Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Дифференцируя выражение, определяющее вихрь, получаем дй д'и д'о д'ф д до ду ду' ду дх ду' дх ду ' (3.436) ') Б самом деле, для профиля Блазнуса в пограничном слое на стенке дзф/дуз = дти/ду' = О; численные расчеты показывают, что в этом случае разностные формулы первого порядка прнаодят к попсе точным результатам, чем разностпые формулы второго порядка. З.З Граннннме деловая 218 Из уравнения неразрывности (2.3) имеем до/ду = — ди/дк. Учитывая это и записывая (3.436) на стенке, находим (3.437) Второй член даи/дка~„равен нулю в силу условия прилппания (и = сопз( = 0).
Член д7/ду[„вычисляется по схеме с разностями назад, имеющей первый порядок точности: дС 1 +0(йу)= —., ~ . де 9 ду] ау аув м (3.438) Подставив это выражение для дв1Р/дуя[„в уравнение (ЗАЗ4) н разрешив относительно с„, получим условие Вудса для вихря на стенке: — — ю + 0(йуа). (3.439) При г,-ь со получается условие, соответствующее обтеканию плоской пластинки и отвечающее условию Вудса (3.439) с добавлением нестационарного члена. Даусон и Маркус [1970] установили, что нестационарный член д~ /д/ в условии (3,440) «весьма сильно снижает устойчивость н должен быть опущен». Условие Вудса с успехом использовал Расселл [1963]; см. также работы Лестера [1961[ н Майкла [1966].
Хын и Макано [1966] независимо вывели условие (3.439) и применили его для расчета течений при умеренных числах Ке (Ке = 300); аналогичное условие было получено и автором этой книги. Теоретические расчеты П. Дж. Тейлора [1968] указали на возможную неустойчивость, связанную с этим условием, прн больших сеточных числах Рейнольдса. В ходе численного эксперимента Ранчел с соавторами [1969] снова независимо пришли к условию (3.439)..Используя итсрационные методы для расчета стационарных течений, они (Ранчел с соавторами [1969]) обнаружили, что данная форма граничного условия второго порядка, вероятно, приводит к расходнмости, особенно при больших Ке и при переменных Лу.
Формулу второго порядка для с в осесимметричном случае оценивали Люгт н Рнмон [1970], сравнив ее с точным решением задачи об обтекании сплюснутого эллипсонда вращения; к сожалению, это решение пригодно только прн Рс = О. Онн рассмотрели выражение, включающее нестационарный член д(. /дб Записанное через локальный радиус кривизны г„это выраже. ние имеет следующий вид: з4 +,/лр — '/,ь +, + '/„лр'йе д~~/дг + 0(Луя). (3,440) 1 — Зу/~г,) + 3 ЗЗ/1(Вг) М.2. Стенка а расчетной сетке лераого тола 219 Наиболее часто используемая формула второго порядка точности для граничного условия для вихря была впервые предложена !венсеном [1959], а позднее Пирсоном [1965а]. Эта формула получается аппроксимацией значений зр в окрестности стенки полиномом третьего порядка с условием дф/ду[„= = и = 0 и имеет вид (см. также Брили [1970)) — тфм+ай -ь~ — Ф+а ! О(Ь а) 2 аут (3.441) Если эту формулу применять вместе с условием (3.441), то расчеты, проведенные по неявной схеме метода чередующихся ') Бердслп (1969) установил, что наилучшей формулой, совместимой с глобальным сохранением физических величин в осесимметричном случае, является выражение Г~ = (2/ — 1)фг,/((/ — '/,) Ьг'], тле г = /Ьг — максимальный радиус.
Прн больших / (г -ь со) это условие переходит в условие (3.436), Эту формулу позже применяли Уилкс и Черчилл [1966] для решения задачи о свободной конвекции при малом числе Грасгофа, но когда Сэмюелс и Черчилл [1967) продолжили эти расчеты, онн обнаружили, что решение неустойчиво, и вернулись к условию первого порядка точности (3.435). Вероятно, при больших числах Рейнольдса расчеты йенсена [1959] также были бы неустойчивы. Расчеты Торранса [1968] н расчеты Бао и Догерти [1969), в которых использовалось условие (3.441), тоже ограничивались умеренными числами Рейнольдса; см.
также работы Саусвелла [1946], Париса и Уитекера [!965). В дальнейшем при сравнении решения осеснмметричной задачи о вращающемся цилиндре с точным решением в одномерном случае Бердсли [1969) обнаружил, что формула йенсена (3.441) даже в случае, когда она устойчива, приводит в действительности к менее точным результатам, чем условие первого порядка '). До последнего времени было широко распространено мнение (предрассудок?), что неустойчивость условия (3.441) как-то связана с тем фактом, что в нем используется информация из точки и + 2, а такие схемы считались обреченными на неудачу. В работе Брили [1970], внесшей в этот вопрос ясность, было доказано, что это мнение неверно. Брили отметил, что представление ф в виде многочлена при выводе условия (3.441) не согласуется с определением и = дф/ду в точке в + 1, если пользоваться центральными разностями; требование согласованности здесь приводит к необходимости использовать для определения и следующую специальную формулу (только в точке и+ 1): и,= — Р[ = ф" ф ~' +' + 0(Л/т) (3.442) м+' ЬЛ (,эз 4 ау г/ дЗ.
ГраниЧнЫе услОВия 220 направлений, оказываются устойчивыми даже при больших числах Рейнольдса. (Конечно, действительно разумной связи между устойчивостью и «согласованностью» нет, причем наше объяснение неустойчивости по-прежнему не более чем упоминавшийся выше предрассудок. По мнению Брили, мы, возможно, просто заменяем несогласованный предрассудок согласованным.) Брили даже вывел формулу для граничного условия, основанную на интерполяционном многочлене Лагранжа четвертого порядка: — звз[з + ~984зы+з 27Иыч.з+4зу +з + 0(я з). (3.443) ьы 18 Дуз у Для согласованности здесь требуется, чтобы скорости в двух точках вблизи стенки вычислялись по особым формулам — 17з)зы+ 9з!зы+~ + 94зщ+з — з)э+з з О сз зз +!— с у), !4зуы — 86зуы4~+ !84зыч-з+4зуыч-з з Ося зз пы+з + ( су) (ЗА44а) (3.444б) и, кроме того, чтобы член д'зР/дуя в уравнении Пуассона был представлен в виде (3.445а) 29Чзы — 84зУы+з + 274зыч.з — 2зуыч.з — (3.4456) 6у' 1ы+з !8 Ьуз Эти формулы также устойчивы при больших Ке.
Значение 9 . полученное по формуле (3.443), очень мало отличается от значения, полученного по условию йенсена (3,441), так как полная ошибка аппроксимации при атом не меняется (Брили [19?О[). Но в неявной схеме метода чередующихся направлений итерации для апач ! (см. равд, 3.1,16) сходятся быстрее, можно проводить расчеты с большими величинами шагов по времени, а суммарное машинное время сокращается вдвое. Однако программа становится сложнее, так как формулы (3.445) при решении уравнения Пуассона с помощью неявной схемы метода чередуюшнхся направлений приводят к появлению членов в узлах, отстоящих от границы более чем на один н!аг; таким образом, расщепленные по времени неявные разностпые уравнения вдоль у в неявной схеме метода чередующихся направлений ие будут трехдиагональнымн.
Для того чтобы исключить эту дополнительную неявность в точках из+ 1 и со+ 2, Брили [1970[ применял простую модификацию метода исключения Гаусса. Может оказаться, что условия (3.445) препятствуют сходнмости при решении уравнения Пуассона методом после- 221 довательной верхней релаксации и ограничивают возможность использования многих прямых методов. (Метод расчета распространения вектора ошибки, рассмотренный в разд.
3.2.8, мог использоваться при обходе узловых точек в направлении х.) Рис. 3.23. Определение значения вихря на стенке, не параллельной оси х. а — пРонзпольный Угол наклона стенки Вп, о — Угол наклона стенки Вп = 45'. Для случая наклонной стенки, проходящей по диагонали через ячейки сетки, как показано на рис.
3.23, значение вихря на стенке можно найти при помощи формулы первого порядка точности (3.435) следующим образом. Значения на стенке в точках тр„ шз, со„ не являющихся узлами сетки, находятся так: где р = Ах~Ау — отношение шагов сетки. Аналогично вычисляются ~, и Е . Далее интерполяцией вдоль стенки определяются значения ~ на стенке в узлах шь гоз, тоз. Этот способ устойчив и, по-видимому, точен (Кемпбелл и Мюллер [1968) ). З.8.2. Стенка в расчетной сетке первого типа 2 (та зрие) Ьге Лпз = (Ьу соз О )т = Лхз 'е 1+ йз (3. 446а) (3. 4466) З.З.
Граничные условия 222 В частном случае, когда угол наклона стенки равен 45' (8 = 1), для точки (1ге,/гс), изображенной на рис. 3.23,б, получается — (3.447) Ьгаь гм — ла где Л = Лх = Лу (О'Лири и Мюллер [1969])'). Такой способ оказывается точнее, чем расчет по формуле 9Г -Ьгмм — А~м,гю л' (3. 448) так как значения зрх входящие в выражение (3.448), берутся в узлах, расположенных дальше от стенки, чем узлы, в которых берутся значения тР, входящие в (3.447). При рассмотрении уравнений движения вязкой жидкости может быть полезно также моделирование условия скольжения на стенке. В этом случае предполагается, что толщина пограничного слоя меньше, чем величина Лу. Это условие эвристически можно моделировать с помощью условия скольжения на стенке, как это делается и в равд, 3.3.5.
На стенке задается значение тр, а вихрь получается из условия Неймана (3. 449) '] Лналогнчную пропедуру, нспользующую оператор, построенный на патпточечном диагональном шаблоне (см. равд. 3.2.10), можно найти а книге Тома н Апельта (1961, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
