Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Предложение Чу [1970] чередовать направление обхода расчетных точек оказалось полезным при решении более общих задач, чем решение простого уравнения Пуассона. 3.2.6. Тактика и стратегия Форсайт [1956] указал, что значение параметра релаксации оо, получаемое из уравнения (3.382), оптимально в «стратегическом» смысле, т.
е. при длительном итерированин. Прн атом суммарная ошибка г',е~ — 0 асимптотически (при й -ь.оо) г. / быстрее всего при в = ото. Но при конечном й оптимальное значение может оказаться несколько меньше ото в зависимости от начального распределения ошибки. Действительно, если ограничиться одной итерацией (й = 1), то выбор параметра ш = 1 (метод Либмана) приводит к наибольшему уменьшению суммарной ошибки за один обход расчетных точек; таким образом, метод Либмана оптимален в «тактическом» смысле, т.
е. при кратковременном итерировании (Форсайт [1956]). (Метод Либмана и метод последовательной верхней релаксации сопоставлял и Келлер [1958].) Как всегда, выбор критерия оптимальности оказывает влияние на определение величины оптимального параметра, а точная математическая теория не может внести ясность в произвольно установленные стандарты '). Янг н Кинкейд [1969] установили, что результаты сравнения различных итерационных методов в значительной степени зависят от различного выбора критериев оптимальности даже при я -ь оо. Численные расчеты, выполненные автором настоящей книги на сетке с размером 21 2с', 21, показали, что преимущество (в смысле суммарной ошибки) выбора величины ш = 1 над выбором оптимального параметра оз = ото может сохраняться до числа итераций й =- 6 илн (г = 8.
Кроме того, по сравнению со случаем ш = 1 выбор ю = шо приводит к большому разбросу ошибки; если же направление обхода расчетных точек меняется на каждой итерации (скажем, с 11, ][ на г.[, Д нли другим ') Такой произвол сушествует даже для сравннтсльно хорошо поставлснной задачи сходимости решения днскретизированного уравнения Пуас.
сони. А что подразумевают под «оптимальным» решением военные, разрабатываюшие оборонительные планы, экономисты, социологи, градостроителн н т.д.? !88 ау Методы решении уравнений дли функкии тока образом), то это не оказывает влияния на сходимость в среднем, но разброс ошибки уменьшается. (Усложнение программирования и дополнительная затрата машинного времени при таком способе обхода зависят от типа ЭВМ.) Наиболее эффективные итерационные методы не приводят к строго симметричным численным результатам даже при симметричных граничных условиях, что можно классифицировать как еще одну «ошибку», связанную со свойствами схемы.
Заметим, что одним из преимушеств грубого метода Ричардсона является строгая симметричность получаемых численных результатов. Такая симметричность может оказаться желательной, например, прп проведении сверхустойчивых расчетов для исследования гидродинамически неустойчивого течения. Заметим также, что в методе последовательной верхней релаксации осцилляцпя, вызванная чрезмерно большим шагом по времени, при ы = аи оказывается больше, чем при в = 1 или в методе Ричардсона.
В заключение заметим, что в гидродинамике полученное для ф решение используется для определения составляющих скорости и и и при помощи численного дифференцирования. Таким образом, ошибки в величинах бф1бх и б~/бу должны рассматриваться как надлежащие показатели сходимости решения, но, насколько известно автору, ни в одном исследовании оии в таком качестве не использовались. 3.2.6. Неявные схемы метода чередующихся направлений Продолжая аналогию между итерационным решением уравнения Пуассона и асимптотическим установлением по времени решения нестационарного уравнения диффузии, естественно рассмотреть неявные схемы метода чередующихся направлений, описанные в равд.
3.1.16. Действительно, Писмен и Ракфорд в своей статье [1955] обсуждали обе эти зада!и. По аналогии с уравнением (3.303) при 3 = Лх/Лу имеем где Ь'-„ф=ф,„, — 2ф, +ф,, и б'„ф=ф, „, — 2ф, +ф, Первое уравнение неявно по х, имея трехдиагональную форму (см. приложение А), второе неявно по д. Сходимость обеспечивается тем, что на обоих полушагах берется одна и та же величина Ы (см. ссылки в разд.
3.1.!б). 626 Неявные схемы методе чередующихся направлений 189 После умножения на р = 2Лх2/'(а Л!) уравнения (3.383) можно записать в виде фл+щ (2+ р) фллщ+ „рлл!/2 1+1, 1 1,/ 1 — 1, / = — Р2[/Р," /~! — (2 — р)лрл + ф,". Д вЂ” Лхл~ ,,1!л !-1 (2+ р) 2!,2-~.1+»ьл~-1 1, !Э! н ! Ь !-1 — 1'лрлл!/2 (2 р) фл.н/2 1 „1 л+!/2 1 Л 2»2 12!,! 1,! Ь /+12 1,!' (3.384а) (3.384б) 2)/(1, р) =О, лр(х, 1) = 1. (Зз385а) (3.385б) Может показаться, что выбор очень больших Л/ (малых о) будет ускорять асимптотическую по времени скорость сходи- мости, но в действительности существуют некоторые оптимальные значения Л/ или р. При оптимальном р сходимость достигается за несколько меньшее число итераций, чем при использовании метода последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром.
Такая более быстрая сходнмость представляется правдоподобной, ибо неявность схемы приводит к тому, что влияние эллиптических граничных условий сказывается в течение всего времени. Однако выполнение одной итерации в неявной схеме метода чередующихся направлений занимает больше времени, и поэтому метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром фактически требует меньше машинного времени, чем такая «однопараметрпческая» неявная схема метода чередующихся направлений (Биркгоф с соавторами [1962), Уэстлейк (1968]). Неявная схема метода чередующихся направлений становится по-настоящему эффективной в случае выбора последовательности итерационных параметров рл, которая заменяет один параметр р в уравнении (3.384). Найти такую оптямальпую последовательность, очевидно, труднее, чем найти один оптимальный параметр.
Здесь накладываются дополнительные ограничения, такие, как желательное относительное уменьшение начальной ошибки илп желательное число итераций. Определение последовательности р„ по праву было и остается предметом исследований прикладной математики. В качестве примера мы нрнведем последовательность ры применявшуюся в работе Писмена и Ракфорда (1955!. В этой работе решалась плоская симметрячная задача теплопроводности в квадратной области с шагами сетки Лх = Лд; тогда в уравнении (3.384) ' =- О, 5 = 1.
Граничные условия (в силу симметрии рассматривалась четверть области) были таковы: !во 8.Д Методы решение уравнений длк тдункции тока В случае четырнадцати интервалов сетки на каждой границе (Лх = Лу = 1/14) задача включала 14р1',14 неизвестных в узловых точках с индексами 1, 1= 1, 2, ..., !4 = / — 1 = У вЂ” 1. Использовалась последовательность ре следующего вида: е Г (21г + 1) и ! рк — — 481П ( 4(1 — 11 откуда рв = 0.012576, рм = 3.9874. Тогда соответствующая убывающая последовательность Л! будет начинаться членами Ио = 0.40571, б!1 = 0.04546 и кончаться членом б(1в = 0.00128. «Оптимальная» последовательность рк в общем случае недостижима.
Способы получения «хороших» последовательностей были предложены Дугласом [1962] и Вахпрессом [!966). Эти способы описаны в книгах Эймса [1969] и Митчелла [1969]; оба последних автора утверждают, что параметры, предложенные Вахпрессом, предпочтительнее, но не приводят достаточно убедительных доводов. В обоих способах требуется оценить наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы, что само по себе нетривиально. Развитые теории применимы только для задач с граничными условиями Дирихле в квадратной области при одинаковых шагах сетки Лх = Лу, хотя Брили [1970) с успехом использовал параметры Вахпресса в одном цикле из четырех на неквадратной сетке.
Хаджндимос [1969) обсуждает выбор последовательности рк и указывает на некоторые неверные интерпретации теории в прошлом. Уэстлейк (1968] отмечает, что в общем случае лучше завысить число циклов, чем занизить его. В случае непрямоугольной области способа выбора последовательности р, не имеется, хотя известно, что метод сходится для всех р. (Отметим, что на обоих полушагах должно браться одно и то же рм) Мурадоглу [1968), Краудер н Дальтон [1971б] провели некоторые предварительные исследования свойств сходнмости неявной схемы метода чередующихся направлений в случае непрямоугольной сетки.
В методах последовательной верхней релаксации число итераций, необходимое для сходимости, увеличивается с ростом 51. Для неявных схем метода чередующихся направлений, применяемых в областях квадратной формы, й,„почти не зависит от Л1, так что для достаточно больших 1т' неявные схемы метода чередующихся направлений предпочтительнее. В численных расчетах Биркгофа с соавторами [1962] на сетке 40к',40 неявные схемы метода чередующихся направлений с параметрами Вахпресса оказались почти в четыре раза быстрее, чем метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром релаксации. Однако неясно, будут ли неявные схемы метода чередующихся направлений быстрее в случае непрямо- 3.2.7.
Другие итераяиоииые методы 191 (3.387) где для ускорения сходимости выбирается положительный коэффициент с(х,у). Для понимания современных исследований неявных схем метода чередующихся направлений требуется знакомство с обозначениями н семантикой линейной алгебры. Здесь можно рекомендовать краткое изложение этого вопроса в первой главе книги Митчелла [1969] '). В.2.7. Другие итерационные методы Для решения уравнения Пуассона разработано много вариантов итерационных методов.
Один из первых обзоров таких методов был дан Гейрипгер [1959]. Несмотря на то что для некоторых задач многие из этих методов обладают определенными преимуществами или ограничениями, к результатам их ') Советскому читателю можно рекомендовать более доступные книги по линейной алгебре: Гельфанд И. М. Лекции по лнневной алгебре.— 4-е изд., доп. — Мл Наука, 1971; Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 4-е изд., стереотип. — Мл Наука, 1979; Фаддеев Д. К., Фаддеева В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
