Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Точное решение получается при помощи метода разделения переменных, разработанного для дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, Вейнбергер (1965)) и применяемого к конечноразноетпому уравнению. (Необходимые разложения по собственным функциям уже известны из разложения, которос требуется при решении уравнения Пуассона.) Тогда в силу линейности задачи окончательное решение получается суперпозицией.
Поскольку тиф' = ьь и чзфп = О, имеем 7'(ф'+ ьрп) = Ь и, поскольку на границах ф' = О и фп = — !" (х,у), имеем ьй'+ ф" = = ) (х, у). Поэтому функция ф = ьр'+ ф" удовлетворяет уравнению Ч'ф = Ь и граничному условию ф =-1(х,у). Если ставятся граничные условия типа Неймана с нулевым градиентом, то разложение проводится в ряд по косинусам. Если же градиент по нормали к границе отличен от нуля, дфрдп = д(х,у), то задача решается следующим образом (Уильямс (1969) ). Теперь вспомогательная функция ф' вводится следующим образом; ь(Р = О во всех внутренних точках, ф' = +д(х, у)Лп па границах 1=-! и 1 = Т н ф' = — д(х, у)Лп на границах 1= 1 и 1=!. Эта функция ь91 является решением вспомогательного дискретизированного уравнения Пуассона тиф' = Ь' с граничным условием бьр'/бп = д(х,у) и с ь' = О всюду, за исключением точек, смежных с границами, где К' = = РЧг Ф О.
(В узле, отстоящем на две позиции внутрь от границы, Узф = О, поскольку ф' = О во всех соседних точках,) Если ввести ьуп = ф — ьй' и ьп = ь — ~', то исходная задача сведется к нахождению решения конечно-разностного уравне. ния Уиьрп = Ьп с граничным условием бфп/бп = О, что можно сделать с помощью разложения по косинусам. Искомое решение имеет внд ф = ф' + ф". Аналогичным приемом можно решать задачу в непрямоугольной области, используя прямоугольную сетку, перекрывающую рассматриваемую область, Рассмотрим изображенную 206 Ду. Методы реглення уравнений для функции тока на рнс. 3.20, а область, образованную отсечением небольшого углового участка от прямоугольной области.
Граничная точка (2,2) не лежит на границе перекрывающего прямоугольника, Пусть тр = 0 на всех границах области. Первая вспомогательная функция зр! определяется решением уравнения Ртр! = Ь на перекрываюшей сетке при ьг, х = О. Вторая вспомогательная функция трг! находится решением уравнения хгхзр!! = Ь!г, где определяется так, что ьх,з = 1, а в остальных точках ~;,; = 0'). Затем находится трх, х как ли- 1-- ! г! нейная комбинация трх,з н тйз,хг такая, что трз, х = О, причем (1,1) значение Ь во внутренних точках не меняется. Значит, фх х = 0 = 1 тйх' х + а ° тРзнх,(3.420) откуда а = — ар~ х/фз!'х (3.
421) (знаменатель всегда отличен от пуля.) Окончательное решение получается суперпозицией ф = ар!+ азйг!. (3,422) (1,1) Несмотря на то что величина ~ б для такого «суммарного» решернс, 6.26. Применение метода раз ниЯ в точке (2, 2) Равна а Х ложения в ряды Фурье для не- Х(истинное)ьх,з, она не оказыпрямоугольных областей. вает влиявия на решение, по- скольку точка (2, 2) является граничной точкой суммарной задачи и поэтому Ьх, х не фигурирует в решении этой задачи. Если на границе перекрываюшего прямоугольника не лежат несколько граничных точек, то для каждой такой точки необходимо решать дополнительное уравнение Пуассона. На рис.
3,20,б вспомогательные решения фгг, зр!гг, зр!гг! являются соответственно решениями при услонии, что Ь=! в точках (2, 4), (3, 3) и (4, 2). Аналогично уравнению (3.420) в послед- ') В злектродинамических приложениях, где зр представляет собой по. тенпиал, а ь — заряд, этот прием известен под названием метода единичного заряда. За обсуждение этого приема автор благодарен О. Бунеману н Дж. Борису, 8.2!О. Аппроксимации высшик лорядков 201 нем случае для определения а, Ь и с должна быть решена ли- нейная система = 0 = 4]з.' 4+ аф'„+ Ьф"', + сфп,", фа а=0=фа з+ фанз+ Ьфзнз+сфзиа', 14 т+ 14 + 14 з+ фчна (3.423) дающая матрицу коэффициентов влияния для нулевых граничных значений, необходимую для следующего решения с новым ь. Для ю граничных точек должно быть решено ю вспомогательных уравнений Пуассона, а линейная система порядка тг, аналогичная системе [3.423), решается методом исключения Гаусса; однако при решении семейства задач с различными ~ на одной и той же сетке это нужно сделать только для первого решения.
Таким же образом можно решать задача с комбинациямн ненулевых граничных условий Дирихле и Неймана в областях, отличных от прямоугольных, но, очевидно, такое решение будет очень громоздким. Примеры применения рассмотренных методов для областей нерегулярной формы можно найти в работах Базби с соавторами [1970] и Джорджа [1970]. Для девятпточечного аналога уравнения Лапласа (разд. 3,2.10) подобными методами пользовались Лебейль [1969], а также Бердсолл и Фасс [1969]').
Все эти методы сложнее, чем рассмотренный в разд. 3.2.8 метод расчета распространения вектора ошибки, однако они не ограничены размерами области, дают почти точное конечно-разностное решение и одинаково пригодны для трехмерных задач и для цилиндрической системы координат (Уильямс [1969]). В силу высокой скорости и точности эти методы несомненно найдут прнменение в будущем для задач с простой геометрией. 3.2.10. Аппроксимации высших порядков До сих пор мы рассматривали только обычный пятиточечный аналог оператора Лапласа для уравнения Пуассона, но существуют н другие аналоги. Три из них применимы только для квадратной сетки с размерами шагов Лх = Лу = Л.
В терминологии, схематическом представлении н освещении истории вопроса мы следуем работе Тома и Апельть [1961]. Рассмотренный здесь пятиточечный аналог впервые был использован Рунге в 1908 г. и иногда называется оператором, построенным ') Для того чтобы получить наиболее полное представление о примене. нии методов, нспользу4ощнх ряды Фурье, нужно ознакомиться со статьей Лебейля !!912). 208 8.2. Методы решения уравнений для функции тока на пятиточечном шаблоне «крест». Для случая квадратной сетки его можно схематически представить как иа рис.
3.21, а, что соответствует уравнению 5! — 4фг ! — — гтасг н (3.424) которое имеет второй порядок точности относительно Л и в котором 5, = фгт!,;+ фг ! 1+ фг !»г+ ф; ! о (3.425) Так как оператор Лапласа инвариантен относительно поворота системы координат, его можно записать в системе координат, повернутой на 45' по отношению к линиям сетки, так что Рис.
8.21. Схематичное представление конечно.раэностного аналога лапласиана на сетке с квадратной ячейкой. а — пятнточечный шаблон «крест»; б — пятиточечный диагональный шаблон, е — девятиточечный шаблон с коэффициентом !2, г — девятиточечный шаблон с коэффициентом 20. расстояние между узловыми точками будет равно Ь!2Л Полу. ченный в результате оператор, построенный на пятнточечном диагональном шаблоне и схематически представленный на рис. 3.21, б, соответствует уравнению 5а — 4фг, ! — — 2Л»Ьг б (3.426) которое имеет второй порядок точности относительно ~/2о и в котором 5» = фге!,!ь! + фгег,! ! + ф! ! 1„! + фг 1,! !. (3.427) Из девятиточечных шаблонов наиболее известными являются «шаблон с коэффициентом 12» Тома (рис. 3.21, в) и «шаблон с коэффициентом 20» Бикли (рис.
3.21, г). Первый из них соответствует уравнению 25, + 5» — 12фг, ! = 43»Ьь б а второй — уравнению 45, + 5 — 2Юфо! = бает'ь!. (3.429) 1 — 4 1 а 1 2 1 4 2 — 12 2 ! 2 ! -'[,' —,'1 б 1 4 1 — 4 -20 4 1 4 1 Д2.)д. Аппроксимации вы«ивах порядков 209 Формула Тома имеет четвертый порядок точности только тогда, когда '/,х(хух + д"/дхздуз) ф не превышает 0(бз), а формула Бикли только нрн '/1хРф = 0(бх). В гндродинамическнх задачах такие условия обычно не выполняются. Исключением является стационарное течение Стокса (ххе = 0), когда уравненце переноса вихря сводится к уравнению Лапласа Р~=О, что соответствует уравнению ьыф = О. В общем случае этн девяти- точечные разностные формулы оказываются даже менее точпыми, чем разностная формула, построенная на пятиточечном шаблоне «крест» (см.
Сайрус и Фалтон [1967], Р!енссен и Стреде [1968] ) . Локальной точности более высокого порядка реально можно добиться при помощи разностных формул, в которых используются значения ф не только в смежных, но и в более удаленных узловых точках, например значения фиья р Йенссен и Стреде [1968] рассматривают некоторые из них, такие, как бхх [ !2 ххз [ фалья ) + 16фььг,) — 30фг ) + + 1бф,, ) — фг з )]+ 0(йх4), (3.430) и соответствующую формулу для бзф/брз (см. также работу Фейервезера [1969]).
Перейра [!969] в своем методе «итерироваиных отсроченных поправок» рассмотрел разностные формулы аснмптотически высокого порядка точности. Здесь важно понимать, что (как и в случае уравнения переноса вихря в равд. 3.1.23) локально четвертый порядок точности не означает глобальной точности. Последняя может существенно зависеть от точности задания граничных условий, которая, как правило, далека от четвертого порядка (см.разд.3.3).
Кроме того, схемы, подобные разностной формуле (3,430), невозможно использовать в точках, смежных с граничными, так как при этом требуется информация из точек вне разностной сетки. При расчете точек, смежных с граничными, исследователи обычно обращаются к формулам второго порядка точности '). Более рационально в приграничных точках локально использовать схемы более низкого порядка точности на мелкой сетке, а вдали от границы применять схемы более высоких порядков на грубой сетке. Такие методы были рассмотрены Бахваловым [1959]. В любом случае точность решения уравнения х)зф = ~ ') Многие исследователи используют вблизи границ схемы четвертого порядка точности, вводя вне рассчитываемой области фиктивные точки сетки, значения в которых ставятся в соответствие граничным условиям.
Даже в атом случае происходит потеря четвертого порядка точности, за исключечнем случаев, когда граяипа представляет собой ось (плоскость) симметрии. Известны н непеитральньге формулы высокого порядка точности (например, Оаусвелл [1946]), ао они менее устойчивы и редко используются. 210 3.2 Методы решения уравнений для функции тока будет, конечно, ограничена точностью решения уравнения переноса вихря и точностью граничных условий для него, поэтому рекомендуется получать решение равномерно высокого порядка точности дчя всей задачи в целом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
