Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 40
Текст из файла (страница 40)
3,122 Схемы дхн расчета стационарных течение 1бб Одной из работ, в которых использовались как стационарный, так и нестационарный подходы, является работа Хына и Макано [1966[. Эти авторы нашли, что с нестационарными уравнениями легче работать и они более устойчивы; к такому же выводу с тех пор пришли многие другие исследователи. Такое заключение, очевт1дно, связано с простотой используемого нестационарного метода, Когда интерес представляет только стационарное решение, не рекомендуется применять сложную схему, такую, например, как схема Фромма (разд. 3.1.19). В достаточно простых нестационарных схемах привлекает их гибкость в отношении возможностей получения нестационарного решения, если именно оно представляет интерес.
И вЂ” что более важно — при нестационарном подходе не предполагается суще. ствование стационарного решения, которого в действительности может и не существовать. При этом следует соблюдать определенную осторожность. Если нестационарные конечно-разностные уравнения сходятся к устойчивому стационарному решению, то еще нельзя считать, что соответствующие дифференциальные уравнения в частных производных имеют устойчивое стационарное решение.
Как мы уже видели, дискретизация иногда приводит к появлению схемной вязкости. Эта и другие ошибки аппроксимации могут привести к тому, что конечно-разностные уравнения окажутся более устойчивыми, чем дифференциальные уравнения в частных производных. Выяснение отличия гидродинамической устойчивости от завышенной численной устойчивости представляет трудную задачу (см. разд. 6.5). Другой заслуживающий внимания подход к решению задач гидродинамики несжимаемой жидкости состоит в решении уравнения четвертого порядка для единственной переменной— функции тока. Подставляя уравнение Пуассона (2.13) и выражения для составляющих скорости (2.7) в уравнение переноса вихря (2.12), получаем — — — (~ Ч"чр) + д ( д чт чр)+ 9 ч'"чч (3.360 ) Несмотря на то что это уравнение в принципе описывает нестационарное течение, оно обычно рассматривается в стационарной форме, когда его левая часть равна нулю.
Используя это уравнение, успешных результатов добились Бурсье и Франсуа [1969[, которые применяли неявные схемы чередующихся направлений (см. разд. 3.2.7), и Пау с соавторами [1971[, пользовавшиеся итерационным методом Либмана. Большинство исследователей (Том и Апельт [1961[, Парис и Уитекер [1965[, Пирсон [1964, 1965а[) столкнулись здесь с трудностями, связанными с граничными условиями и с малой скоростью сходи- !66 3./. Методы решению уравнения лереноса вихря мости.
Пирсон [1964, !965а] выполнил расчеты в предельном случае отсутствия конвективных членов, т. е. когда для стационарного течения уравнение (3.360а) сводится к уравнению 474$ 0 (3.360б) с простейшими граничными условиями Дирихле. Он обнаружил, что даже в этом простом случае скорость сходимости на порядок меньше, чем в случае, когда решается система двух уравнений (для функции тока и для вихря). Действительно, известно, что наиболее эффективный итерационный метод решения бигармонического уравнения (3.360б), общепринятый в задачах теории упругости, заключается в разделении этого уравнения на два уравнения Пуассона, если это допускается заданными граничными условиями (см., например, Том и Апельт [1961], а также Пальцев [1970]). Диас [1970] вычислял оператор Р4[т с помощью полиномиальных аппроксимаций четвертого и пятого порядков, но при этом возникали трудности с граничными условиями.
Преимущество стационарного подхода особенно убедительно в том случае, когда стационарные уравнения являются параболическими по пространственной переменной, т. е. когда возможно или требуется <маршевое» продвижение решения по пространственной координате.
К таким случаям относятся уравнения пограничного слоя, течения с химическими реакциями, имеющими конечные скорости, эффекты, которые зависят от предыстории лагранжевых частиц (равд. 6.4), и решение обратной задачи об отошедшей ударной волне (равд. 5.1.1).
При решении задачи о течении газа с отошедшей ударной волной Кайрис [19?О] пытался построить метод, соединяющий наилучшие свойства, присущие каждому из подходов (стационарному и нестационарному), взяв нестационарные формы уравнения неразрывности и ураннений количества движения и стационарные формы уравнений для температуры и для химических компонентов. Дэвис [1972] разработал метод решения уравнений Навье— Стокса, похожий на нестационарный метод, но обладающий некоторымн свойствами, присущими стационарным методам.
Вычисления расщепляются по двум направлениям; в одном направлении расчет проводится по нестационарным уравненнял4 пограничного слоя с поправкой второго порядка на кривизну, а в другом направлении уравнения будут линейными. Вследствие используемых преобразований начальные условия для определения стационарного решения уравнений пограничного слоя получаются естественным образом. Начальное решение также фиксирует граничные значения на бесконечности, соот- 8.! 22. Схемы для расчета стаиианарньтх течений ветствующие стационарному состоянию.
(Преобразования также устраняют особенность на передней кромке в предельном случае плоской пластинки.) Для гечений при больших числах Рейнольдса, когда уравнения пограничного слоя точны, сходимость достигается за одну итерацию. Для безотрывных течений при меньших числах Рейнольдса сходимость все еще достигается за сравнительно малое число итераций. Есть все основания считать, что этот метод будет широко применяться в будущем. Автор данной монографии также предложил несколько методов, которые отличаются от нестационарных подходов проведением итерирования (Роуч [!9721). Эти методы — метод, к котором итерируются уравнения типа уравнения Озеена (метод )ч(ОБ), и метод, в котором итерируется только лапласиан (1ар!асе ОПчет тпе1)тот), метод ЕАР) — основаны на использовании последних достижений в решении линейных конечно-разностных уравнений второго порядка (см. равд.
3.2.1, 3.2.8 и 3.2.9). Разработка этих методов далека от завершения, но по крайней мере для некоторых типов течений онн показали очевидное преимущество по сравнению с нестационарпыми методами даже в случае отрывных течений. Для решения уравнений, описывающих стационарное течение, неитерационные методы неприменимы из-за нелинейности этих уравнений.
Однако методы, подобные рассматриваемым в равд. 3.2.1, 3.2.8 и 3.2.9, могут оказаться весьма эффективными для решения линеаризованных уравнений (например, уравнения для температуры, разд. 3.6). Таким образом, сравнивая итерационные стационарные и нестационарные методы, можно прийти к следующим выводам. 1) Некоторые стационарные методы в точности эквивалентны нестационарным методам, причем регулирование множителя в схемах нижней или верхней релаксации эквивалентно изменению величины шага по времени Ад Большинство стационарных итерационных методов по меньшей мере аналогичны нестационарным методам. Во всяком случае, такая аналогия показывает, что 2) Стационарные итерационные методы нельзя заведомо считать устойчивыми и их устойчивость должна быть исследована при помощи метода фон Неймана. 3) Программу на Фортране, написанную для нестационарного подхода, можно а) просто использовать для реализации комбинированного итерирования в стационарном методе, причем рассматривается критерий сходимости для уравнения Пуассона, и б) быстро превратить в метод Либмана илн метод типа !68 З I д!етооис решения уравнения переноса вихря метода последовательной верхней релаксации (метод БОК) посредством использования оператора ЕЯИЧАЕЕ!4СЕ.
4) 5!виме нестационарные методы, в которых после расчета каждого шага для уравнения переноса вихря итерируется до сходимости уравнение р!уассона, менее восприимчивы к неустойчивости, обусловленной нслинейностью уравнений, и поэтому менее чувствительны к начальным условиям. б) Нестацпонарная формулировка дает ббльшую гибкость при получении нестацнонарного решения, если оно представляет интерес, и — что более важно — не предполагает существования стационарного решения, которого в действительности может и не сущестновать. б) Есть нечто привлекательное (с принципиальной и даже с эстетической точки зрения) в моделировании именно реального физического процесса, который в конце копцов существенно нестационарен.
3.1.23. Замечания к оценке методов; ошибни, связанные со свойствами схемы; компактные разностные схемы В предыдущих разделах был рассмотрен целый ряд численных методов для решения уравнения переноса вихря. 11еред исследователем, который собирается пользоваться этими методами, встает вопрос об оценке этих методов применительно к интересуюгцим его гидродинамическнм задачам, а также вопрос о построении новых методов, если описанные здесь он найдет недостаточными. Основным фактором при оценке и построении численных методов является, очевидно, анализ ошибок конечно-разностного аналога. В обычных учебниках ошибки конечно-разностных уравнений классифицируются как ошибки округления и ошибки аппроксриапии. Ошибки округления обусловлены конечностью длины слова у электронных вычислительных машин при представлении чисел в форме с плавающей запятой.
Длина слова, или число значащих цифр, может быть только целым в системе счисления ЭБМ (обычно 2, 8, !О и 1б). Для современных американских ЭВМ прн использовании одного процессора эквивалентная длина слова в десятичной системе меняется от 7 до !4 значащих десятичных цифр. Трудности исследования ошибок округления обусловлены тем, что эти ошибки приводят к качественному отклонению от нормального поведения; например, сложение и умножение чпсет, представленных в форме с плавающей запятой, обладают свойством коммутативности, но в то же время не имеют свойств ассоциативности и дистрнбутивности.
(В работе Форсайта (1970) имеется прекрасное и общедоступное описание эффектов, к которым приводит ошибка округления.) 33 23. Замечания к оценке метадон Ошибка округления может играть главную роль при нахождении высокоточных решений обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку величина шага Лх может стать очень малой и поскольку используются схемы высокого порядка точности, чувствительные к ошибкам округления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
