Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В данной связи мы предлагаем на начальном этапе построения вычислительного алгоритма для отладки программы и выяснения устойчивости схемы, применяемой во внутренних точках, брать граничные условия, которые имеют наинизший порядок и являются наиболее ограничительными. Затем можно будет попробовать граничные условия, накладываюшие меньшие ограничения.
Большинство задаваемых граничных условий являются или условиями типа Дирихле (задано значение функции), или условиями типа Неймана (задан градиент функции по нормали к границе). До настоящего времени гидродинамические задачи с условиями смешанного типа (условия Роббина), где задана дз. Граничные условия 214 линейная комбинация значений функции и нормальной производной, не решались. (Подобные условия возникают в задачах теплопередачи со свободной конвекцией при использовании ньютоновского «закона» охлаждения.) Кемпбелл и Кист ]1968] показали, что условия этого типа могут привести к неустойчивости в расчетах уравнения диффузии из-за наличия неограниченных решений у исходного дифференциального уравнения в частных производных, а Кист и Митчелл ]!967] обнаружили, что решения уравнений эллиптического типа с такими граничными условиями не всегда можно получить при помощи нестационарного подхода.
Какие-либо нелинейные граничные условия, например задание градиента квадрата функции, тоже никем и никогда не использовались. З.ЗЛ. О первостепенной важности численных граничных условий Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка д//с(х = 0 определяет решение задачи с точностью до аддитивной постоянной; граничное условие позволяет определить эту постоянную. Дифференциальное уравнение в частньех производных первого порядка д/(х,у)/дх = 0 дает сравнительно мало информации о решении; такому дифференциальному уравнению в частных производных удовлетворяет любая функция у(у), и граничные условия должны определить эту функцию.
Дифференциальное уравнение 7'чр = ~ действительно дает очень мало информации о функции чр. Все многообразие течений как газов, так и жидкостей описывается решениями одних и тех же дифференциальных уравнений в частных производных, уравнений Навье — Стокса. Различные течения (т. е. решения) отличаются только граничными и начальными условиями, а также параметрами течения, такими, как число Рейнольдса Ке. Поэтому не удивительно, что задание численных граничных условий оказывает существенное влияние не только на устойчивость, но и на точность решения конечно-разностного уравнения.
Следует удивляться другому: почему важность этих условий не была широко признана в течение многих лет (и, возможно, недооценивается даже в настоящее время). Ричардсон ]19!0] вполне определенно охарактеризовал важность граничных условий, но в последующие годы в большинстве работ внимание уделялось разностным схемам во внутренних точках. Одной из возможных причин этого было то, что основное внимание тогда уделялось задачам теплопроводности, в которых граничные условия, как правило, просты и однозначны.
Другой причиной было отсутствие реальной возможности численных экспериментов с различными граничными условиями 3.3ий О важности численньгх граничных условий 2!5 до тех пор, пока в повседневную практику не вошли электронные вычислительные машины '). Первые работы по изучению граничных условий [до расчетов на электронных вычислительных машинах) были выполнены Саусвеллом [1946], Алленом и Саусвеллом [1966], Томом и Апельтом [1961]. После появления ЭВМ одной из первых Вз [1, Ус) !гс,1) Рис. 3.22. Границы расчетной области в задаче об обтеиании обратного уступа. В 1 — осевая линия (линия симметрии), В 2 — наветренная часть твердой поверхности, В 3 — верхняя граница, В 4 — входная граница потока, В 5 — осно- вание уступа, В 6 — выходная граница потока.
работ по изучению различных типов граничных условий на конечной расчетной сетке была работа Томаиа и Шевчика [1966]. Статьи Чена [!968, !970] и Моретти [19686], хотя и часго отражающие противоположные точки зрения, еще раз подчеркнули важность граничных условий. В частности, Чен [!970], проводя численные эксперименты с уравнением Бюргерса, показал, что схемы высших порядков дают менее точные результаты, чем схемы первого порядка при сеточных числах Рейнольдса !хе, ) 1, именно из-за граничных условии и что ошибки на границах могут вдвое превышать ошибки аппрок- ') !(авагути [!953] рассчитал на механической настольной вычислитель- ной машине одно-единственное регпение задаги об обтекании кругового цилиндра при Пе = 40, работая по 26 часов в ггеделю в течение полутора лет.
Вряд ли мо>кяо было бы ожидать, чтобы он повторил расчеты для того, чтобы опробовать три различных вида граничных условий в выходном сече. нии потока, грани жые условия первого и второго порядка для вихря на поверхности тела и т. и.
З.З, Граничные условия 216 симации во внутренних точках. В этой же работе было отмечено, что существенное различие результатов, полученных Йенсеном (1959] и Гамилецем с соавторами [1967] при решении задачи об обтекании цилиндра вязким потоком, обусловлено именно ошибками на границах и что эти ошибки сохраняются даже при Лх-ьО. Таким образом, представляется, что граничные условия в некоторых отношениях играют главную роль в вычислительной гидродинамике. Именно эти аспекты, связанные с постановкой граничных условий в вычислительяой гидродинамике, требуют подлинной артистичности специалистов, которых за нее иногда обвиняют в применении знахарских приемов.
Обсудим граничные условия на примере плоской задачи об обтекании прямоугольного обратного уступа, изображенного на рис. 3.22, где представлены все типы границ, присущие составленной из прямоугольников области. (Криволинейные границы и соответствующие сетки будут рассматриваться в гл, 6.) К этому рисунку мы будем постоянно обращаться в этом разделе, а также и в гл. 6. Читателю стояло бы загнуть здесь уголок страницы илн положить закладку. 3.3.2. Стенка в расчетной сетке первого типа Твердая стенка, обозначенная на рис.
3.22 через В 2, соответствует наветренной части твердой поверхности, а В 5 — основанию уступа. На расчетной сетке первого типа значения функций ф и 1, будут определяться в узлах, расположенных вдоль этих стенок. Так как линия В 2 — В 5 — В 1 является линией тока '), на ней можно принять любое постоянное значение зр (обычно полагают зу = О). Особенно важно определить значения вихря на стенке.
Уравнение (2.12) переноса вихря описывает распространение вихря за счет конвекции и диффузии, но вихрь ь зарождаегея не во внутренних точках, а иа границах, где ставится условие прилипания. Именно диффузия и последующая копвекция этого возникшего на стенке вихря фактически определяет содержание задачи. Некоторые ранее выполненные геофизические расчеты были неверными, так как в них значения с на стенке определялись с помощью экстраполяции, что не имело ничего общего с физикой задачи ').
') Если необходимо моделнроввть пронннвемуго стенку, например нз основзини уступа, то скорость и вдоль основания может быть задана в виде и = 1(у). Тогда зу можно определить интегрированием уравнения бзР/6у=((у) вдоль основзиия от угловой точки С; см, замечания в рвзд. З.з.б.
') С. А. Пвачек (личное сообщение). З.а.2. Стенка в расчетной сетке первого типа 2!7 Значение вихря на стенке получается из условия прилипания. В качестве примера рассмотрим границу В2 и запишем разложение фн;,+! в ряд Тейлора в окрестности точки (й/с): дф ! ! дтф У ь!а ду ь!4 + -' — д'ф ~ ЛУз+ 0(лр4) (3.434) Но дф/ду) ь г, = ис ы = О в силу условия прилипания, з даф/дуз[ь ы = ди/ду(с т,, кроме того, ь = ди/ду — до/дх. Поскольку о = сопз1 (т. е. о =О) вдоль стенки, до/дх(г в =О, Таким образом, ди/ду[ь!, = ~ь;,. Подставляя эти выражения в (3.434) и разрешая относительно ~ь „ с учетом условия фг,;„.
= О, получаем ьс;, = 2фг, 4,4.!/Лг/а+ 0(бд). Независимо от ориентации стенки и от значения ф на границе можно записать ~,„= " +', Рм + 0(би), (3.435а) где Лп — расстояние по нормали к стенке от ближайшей к стенке узловой точки ю + 1 до ее проекции ю на стенку. Такое условие первого порядка было впервые предложено в 1928 г. в работе Тома [1928, 1933] н широко используется до настоящего времени.
Это условие очень надежно и часто приводит к результатам, достаточно хорошо согласующимся с результатами, полученными при помощи форм высших порядков граничного условия для вихря '); см., например, эксперименты Эша, описанные в работе Пирсона [1965а). Как было указано в гл. 2, альтернативное определение вихря в виде ь' = — Ь = — ди/ду+ до/дх не меняет форму уравнения переноса вихря. Но при этом принятый знак «войдет» в расчет переноса вихря через граничные условия, и аналогом соотношения (3.435а) будет с' .= — ~' + 0(бп). -Ф Лпэ (3.435б) Сохраняя в разложении (3.434) члены порядка Луз, Вудс [1954) предложил формулу второго порядка точности для граничного условия для вихря на твердой стенке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
