Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 53
Текст из файла (страница 53)
126]. Справедливость такого подхода не доказана. В этом случае нельзя получить математически «согласованную» систему уравнений, поскольку толщина пограничного слоя пе может оставаться меньше Лу при Лу -ь О. Однако представляется, что такое условие обеспечивает разумное физическое приближение, Следует отметить, что при расчете течения нееязкой жидкости недостаточно формально положить 1/Ре = 0 в уравнении переноса вихря; необходимо также применять граничное условие скольжения. В действительности последнее более важно, чем простое предположение 1/г(е = О. Известно, что течения невязкой жидкости можно достаточно хорошо моделировать даже при таких малых числах гсе, как 300, если ставится граничное условие скольжения (Кенцер 11970а]). Из уравнения (2.12) легко видеть, что для течения невязкой жидкости ~, как и тр, постоянно вдоль любой стационарной линии тока, включая стенку с условием скольжения на пей, поскольку в этом течении 0~/01 = О.
Таким образом, для течения невязкой жидкости условие на стенке ь = сопз( является корректным граничным условием (константа определяется из условий в набегающем потоке). Д3.2, Стенка в расчетной сетке первого тило Необходимо сделать замечание о возможной переопределен- ности граничных условий. Для простоты рассмотрим некоторое течение в замкнутой полости, все стенки которой неподвижны. Если стенки, параллельные оси х, непроницаемы н на них удовлетворяется условие прилипання, то на пих и = 0 и о = О. Записывая эти условна через функцию тока тр, приходим к следующим соотношениям: дтг/дх = — и = О, откуда получаем, что = сопи[ (скажем О) вдоль стенки и дтпл/ду = и = 0 по нормали к стенке. Если рассматривать одно уравнение Пуассона Чаф = ~, то каждое из этих двух условий явится достаточным граничным условием для нахождения решения.
Очевидно, для уравнения Пуассона нельзя брать оба условия одновременно, так как это делает задачу переопределенной. Но условия ф- = 0 не достаточно длЯ того, чтобы опРеделить вихРо 9м на стенке; здесь, как н при выводе формул (3.435а) или (3.439), необходимо также испогпзовать условие дф/д[/~ = О. Поэтому за неимением иного граничного условия для вихря ~ используется градиентное условие дф/ду~ = О, а условие т[т„ = 0 берется для уравнения Пуассона для ф. Это единственно правильное распределение данных условий. (См, также задачу 3.27.) Несколько смущает то обстоятельство, что численное ретпение для ф не удовлетворяет ') условию бту/бу = (ту ч.1— — ф„)/Лу = О.
Этот парадокс возникает из-за того, что для бф/б[/[ используется формула первого порядка точности, в то время как решение полного уравнения ищется со вторым порядком точности. Если вместо системы двух уравнений второго порядка (для ф и 9) рассматривать одно уравнение четвертого порядка для ф, то для конечно-разностного уравнения потребуются и будут удовлетворяться оба условия для ф и дф/ду~ Таким образом, может показаться, что решение одного уравнения четвертого порядка будет более точным, по крайней мере в отношении граничных условий.
Однако производные четвертого порядка по пространственным переменным в окрестности стенки необходимо аппроксимировать нецентральными разностямн, и тогда полученные разностные формулы не будут соответствовать выражению бф/бд) = Ц +, — а[1„)Яу; значит, даже при конечно-разностном представлении четвертого порядка опять получается ф +1 чь ф . Следует сделать замечание н относительно определения точек отрыва и вторичного присоединения потока к стенке.
Легко показать, что в дифференциальных уравнениях ~„ = 0 как в точке отрыва потока, так и в точке вторичного прнсоеди- ') Израили [1972[ определяет ~"~' итерационным путем [при помощи нижней релаксации) так, чтобы на каждом временном слое выполнялось условие б4/бл[ = О. дд ) ронпчльге условия 224 нения. Если известны значения ~„, то положение точек, где й. = О, можно найти интерполяцией. Но такие проиитерполированные значения будут не лучше, чем рассчитанные значения на стенке, а, следовательно, положение точек отрыва и вторичного присоединения иотока нельзя определить с большой точностью. Способ определения указанных точек ио полученному решению должен, конечно, рассматриваться в любой работе (Лаван с соавторами [1969], Роуч и Мюллер [1970], Шаве и Ричардо [1970]).
В заключение отметим, что рассчитанные величины вихря на стенке можно использовать для определения граничной ошибки, связанной с некоторым нарушением свойства консервативности решения, что может служить для проверки сходимостп аппроксимации. (См. задачу 3.32.) Упражнение. Вынесся ') формулы первого и второго порядка точности для вихря па параллельной оси к стенке, если стенка а) движется с заданной скоростью и = !), и,„ = О; б) является пронидасмой, причем задана скорость вдува (отсоса) о- = У и и., = О. В работе Тейлора [1970] указано, что вдув через стенку может привести к численной неустойчивости. 3.3.3.
Стенка в других расчетных сетках В методе Робертса — Вейса (равд. 3.1.19) применяется система из двух сеток, разнесенных во времени с шахматным расположением узлов. Лналогичный вид имеют сетки, разнесенньге в пространстве (гибридные сетки), где некоторые переменные определяются на одном наборе узлов, а остальные переменные — на сетке, смещенной по диагонали относительно первой (Харлоу и Фромм [1954]; Фромм [1963]; Уильямс [!969]; см. также равд. 3.7.3). Используются также сдвинутые сетки, когда одна сетка сдвинута па половину пространственного шага относительно другой, причем сдвинута вдоль координатной линии, а не вдоль диагонали. При сетках всех этих трех видов вихрь й определяется в узле, отстоящем на Ли[2 от стенки, как показано на рис.
3.24, а. Для расчета вихря й не рекомендуется брать сетки второго типа. Пргг постановке задачи здесь требуется некоторая осторожность, иначе несогласованное вычисление с„приведет к тому, что стенка будет эффективно смещена на Лгг/2 (Фромм [1967]). Даже если вычисления проводятся надлежащим обра- ') Заметим, что наличие движущейся стенки приводит к появлению дополнительного члена 2с)„оал в формуле первого порядка для ьч и дополнительного члена Зсгвгйл в формуле второго порядка. 228 8.8.8.
Стенка е других расчетных сетках зом, сетка второго типа, как будет показано ниже, приводит к снижению точности для Условие прилипания должно выполняться на стенке, а не в ее окрестности. На рис. 3.24 вихрь в точке (й/а), соседней со стенкой, рассчитывается по уравнению переноса вихря. При ° ° ° 1/„/ач1 ° ~с/а+1 ° 1с, /а ° «" ие 1 н о о 1 °, °, ° (т'„/а+1) (т+1„~а+1) [1„/а+11 °, ° ° .
1 (т,уа) (1+1 бл) + + + [й и) [/т,/а) Рис. 3.24. Различные сетки дли расчета стенки. а — сетка для вихря Г1 б — сетка для функции тока ф1 в — сдвинутые сетки: светлые кружки — узлы сетки для вихря Г, крестики — узлы сетки для функции тока ф; г — гибридная сетка с шахматным расположением узлов: темные кружки — узлы сетки для вихря Г, крестики — узлы сетки для функции ф помощи формулы (3.435), где /хп заменяется на Лп/2, в точке и, не являющейся узловой точкой, находится значение вихря на стенке ~ с первым порядком точности: (Можно также брать и формулу второго порядка точности.) Для того чтобы получить конечно-разностное представление для производных в точке (/,/а), смежной со стенкой, необходимо взять какую-либо схему с несимметричными разностями.
Эта необходимость приводит к снижению точности. Одним из З 3 ) ранячнме условия возможных способов определсшщ щщчснпй в промежуточной точке (~',1а+ '(>) является следующий: (3.451а) (о~)> м~„,='Й~((о~), .„„,+(п~),, м). (3.45!6) Затем обычные пространственные разности по у в уравнении переноса вихря в точке (й)а) заменя>отся разностями значений в этих полуцелых точках: б (ог) ~ ("ь)ь м ~ |д (~ь)ь ю ("~)ь мэ щ бу )ьы бу Ду б~~ ~ ь; ы и„ вЂ” 2ь> м + Г> бу' (ь ы (ьу!2)> (3.452) (3.453) Легко показать (задачн 3.24, 3.25), что определение значений (Оь~)ь ы.гп> и ~о ы~.п> В нол) целых точках, как это делается в формулах (3.451), не согласуется с использованном центральных разностей в целых узлах пространственной сетки; для первых производных это не вносит ошибки, по выражение (3.453) снижает порядок точности до первого.
Действительно, для простой одномерной задачи, когда в уравнение входит только член со второй производной, легко показать (задача 3.25), что сетка второго типа приводит на стенке к ошибке, связанной с нарушением ограниченности решения; в гидродинамических задачах эта ошибка, связанная со свойствами схемы, могла бы привести ь неправильному указанию на отрыв потока. Определяя фиктивные значения о и ь в узлах, обозначенных на рис. 3.24,а крестиками и расположенных внутри твердой стенки, можно добиться известных удобств в смысле программирования и создать иллюзию второго порядка точности.
Эти значения ~ в узлах также размещены в общем двухпндексном массиве, отведенном для ~ и обозначенном, скажем, через г. (У, Х). Например, если стенка расположена на ни>кием крае сетки, то элементы г. (!, 1) соответств)чот значениям ь в узлах, обозначенных крестиками н находящихся внутри стенки, а элементы 2(У, 2) — значениям сь(,. Значещ>я в узлах сетки, обозначенных крестиками, должны определяться после каждого вычислительного цикла для ~ во внутренних точках так, чтобы удовлетворить надлежащему грашшпому условию в точках (~', и); при этом в точках (~',)а) используются такие же уравнения, как и в обычных внутренних точках.
Этот способ расчета удобнее, но ограничен первым порядком точности. Поэтому применение сеток второго типа для расчета вихря ни в коем случае не рекомендуется. д.д.д. Стенка е других расчетнвгх сетках 227 'Фс гч1 'уь ! Ьу (3.454) (обозначения те же, что на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
