1). Можно несколько увеличить скорость сходимости при помощи «полинейной» последовательной верхней релаксации, когда используются «продвинутые» значения с (й+ 1)-й итерации в трех соседних точках.
Пусть обход расчетных точек ведется в направлении возрастания 1. Когда рассчитывается строка 11, значения в предшествующей строке 11 — 1 уже найдены на (й+ 1)-й итерации. Значения в строке 11 находятся по этим значепиям из строки 11 — 1 (й+ 1)-й итерации при помощи неявного решения для узловых точек строки 11 с разными значениями й что требует применения метода прогонки (см. приложение А). Эймс [1969, с. 147) указал, что при Лх = Лу-»0 число итераций, необходимое для сходимости решения прп расчетах по методу полинейной последовательной верхней релаксации, в Х/2 раз меньше, чем при использовании метода поточечной последовательной верхней релаксации.
Однако здесь на выполнение каждой итерации требуется больше времени, так как для решения используется неявный метод (прогонка). В численных экспериментах, выполненных Бао и Догертн [1969), был достигнут небольшой выигрыш в скорости вычислений по методу полинейной последовательной верхней релаксации, не окупавший дополнительных трудностей, связанных с методом прогонки.
Дорр [1969) получил оценки для величины тоо в случае применения метода полинейной последовательной верхней релаксации для решения уравнения Пуассона с граничными условиями Неймана. Из-за своей простоты и эффективности метод поточечной последовательной верхней релаксации является наиболее популярным из всех итерационных методов для решения уравнения Пуассона в задачах вычислительной гидродинамики. В последние годы широко применяются и несколько более сложные неявные схемы метода чередующихся направлений, которые будут рассмотрены ниже. 1В7 а2.5. Тактики и стратегия Одной из простейших легко программируемых модификаций метода последовательной верхней релаксации является использование на первой итерации метода Либмана при ш = 1, а затем расчет при о= во (Шелдон [1959], Карре [1961], Явг и Кинкейд [1969]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
