Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Па рнс. 3.18 представлен график величины Р = =!при для единичной ошибки Ем = 1, где () служит параметром. На этом же рисунке приведены данные о разрешающей способности вычислений, характеризуемой числом значащих цифр 5 в некоторых используемых в настоящее время в США вычислительных машинах. (Сокращения ВР, РР и НОР соответственно означают одинарную точность вычислений, удвоенную точность вычислений и удвоенную точность, обеспечиваемую специальным устройством.) В качестве примера к рис. 3.!8 рассмотрим вычислительную машину СОС 6600 с одинарной точностью вычислений, когда 5 = 14.46. При (1 = 1 и У/Лх = 20 имеем Я ж Р. Прн этом условии (7 = 21) можно ожидать, что разрешаемые ошибки в величинах фи а будут порядка единицы, а это неприемлемо.
Но 8.е.з. Метод расчета распространения вектора ошибки 20! Гт з Г4 Г5 Гб Гт Гз Г9 Гтз Гт4 Г4 Гз Гб Гзб Гт Рнс. ЗД9, Меток расчета распространения вектора ошибки лля областей нерегулярной формы. Есп — составляюшие нектара начальной ошибки, Р— составляющие вектора конечной ошибки. Стрелкой указано направление про- движения расчета. при 5 = 2 и У/Лх = 1О (при этом по-прежнему 7 = 2! ) имеем Р ж 7.5. В этом случае разность 5 — Р = 14.5 — 7.5 = 7, и поэтому можно ожидать, что разрешаемые ошибки в величинах зРт, т будут иметь порядок 10-т, а это обычно уже приемлемо. Разрешаемые ошибки в методе расчета распространения вектора ошибки отличаются от меры сходнмости или яевязки в итерационных методах.
Наибольшие разрешаемые ошибки 202 Ду Методы решения уравнений для функции гоко в методе расчета распространения вектора ошибки возникают на границе в конце обхода расчетных точек, в то время как во внутренних точках огиибки существенно меньше. Нсвязки в итерационных методах имеют наибольшую величину во внутренних точках области, в то время как заданные граничные значения остаются неизменными. Таким образом, разрешаемую ошибку порядка 10-' в величине зр на последней границе в рассматриваемом методе нельзя непосредственно сопоставлять с невязкой порядка 10-' для тр в неявной схеме метода чередующихся направлений и в методе последовательной верхней релаксации, Одним из преимуществ метода расчета распространения вектора ошибки по сравнению с другими прямыми методами является простота его приспособления к случаям областей со сложной границей и случаям различных комбинированных граничных условий.
Единственный момент, требующий разъяснения в случае применения метода для областей сложной формы, заключается в определении векторов начальной и конечной ошибки Е и Р. Два соответствующих примера приведены на рис. 3.19. Используемая здесь индексация Е и Е ие является единственной. Для каждого отдельного применения метода расчета распространения вектора ошибки надо соответственно определять его характеристики. Однако, поскольку наличие границ, находящихся на расстоянии более чем четыре или пять ячеек от какого-.либо внутреннего пути продвижения расчета, оказывает сравнительно слабое благоприятное воздействие на расчет величины е, можно ожидать, что данный метод будет чаще вссго ограничен величиной Р на рис.
3.18, вычисленной по наибольшему пути продвижения расчета в рассматриваемой задаче. Заметим также, что уравнения (3.404) и (3.405) можно использовать для рассмотрения неполных ячеек около нерегулярных границ (см. равд. 6.1, а также книгу Сальвадори и Барона [1961] ), Граничное условие тяпа Неймана приводит к условию нулевого градиента для е. Упраягнение. Показать, что любое граничное условие типа 1-1еймана лля функпии гу, т. е. дзугдя = с, гле с не обязательно равна нулю, в рассмотренном мстоле расчета распространения вектора ошибки приводит к условию де/дп = О. Например, если условие вдоль границы В 1 имеет вид г, и г, ! (3.
412) бу то после того, как выбраны предварительные значения зр',. „ Из него находятся величины ар,' !. Аналогично, расчет вектора 8.2,8. Метод расчета распространения вектора оитибки хОЗ ошибки по уравнению (3.405) для каждого пт1 начинают, принямая Е, = е,+1 е = 1, но вместо е,„,чп ~ = 0 теперь берут е.,+та =1. Условие типа Неймана вдоль границы В 3 чтт,! ч)ь ~ Лх (3.413) включается в расчет величин чр' и чр, проводимый по уравнению (3.404), а граничное условие (3.406) для ошибки на границе В 3 заменяется условнем еь т — — ег. т (3.414) Аналогично, любое условие типа Неймана на граннце В 4 приводит к условию еь, = е~ и р Если условие типа Неймана ставится на границах В 3 или В4, то оно оказывает несущественное влияние на характеристики ошибки, если же это условие ставится на границе В 1, то оно оказывает незначительное благоприятное влияние, а будучи поставленным на границе В 2, оно приводит к серьезным неблагоприятным эффектам.
В случае нерегулярной сетки численная реализация условий Роббина тоже проводится просто. Также легко можно решать трех- и п-мерные задачи, но обращение матрицы С может оказаться затруднительным. Хотя переход от одного измерения к двум сильно ухудшает характеристики ошибки, последующее увеличение размерности задачи приводит к быстро уменьшающемуся неблагоприятному влиянию. В методе расчета распространения вектора ошибки для конечно-разностной аппроксимации лапласиана (см. равд. 3.3.10) можно использовать пятнточечный шаблон с диагонально расположенными узловымп точками и девятиточечные шаблоны.
При этом неявная схема ухудшает характеристики ошибки, в то время как использование явной схемы с диагональным направлением продвижения расчета (решение для ч(и+ь т+,) улучшает их при малом /. Другая заслуживающая внимания модификация заключается в использовании пятнточечного аналога четвертого порядка точности для д'чр/дха в направлении, перпендикулярном направлению продвижения расчета. Это приводит к Увеличению Р на 12о/о пРи 1) = 1, что позволЯет также брать ббльшие 11 при соответствующем увеличении Р.
Метод расчета распространения вектора ошибок применим также и для других линейных эллиптических уравнений гидродинамики; кроме того, его можно использовать при итерационном подходе для решения нелинейных уравнений Пуассона с переменными коэффициентами (подробности можно найти в работе Роуча [1971а]). При помощи этого метода возможно прямое решение уравнения Рчр =/(чГ) (которое получается в неявном эйлеровом методе расчета движения сплошной среды (методе 204 З.2. Методы решения уравнений дяя функции тока 1СЕ) см, равд.
5.1) и некоторых электродинамических задач с внутренними условиями согласованности на контактных поверхностях. 3.2.9. Методы, использующие ряды Фурье Методы, использующие ряды Фурье, основаны на том факте, что точное решение конечно-разностного уравнения (3,365) может быть представлено в ваде разложения по собственным функциям, содержащего конечное число членов. Например, для прямоугольной области размером Х)к', У с количеством внутренних точек МХу)У (АУ=! — 2,М = 7 — 2) при постоянных Ьх и Ау и при тр = 0 на всех границах точное решение уравнения (3.365) можно записать в следующем виде (Дорр [1970]): ф' у =Ц и 1- 2. Н' у з!и х р (3.415) где х; =(У вЂ” 1)бх, а Н,, у (при 1 ( р - Ат) суть решения трех- диагональной системы разностных уравнений — „т (Нр,у-! — 2Нр,у+ Нр,уе!)+ ЛрНр.у= Ур,у~ (3 416) у причем Н,=Н,=0 (3,417) е ! Л, = —,(соз — ", — 1).
(3.418) (3.4! 9) Хокни [1965, 197!] показал возможность эффективного использования этого решения для расчетов в предположении, что АУ = 2е или АУ = 3 2", где й — некоторое целое число. В методе Хокни используется также нечетно-четное исключение (Дорр [19?О], Базби с соавторами [1970]), и его скорость зависит от применения быстрого преобразования Фурье (Кули и Тычки [1965], Пайпс и Хованесян [1969], Уэбб [!970]), которое имеется в библиотеке стандартных программ многвх вычислительных центров. Менее сложный и менее ограничительный метод был использован Уильямсом [1969], который рассмотрел также периодические условия.
Аналогичные методы развивали Бунеман [1969] и Огура [1969]. Для того чтобы полностью войти в курс дела, читателю рекомендуется ознакомиться 3 2еь Методы, иепоеьакиииие роды Фурье 205 с этими работами (см. также работу Колони и Рейнольдса (1970)'), поскольку упомянутые здесь методы выходят за рамки данной книги. Заметим, однако, что, хотя зти методы в своей основной форме довольно ограничены по типу граничных условий задачи, при известной модификации их можно применять и к более общим задачам. Рассмотрим сначала случай прямоугольной области с граничным условием Дирихле ф = 1(х,у), где всюду 1 ~ О. Введем вспомогательную функцию ф1, которая определяется как точное решение уравнения тоьр' = К с граничными условиями ф = О на всей границе. Затем введем вторую вспомогательную функцию ф", которая определяется как точное решение конечно-разностного уравнения Лапласа Уеьрп = О с граничным условием ьрп = 1(х,у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
