Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 54
Текст из файла (страница 54)
3.24). Можно сдвинуть ф-сетку относительно ~-сетки и в направлении х. Оказывается, что такой прием может даже привести к уменьшению ошибки аппроксимации при вычислении скорости, но при этом в решение уравнения Пуассона чачй = ть вносится дополнительная ошибка. Для решения уравнения Пуассона требуются значения ~ в узлах чр-сетки; эти значения мы обозначим через ~+. Учитывая обозначения на рис. 3.24 (которые могут быть выбраны и иначе), значения ~ч можно найти осреднением значений ~ в узлах ~-сетки; эти значения мы обозначим через ~'. Тогда ~,',,-'/,(~,',+ ~;,ь, + ~, „, + ~,„ь „,). /3.4бб) Составляющие вектора скорости в узлах ~-сетки, обозначенные через и' и о', находятся по значениям ~+ в узлах чр-сетки при Если сетку второго типа все-таки использовать для расчета вихря, то функцию тока определенно не следует рассчитывать на такой сетке. Условие прилипания и =(бф/бу) = О может быть сведено к Условию нУлевого гРадиента фь ы 1 = чйь;,.
ПРи этом возникает необходимость решать уравнение Пуассона с граничными условиями Неймана, что снижает скорость сходи- мости итерационного процесса, Еще важнее то обстоятельство, что эток прием не дает правильного значения чр на стенке. Если такой прием дает значение ч). =- О, то это означает, что ч)~;,;„ = 0 и в точках, расположенных на расстоянии Лп,'2 над стенкой. В результате над стещсой как будто появляется неподвижный слой жидкости толщиной Лп/2.
Таким образом, стенка окажется эффективно смещенной вверх на расстояние Лп/2 при расчете чр, но не при решении уравнений для ~, что, очевидно, приводит к несогласованности. Основная трудность заключается в том, что при решении уравнения Пуассона нельзя одновременно использовать оба граничных условия ф: = О и и,. = дчр/ду! = 0 вдоль одной и той же границы, поскольку при этом задача становится переопределенной, так как для ее решения достаточно либо условия Дирихле, либо условия Неймана.
Для уравнения Пуассона следует брать условие чр О. (См. также разд. 3.3.2 и задачу 3.27.) Функцию ф необходимо рассчитывать на сетке первого типа, которая, как показано на рис, 3.24, сдвинута на Лд/2 относительно сетки для ~. Скорость конвекции вихря ~ рассматривается в узлах ~-сетки и соответственно находится по значениям ф в узлах чр-сетки следующим образом: Змй Граничные условия 228 помощи следующих разностных формул: + "рс т ы зрд г + зрг-ь г+~ зрз г! 2 сзу ау + + — + ' ' 1. (3.4566) Гг 2 Ьх ах Условия на входной и на выходной границах потока также могут несколько усложняться. Например, при использовании сетки с шахматным расположением узлов значения зр на входе должны быть заданы на прямой, отстоящей на расстояние бх)2 от прямой, на которой заданы значения ~ на входе, что снова приводит к несогласованности, Сетка первого типа, очевидно, гораздо удобнее в применении, а также приводит к большей точности, и поэтому обычно рекомендуется использовать именно ее.
Использование сетки второго типа для расчета с и сетки первого типа (сдвинутой или с шахматным расположением узлов) для расчета тр обладает тем преимуществом, что здесь не требуется специального исследования узловой точки С, расположенной в вершине вы.
пуклого угла (см. рпс. 3.22 в равд. 3.3.2.а). Но это преимушество минимально, и поэтому для расчетов на стенке рекомендуется брать исключительно сетку первого типа. 3.3.4. Линия симметрии Если центральная граница В 1 на рис. 3.22 является разделяющей твердой пластиной, то на ней ставятся такие же граничные условия, как и на твердой стенке с условием прилипания. Если считать, что на этом рисунке представлена только верхняя полуплоскость симметричного течения около плоского уступа, то на прямой В 1 по-прежнему необходимо поставить условие тр = О, имеющее смысл только для докритических решений задачи о следе ') .
В этом случае прямая В 1 играет роль разделяющей пластины с условием скольжения, а граничное условие для вихря имеет очень простой вид. На всей центральной линии о = О, и поэтому до/дх = О. Далее, поскольку ско- ') В случае закритических режимов, когда возможно появление осиял. ляций н асимметрии в следе, необходимо рассматривать полную область, вводя кроме верхней границы еще и нижнюю границу (которая симметрична границе В 3 относительно прямой В 1; см.
рис 3.22). При этом точки сетки, лежащие на центральной линии, будут представлять собой регулярные внутренние точки. Дли ясследования гидродинамической устойчивости может представлять интерес расчет закритического режима; в этом случае условие симметрии накладывается даже при закритических значениях Ре. а.аб. Верхняя граница рость и симметрична относительно центральной линни; здесь ди/ду = О. Таким образом, Еш л =О. (3.457) Наряду с условием зр = О нельзя использовать условия симметрии для производных от зр, так как это переопределило бы задачу для уравнения Пуассона.
В случае осесимметричпого течения в цилиндрической системе координат имеем Ь = Ч Х 'тг и условие (3.457) по-прежнему выполняется. Но уравнения в этом случае удобнее записать для Г' = Г/г, где г — локальный радиус, причем на центральной линии г = О. Торранс [1968[ указал, что на центральной линия величина су хотя и ограничена, но не равна нулю. Ранчел н Вольфштейн [1969[, рассчитывая струю, ударяющую о стенку под прямым углом, брали условие симметрии ь = О вдоль прямой, образующей угол 45' со стенкой и с центральной линией струи ').
Строгая симметрия в этом случае имеет место только для потенциального течения, но в этой работе она принималась в качестве приближения для течения при больших значениях Рсе. З,З.б. Верхняя граница Верхняя граница (граница В 3 на рис. 3.22) также представляет большой интерес при постановке задачи. Конечно, можно выбрать такие физические задачи, в которых граничные условия на верхней границе очевидны; например, в задаче о течении в несимметричном расширяющемся канале граница ВЗ будет твердой стенкой с условием прилипания и на ней будут применимы формулы для расчета вихря, полученные в равд.
3.3.2. Величина т[> на границе В 3 постоянна и может быть найдена при помощи интегрирования профиля скорости и во входном сечении В 4 канала (см. разд. 3.3.6), Этой задачей занимался Кавагути [1965[. Если же рис. 3.22 рассматривать как нижнюю полуплоскость задачи о течении в симметричном расширяющемся канале, то в силу условий симметрии (как и в случае разделяющей пластины с условием скольжения на центральной липни в равд. 3.3.4) на границе ВЗ будем иметь ь= О. Величина тр в этом случае также получается интегрированием профиля скорости и па границе В 4.
Если же условия симметрии ставятся и на В 1, и на В 3, то это будет соответствовать элементарной части поля течения при обтекании бесконечного ряда ') Заметим, нто вихрь ь определяется векторным оператором = ~ у Х тг и поэтому ннварнантен по отношению к повороту системы координат. Таким образам, равенство ь = о будет справедяиво вдоль любой ли. нии симметрии назависимо от ее ориентаднгь Зд Граничные условия 230 (3.458) или Формулу (3.458) с успехом применяли Кемпбелл и Мюллер ]1968]. Другим усовершенствованием при моделировании физической стенки аэродинамической трубы является применение модели «стенка без трения». Значение ф (В 3) в этом случае остается ') Продолжая аналогию с аэродинамической трубой, заметим, что ирак.
тнчсскн двнженне стенки трубы с постоянной скоростью реализуется прн помощи двнжущейся по ролнкам ленты; прн нснытаннн автомобилей в аэродннамнческой трубе это используется для моделирования влияния близости дорожного полотна. прямоугольных тел (практическн они могут представлять собой, например, ряд ребер тсплообменника). Если рассматривается течение в неограниченной по у области, то на В 3 надо поставить условие отсутствия границы как при «свободном полете»; в этом случае выбор граничных условий уже не столь очевиден. Первое, что приходит на ум, это моделировать В 3 стенкой аэродинамической трубы с условием прилипания. Из экспериментов в аэродинамической трубе известно, что с увеличением расстояния между стенками трубы уменьшается «блокировка» трубы, а течение вблизи тела будет соответствовать течению при свободном полете тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
