Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Условия на входной границе нотона откуда плн окончательно до цн 1+ трт, т — 2$т с (3.468) дк Ьт ахт — "! =- Таким образом, на входной границе потока фиксируются тр н ди/ду, в то время как величина ~ = ди/ду — до/дх находится по значению ди/ду на входе и при помощи уравнения (3.486). Делались попытки использовать даже более «мягкие> условия, а именно получать величину до/дх1ьт линейной экстраполяцией вверх по потоку из внутренних точек или экстраполяцией Адамса — Бэшфорта. Такой способ при больших значениях Ке оказался приемлемым, но неэффективным, при малых же Ке он приводил к «блужданню» решения. Одной из удобных форм задания и(у) на входной границе является использование для этой величины (Роуч и Мюллер (1970) ) однопараметрнческого семейства профилей Польгаузена (см. Шлихтинг 11968]). Такой профиль, описываемый многочлепом четвертого порядка, получается в результате интегрирования уравнений пограничного слоя.
При этом параметр Польгаузена Л представляет собой безразмерный градиент давления, а координата т1 определяется как отношение у/8, где б — толщина пограничного слоя, Профиль и имеет следующий внд: и (В 4) = 2т1 — 2т1з + т1'+ 1/вЛ (т1 — Зт1т+ Зт1з — т14) (3 469) Можно также брать профиль Блазнуса или профили Фолкнера — Скан (Шлихтинг [1968)). Возможны два способа задания дискретизированных граничных условий во входном сечении потока.
В первом способе берутся дискретные значения тр, которые соответствуют решению дифференциальных уравнений во входном сечении. Эти значения получаются при помощи уравнения (3469) вычислением интеграла, например, по формуле Симпсона: вт фь т — — ~ и (В 4) ду. (3. 470) о Однако если затем численно продифференцнровать три ь чтобы найти ит,ь то полученные дискретные величины и(1,/) не будут соответствовать решению и(В 4) дифференциальных уравнений на границе В4. Второй способ заключается в дискретизации решения и(В4) и последующем определении фит таким образом, чтобы это было совместимо с принятым конечно-разност- 2за 83 Граничные условия ным представлением для иь н например уу~ г+~ — Еь с ~ пи!Т вЂ”вЂ” огдаа будем иметь (3.471) ,=0, (3А72а) фиме, = 2и, м.„,бу, (3,472б) фиу=2иь! убу+ фиг гн (3.
472в) При втором способе получаются правильные величины скоростей, но в результате дискретизации вносится ошибка в величины урн р Очевидно, что оба эти способа сходятся при йу-~.0. Поскольку наибольшее влияние на динамику течения оказывает и, а не ур, второй способ, заклуочающийся в задании во входном сечении потока профиля для и при допущении ошибок в величинах уг, кажется предпочтительнее. Заметим, что ошибка в ф, обусловленная дискретизацией, приводит к возникновению ошибки при вычислении толщины вытеснения 6* (Шлихтинг [!968)), если последнюю определять по формуле (3. 473) Эта величина обычно используется для того, чтобы приближенно определить положение границы пограничного слоя, отмечаемой индексом е: (3.475) 3.3.7. Условия на выходной границе потока Определение значений чр и ~ на выходной границе В 6 (рис. 3.22) является одной из наиболее интересных задач о вычислительных граничных условиях.
Необходимо каким-то обра- Уе (3.474) ие Чтобы получить результаты, согласующиеся с дискретными условиями на входной границе, необходимо находить 6" путем численного интегрирования (интегрирование известной функции) по формуле трапеций, Поскольку скорость и безразмерна, и=й/О„ величина 6* будет определяться интегралом "е 6'= ~ (1 — и) с!у. а Для соответствия всего численного решения результатам эксперимента необходимо, чтобы имело место соответствие граничных условий во входном сечении потока (см. Мюллер и О'Лири [1970[, Феннннг и Мюллер [1971], Шавит и Лаван [1971[). дд 2.
условия на выходной границе потока зом пренебречь деталями течения далеко вниз по потоку и прн этом обеспечить получение реального решения в области вверх по потоку от этой границы. Опять же обратимся к эксперименту в аэродинамической трубе; если протяженность «рабочсй части» достаточно велика, то течение в области далеко вниз по потоку не столь важно. Тем не менее опыт проведения расчетов показывает, что неустойчивость, зарождающаяся на выходной границе, может распространяться вверх по потоку и искажать решение.
Наша цель заключается в постановке условий, дающих максимально допустимую свободу потока на границе В 6 и в тоже время обеспечивающих решение задачи. Наиболее надежный с точки зрения устойчивости способ основан на полном задании условий на выходной границе. Том [1933), а также Аллен и Саусвелл [1955), Майкл [1966], Сон и Ханратти [1969), Гамилец и Рааль [1969] брали условия из решения, соответствующего потенциальному течению. Катсанис [1967] задавал на выходе (а также и на входе) равномерный поток с и = сопз! и о = О. Очевидно, такие условия непригодны для отрывных течений или для любых течений с вязким следом.
Для течений при малых Ке можно также взять решение Стокса или решение Озеена для дальнего следа, как это сделал Варапаев [1968]. Общая идея постановки граничных условий, отвечающих бесконечности на наиболее удаленной границе разностной сетки, была предложена Ричардсоном [1910). Кавагути [1965], Фридман [!970], а также Ли и Фын [1970] в выходном сечении брали, например, профиль Пуазейля, Заметим, что асимптотическое решение, используемое в качестве граничного условия, должно рассматриваться в переменных задачи; например, если конечно-разностные уравнения записаны в переменных кр и ~, то и решение Пуазейля должно быть записано для кр и ~.
Если и задается по имеющемуся решению дифференциальных уравнений, а к)т находится прн помощи квадратур, то прн этом возникает ошибка в результатах, обусловленная дискретизацией (аналогичная ситуация возникает н в случае постановки условий на входной границе потока; см, предыдущий раздсл). Для течений более общего вида, например таких, как асимптотическое течение в пограничном слое, решение дифференциальных уравнений будет отличаться от асимптотического конечно-разностного решения по всем переменным. На выходной границе предпочтительнее брать конечно-разностное решение асимптотического обыкновенного дифферент1иального уравнения [Кавагути [!965]). Вместо того чтобы ставить граничное условие вниз по потоку, соответствующее «бесконечности», можно использовать асимптотнческне решения, применимые на достаточно больших, 238 З.д Граничные условия но конечных расстояниях от интересующей области.
Плоткин [1968) и Иосидзава [1970) за функции на границе расчетной сетки брали решения уравнений пограничного слоя. Варжанская [1969] видоизменила это условие для уравнений пограничного слоя на большом расстоянии от интересующей области (область передней кромки плоской пластинки) и предложила «склеивать» уравнения Навье — Стокса и уравнения пограничного слоя, задавая непрерывность ф, о = — дф/дх и до/дх = = — д'ф/дх'. Это позволяет продвигать решение уравнений пограничного слоя вниз по потоку, но не решает проблему условия иа выходе для вихря в уравнениях Павье — Стокса, рассматриваемых в области вверх по потоку. Фромм [1963, 1964], а также Гоэйн и Притчетт [1970] ставили периодические условия па входе и на выходе, единственным достоинством которых была простота математическои постановки, Эти условия не соответствуют какой-либо реальной физической ситуации (за исключе1шем задачи о свободной однородной турбулентности) и оказались одним из источников неустойчивости, с которой столкнулся Фромм прп больших значениях Ке.
По-видимому, первое действитсльао успешное с вычислительной точни зрения «мягкое» граничное условие в выходном сечении предложили Парис и Уитекер [1965]. В задаче о течении в плоском канале они поставили условия о = — дф1дх = 0 и д~~дх = 0 на выходной границе и обнаружили, что этн условия предпочтительнее задания параболического профиля, так как они позволяют значительно сократить размеры разностной сетки прп той же точности в исследуемой области.
Обозначая шах1=/ и опуская индекс 1, эти граничные условия можно записать в следующем виде; в[О = йч — 1 1ю= е — ь Впоследствии эти условия применили Бао и Догерти [1969] при решении задачи об обтекании плоской пластинки. Опыт автора настоящей монографии по решению одномерного модельного уравнения переноса в невязком случае при помощи трехслойной по времени схемы «чехарда» (равд. 3.1.6) показал, что если применять в этой схеме условие (3.476б), то оно будет обладать дестабилизирующим свойством. Римок и Чен [1969], рассматривая схему «чехарда» и схему Дюфорта — Фрапкела (равд. 3.1.7) для вязких членов, ставили в следе за телом более жесткие условия (3.477а) (3.477б) 8.37 условия на внглодноа граню!е нотона 239 Опыт расчетов Аллена [1968] и Чена [1970] по решению уравнения Бюргерса подтвердил интуитивное предположение о том, что градиентное условие (3.476 б) для ~ приводит к меньшим ошибкам па границе, чем задание функции ~, как в условии (3.47?б) ').
Томан и Шевчпк [1966] предложили еще менее жесткие граничные условия на выходной границе потока. Они аппроксимировали условия д~(дх = 0 и дг/дх = О. Поскольку о = — дф?дх, из второго условия следует равенство даар?дха = О. Тогда линейная экстраполяция при посгоянном шаге Ах дает (3.478а) (3.478б) ЧО = 2Ч" т-1 — тат-т (3.479а) (3.479б) т'т= ЧЧ вЂ” е 2Ч'т-а+ 2"Ь-~ ьт = ьт-т льт-а+ 2ьт-ь Они получаются разложением в ряды Тейлора (с шагом 2Ах) около точки ? — 2 до членов второго порядка включительно. При таких условиях удалось получить решение задачи о течении около обратного уступа при Ке = 333/2, вычисленном по высоте уступа. Следуя Кавагути [1965], Хын и Ыакано [!966] выполнилп расчеты с более простым заданием параболического профиля пз выходной границе потока.
Онн установили, что это '! Ом также ста1аат Вараиасва 1!969]. Эти условия нлаеют второй порядок точности, если полагать д~/дх = 0 прп 1- '?т, а дттР1дха = 0 при У вЂ” 1. Экстраполяция длЯ Чь, выполиЯстсЯ здесь после каждой итеРации по методУ Либмана при решении уравнения Пуассона. В более поздней работе Фромм [1967] ставил условие (3.478б), что дало ему возможность существенно увеличить интервал исследуемых значений Кс по сравненшо с предшествующей работой (Фромм [1963]), где задавались периодические граничные условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
