Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Она использовалась Лоренцем [1963] и была исследо- вава Липли [1965], Эта схема представляет собой первое итерационное приближение для «модифнцированной схемы Эйлера» (3.267). Вместо неявного члена б~п»1/бх в нее входит аналогичный член, содержашнй величину ~"~', которая вычпс.
ляется предварительно прн помощи схемы с разностями вперед ') Для простого нестзпионзрного урзвнения диффузии в случае двух или трех прострвнственнык переменных дг»/д/ = ир»Ь, неявное ревностное уравнение Крзнкз — Николсона сводится к урзвненню Пуассона с «источ. пиковым» членом вида (2/а)дс/д/ — Р»Ь". В »том случае для решения неявного ревностного урзввенвя диффузии можно использовать иеитерзпиои. ные методы решения урзввения Пуассона (см. рззд. 32.1, 3.2.8 з 3.2.9) и схема будет точной и эффективной. '] Если ставятся граничные условия градиентного типа, то схемз Краник — Николсона в этом случае может привести к неустойчивости (Ф.
Блотт. иер, личное сообщение). ') В схеме Лейта (см. рззд. 3.1.13] двз шага требуютси только в случае двух пространственных переменных, 1Зй 8.! И Млоголгоговвге валь!е схемы по времени и с центральными разностями по пространственным переменным: Эта схема сохраняет второй порядок точности, присущий схеме (3.267), но оказывается слабо неустойчивой (Лилли (1965)), имея множитель перехода 0 = 1+ 0(ЛР). Ее можно использовать па ранней стаднц в нестацпонарных расчетах, но не следуст применять в пестацнонарных расчетах до больших значений времени и в стационарном случае. Первое итерационное приближение для полностью явной схемы (3.258) применительно к уравнению конвекции при отсутствии вязкости было предложено Мацуно (см. Липли (!965]).
Браиловская (1965) использовала такой же подход для уравнений, описывающих течение вязкой сжимаемой жидкости. Эта схема такова: (3.286а) (3.2866) Здесь ошибка аппроксимации имеет порядок 0(ЛЛЛхе). Для того чтобы исследовать устойчивость втой двухшаговой схемы методом фон Неймана, прежде всего представим ее в виде одношаговой схемы. Выпишем уравнение (3.286а) в точках !'.+ 1: (3.
28?) (3.288) Подставляя зти выражения в уравнение (3,286б), получаем з [В!в! о (~!ге ~!) с.г-!+ о (с! ~, с)), (3.289) или 2 (~с+! ьг-!) + ( з ) (~!+а + ь! з 2ьгу. (3.290) ь" ~ ! = ь" — и Л1 бь г'бх, =~ — — иЛ1 1ь — '+ л+! л 1 Г ббл б~л"' 2 ! бх бх ~"+' = ~" — Лг б~"~Ьх, ~"" = ~" — и Л1 бГ" е'/бх.
(3.285а) (3. 285 5) Зд. Методы решения уравнения переноса вияря 136 Тогда метод фон Неймана даст 2 (в в ) + ( 2 ) (в + в — 2)1, 6 = 1 — — (2! з!и В)+ 1х — ) (2 сов 29 — 2). 2 ) Так как 1 — соз 20 = 2 э)п' В, имеем 6 = 1 — УС з!п 9 — СЯ з!па 9. Вводя обозначение а = С з!и 0, получим ! 6 !' = (1 — аа)'+ а', (3.291) (3.292) (3.293) (3. 294) или ! 6 !а =- 1 — и' + а'. (3.
295) Условие устойчивости ! 61' ( 1 будет выполняться при / а ! ( 1, откуда С ( 1. Таким образом, первое итерационное приближение для полностью неявной схемы приводит к обычному условию устойчивости для явных схем, а не к абсолютной устойчивости неявной схемы. Для двухшаговой схемы (3.286) получается то же условие устойчивости, что и для одношаговой схемы (3.290), но с вычислительной точки зрения эти схемы не эквивалентны. Двух- шаговую схему можно применять в соседних с границей узловых точках, а для одношаговой схемы требуются нефизпческне значения в узлах, расположенных за границей расчетной области. В случае применения этой схемы к течениям сжимаемой жидкости (Браиловская [!965]) к различиям приводит и нелинейность.
Определим схемную вязкость рассматриваемой схемы в не- стационарном случае, раскладывая, как это делалось в методе Херта, входяшие в одношаговое уравнение (3.290) члены в ряды Тейлора. Опуская индексы ! и п, получаем дь Лт ! ! '1 ь Л1я ! О(Л1з) + —, (2 Лх)' — — —,(2 Лх)з + 'О ((2 Лх)')1 — 2~ ~ . (3.296) Д1.1Д Миогоиаоговые левые ехемьа 137 После приведения подобных членов и деления на Л/ будем иметь д, + 2 ~~, + 0(Л/)= — и д + 0(Лх )+и'Лг д„,. (3.297) дь Определим да~/д/а из уравнения конвекции при отсутствии вязкости (см. уравнение (3.226)): даа дааа — '=и' —.
д1а дха (3.298) Тогда уравнение (3.297) принимает вид — = — и — + — + О (Л12, Лх'). (3.299) дЬ дй и' Д1 дас д1 дх 2 дха Если учесть ограничение на величину шага по времени, накладываемое диффузионным членом в случае явной схемы 2 1 оха (3.301) то из (3.300) получится 1 Дха 2 '/,иа Дг иа Л/а < Лха, (3.302а) (3.302б) или С ( 1, как и прп исследовании методом фон Неймана.
В противоположность схемной вязкости в схеме с разностями против потока (3.1?9) вязкость в схеме Мацуно для не- стационарного решения убывает с уменьшением Лб Для стационарного решения коэффициент схемной вязкости равен нулю. В этом легко убедиться, замечая, что при достижении стационарного решения результаты, полученные на каждом из обоих шагов схемы, будут совпадать (Аллен 11968), Аллен и Чен (19?0)), так как обе формулы идентичны. (Все прочие двухшаговые схемы не обладают этим желаемым свойством.) Использование в этом случае центральных разностей для производной 6~/бх приводит к равенству гг, = О.
Рассматриваемую схему можно применять и для полного уравнения, включаюшего конвективный и диффузионный члены, либо вычисляя предварительные значения только для конвективного члена и оставляя старые значения для диффузионного члена, либо вычисляя предварительные значения для обоих Следовательно, в нестационарном случае рассматриваемая схема имеет следующий коэффициент схемной вязкости: аг = '/,на Л/ = '/ С (и Лх). (3. 300) 8.Х Методь~ решения Квавнения неявно«а викри !38 этих членов. В любом из этих случаев исследование устойчивости методом фон Неймана, показывает (Браиловская [1965], Аллен [1968]), что достаточныс условия устойчивости имеют вид С «= 1 и д ( 17«.
Второе условие оказывается вдвое более жестким, чем обычное ограничение, обусловленное диффузионным членом в схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным. Аллен и Чен [1970] (см. также Аллен [1968]) устранили ограничение, обусловленное диффузионным членом, модифицируя эту схему по той же идее и с той же простотой, с какими Дюфорт и Франкел модифицировали схему «чехарда со средней точкой> (см. равд. 3.1.7), а именно положили = ~, — ~ (~",е, — ~,,) + е((~,~, + ~",, — 24,"+ ), (3.303а) ~"." = ~" — — (~"." — ~"") -1- д (лт."" + ~"." —.2~""). (3.3036) Такая схема с успехом использовалась для уравнения Бюргерса (2.20) и для уравнений, описывающих течение сжимаемой жидкости в случае двух пространственных переменных (Аллен [1968], Аллен и Чен [1970]).
Данная схема также дает ошибку порядка 0(Л1, Лх'). Если в схеме Мацуно — Браиловской (3.286) для уравнения, описывающего течение идеальной жидкости, продолжить итерации, то получится аппроксимация полностью неявной схемы (3.258). Обозначая номер итерации верхним индексом й, будем иметь (3. 304) Этот подход можно распространить и на схему (3.285), причем получится устойчивая схема с ошибкой порядка 0(Л!е,Лхе): = т." — и Л! б~ "/бх, (3.305) атил З.луб.
Неявные схемы метода чередующихся поправления 139 Ни одна из этих схем не использовалась для решсния уравнения переноса вихря, но Веронис [1968) применил схему (3.305) для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Он обнаружил, что прн «оптимальном» выборе Л1 для достижения сходимости достаточно взять й = 3.
(Однако устойчивость схемы существенно улучшается только при больших значениях й.) Трехслойная двухшаговая схема, предложенная Курихарой [1965[ (см. также Полджер [1971[), обладает некоторыми интересными свойствами. В случае уравнения для невязкой жидкости ее можно записать в следующем виде: — 2и Л1 —, бх чь! т '=~" — 1 иЛ1~~~ + б [. (33066) (3.306а) 3.1.16. Неявные схемы метода чередующихся направлений Неявные схемы метода чередующихся направлений (схемы АР1) были предложены в работах Пнсмена, Ракфорда [1955[ н Дугласа [1955[. Называемая также схемой переменных направлений (Кускова [1968[), эта схема основана на расщеплении шага по времени с целью построения многомерной неявной схемы, в которой требуется обращение только трехднагональной матрицы '). Первые приложения этой схемы к задачам ') Н.
Н, Яненко 11967) разработал метод дробных шагов, в котором многомерное уравнение расщепляется на последовательность одномерных уравнений; первые результаты он опубликовал в ДАН СССР, 1959, т, 125, >е 6. Метод расщепления был также развит советскими математиками Первый шаг есть не что иное, как предиктор по схеме «чехарда», а второй — схема (3.285). Данная схема обладает некоторыми интересными характеристиками (см.
задачу 3.16). Подобно схеме «чехарда», она имеет ошибку второго порядка Е = 0(Луз, Лх'); исследование устойчивости методом фон Неймана показывает, что [Х[= 1 прн С ( 1, н схема имеет нулевую схемную вязкость как в нестационариом, так и в стационарном случаях.
Она также обладает недостатками, присущими схеме «чехарда», т. е. требует дополнительных условий на выходной границе потока н дополнительных начальных условий и фурье-компонента с длиной волны Л = 2Лх стационарна. В отличие от схемы «чехарда» она обладает еще н тем недостатком, что не дает точного решения модельного уравнения при С = 1; однако значительным преимуп1еством рассматриваемой схемы является отсутствие неустойчивости, связанной с расчленением решения по временным шагам. 8.!.
Методы решения уровненил переноса вихря 140 гидродинамики дали Уилкс н Черчилл [1966], Сэмюелс и Черчилл [1967], Пирсон ') [!964, 1965а, 1965б], Азиз и Хеллумс [!967]. В настоящее время неявные схемы чередующихся направлений — наиболее распространенные схемы для задач с учетом вязкости. Для линеаризованной задачи неявную схему метода чере- дующихся направлений Писмена и Ракфорда можно предста- вить в следующем виде. Обозначим через бс1бх и бз9/бхз аппрок- симации с центральными разностями для дь/дх и дэй/дхз в точке й Интегрирование по времени на интервале А! уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены, — = — и — — о — +а — '+а —;, д~ дб дй дэй дзй (3.307) д! дх ду дх' ду' ' осуществляется за два следующих шага: теле ЬЗ ьтл балт Нз бэта бэппа+ НЗ Ьттьл Ь!!2 Ьх = — и — о — + а + а —., (3.308а) Ьу бхз буз йп т1 йл+1и ььа+ ш ььл+ ~ ьзьл+ 1гз бзьл+1 ЬЦ2 Ьх бу + Ьх' + бу' (3.3086) (х и у можно поменять ролями).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
