Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Обычно больший интерес представляет точность длинно- волновых компонент, и поэтому невозможность различать коротковолновые компоненты могла бы показаться несущественной. В самом деле, если предположить, что конвективное поле и всюду постоянно, то ошибка, обусловленная неразличимостью, не будет появляться. Однако в нелинейных задачах, как известно, комноненты взаимодействуют таким образом, что энергия переносится от длннноволновых компонент к коротковолновым. (В физике известно, что энергия турбулентности обычно переносится от ббльших вихрей к меньшим, а энергия малых вихрей диссиппрует или преобразуется во внутреннюю энергию посредством трения.) Для того чтобы имело место такое взаимодействие компонент, совсем не обязательно наличие настояшей нелинейности; достаточно, чтобы скорость и была функцией пространственных переменных.
Теперь возникает следуюшнй вопрос: что будет происходить в том случае, когда механизм диссипации для отбора энергии от коротковолновых компонент отсутствует и когда при расчетах нельзя различить компоненты с длиной волны Л ( 2Ьх? Неожиданный ответ заключается в том, что тогда энергия пере- распределяется и вновь переходит к длннноволновым компонентам, искажая эти представляюшие наибольший интерес компоненты и даже приводя к некоторому роду численной неустойчивости (Филлипс [1959[). Наличие в расчетах какого-либо затухания, физического нли численного, обеспечивает диссипативный механизм н тем самым облегчает решение этого вопроса.
Таким образом, расчеты течений при малых Ке н расчеты течений невязкой жидкости прн помощи численных методов, вводящих искусственное затухание коротковолновых компонент, меньше страдают из-за ошибок, обусловленных неразличимостью, Слово нерпзличцмость используется также для описания того факта, что на конечной сетке просто нельзя добиться разлнчимости некоторых частот. (Именно из-за этого энергия может перераспределяться к длинноволновым компонентам,) То обстоятельство, что два таких распределения, как = соз [п(пт.+ п)1[, имеют в точности одинаковые значения в узловых точках ~', является следствием простых тригонометрических тождеств. Такая же дискретизация или «сеточное» пред- а!. Методы решения уравнения переноса вихря 196 ставление янления во времени вызывает стробоскопические эффекты в движущихся картинах, например колеса вагона кажутся замедляющими движение и вращающимися в обратном направлении.
Такое смещение частот является неизбежным следствием дискретизации; см. Хемминг [1962, с. 276, 303]. В заключение этого раздела рассмотрим обобщение схемы Лейта на случай двух пространственных переменных. Очевидным обобщением уравнения (3.224) будет уравнение ~»+1 ~л С (9» !» ) + Се (~л 2~» + ~л ) С (~л ~л! ) + Сз (Ц 2~~ + ~» ) (3 252) или в очевидных сокращенных обозначениях (ьл) 1 1 Сзбз (~~) С 6 (йл) 1 ! Сзбз щ (3.253) где С, = иИ/Ьх, а С„= об!/Ьу. Эта схема не является схемой второго порядка точности.
Схема второго порядка должна была бы включать член с производной дзь/дхду в разложениях в ряды Тейлора. Более того, данная схема неустойчива (Лейт [1965]). Таким образом, конечно-разностная схема (3.252) является примером двумерной неустойчивой схемы, полученной в результате комбинации двух одномерных схем, каждая из которых устойчива. Лейт [1965] дает устойчивую двумерную схему, которая основывается на понятии дробных шагов по времени (Марчук [1965]) и которую теперь обычно называют схемой расщепления по времени. Ее идея заключается в последовательном применении каждой одномерной схемы по отдельности, причем результаты, получающиеся на первом промежуточном шаге, лишены фязического смысла '). Эта схема записывается так; ьз+,'" = ~! г — 9 С,б„(ь") + — С',б'-„'(ь"), (3.254а) р+! ~л+!н С б влети) + Сзбз (~ле!н) (3.254б) Она является аппроксимирующей, в отличие от схемы (3.253) обеспечивает полный второй порядок точности и устойчива при условиях С, ( 1, Св ( 1.
') Эта конпепния похожа на расшеплеиие, ранее использованное Пасменом и Ракфордом [1955) в неявной схеме метода чередующихся направлений (см. равд 3.1 !6), но не зквнвзлспгна ему. В монографии Яненко [!967) рассматриваются н другие методы дробных шагов по времени.
127 3 l 13 Схема Лейта По-видимому, любую устойчивую одномерную схему можно применять и в случае двух пространственных переменных, когда проводится расщепление по времени, причем условия устойчи. ности для одномерной схемы не меняются. В задачах обтекания тел такое расщепление по времени приводит к трудностям, связанным с граничными условиями на промежуточном шаге Как мы увидим, для вычисления граничных значений гь На поверхности тела используются значения функции тока зр во внутренних точках, но вычислять значения фату на промежуточном шаге, кажется, не имеет смысла. При достаточно малых шагах по времени на втором шаге схемы (3.254), вероятно, можно брать значение ~н с предшествующего слоя по времени. Как влияет такая постановка граничного условия на устойчивость и точность какой-либо схемы расщепления по времени, пока что не установлено.
(При решении метеорологических задач, рассматривавшихся Лейтом, трудностей не возникает.) Фромму [!97!] при помощи введения в одношаговую схему членов со смешанными производными удалось добиться устойчивости в схеме, которая была устойчива в одномерном случае и неустойчива в двумерном. !засщепление по времени может привести помимо улучшения устойчивости и к улучшению точности (см.
следующее упражнение). Упразхнение. Применить схему с разностями против потока в случае двух пространственных переменных и отсутствия вязкости для уравнения переноса с постоянными коэффициентами дь дь дь — = — и — — о —. д! дх ду ' Показать, что схема расщсплснвя по времени в отличие от схемы без расщепления приводит к точному репгсни~о, котла числа Куранта ио1/дх = ) и па1/Ьу = 1. Некоторые схемы, аналогичные схеме Лейта, обсуждаются в работах Касахары [1965) н Фишера [1965а).
Эти схемы и схема Лейта похожи на схему Лакеи — Вендроффа и ее двухшаговые варианты, которые будут рассматриваться в гл, 5, Хотя схемы Лакса — Вендроффа были разработаны для течений сжимаемой жидкости, они представляют интерес и для течений несжимаемой жидкости (Липли [1965) ), несмотря на то что эти схемы приводят к сильному затуханию коротковолновых возмущений.
Другие схемы, построенные на идее расщепления по времени и обладающие лучшими дисперсионными свойствами, будут рассматриваться в следующих разделах, а сейчас мы продолжим обсуждение некоторых более простых схем. 8.1 Метет!ы решения уравнения переноса вихря 128 3.1.14. Неявные схемы Рассмотренные выше схемы являются явными, т.
е. в них для вычисления значений на (и+ 1)-м слое по времени необходимы только известные значения на п-м, (и — 1)-м, ... слоях, Теперь приступим к обсуждению неявных схем, в которых в простраис!венных производных используются значения на п + ! слое по времени и поэтому для продвижения расчета нужно одновременно решать систему уравнений на и+ 1 слое. Запишем общую схему для модельного уравнения, описывающего течение повязкой жидкости, в следующем виде: Г."" = 1" — ( Л!) бих.
(3.255) Здесь будет рассматриваться представление пространственной производной только центральными разностями, так что Ьей !.т ! (3. 256) Ьх 2 ах где слой по времени н пока еще не определен. Аналогично, для уравнения диффузии ноложим Ь" ' ' = Ь" + (а Л1) б 8/бх (3.257) Если пространственные производные в (3.255) или (3.257) выписать на п-м слое по времени, то получится рассмотренная ранее явная схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной и с ошибкоч порядка 0(ЛА Лх').
Если же член 6~4х в уравнении конвекции (3.255) записать на новом (п+ 1)-м слое, то получится так называемая полностью неявная схема ьп-т тп ( А1) был~ /, ° (3.258) Ошибка при этом по-прежнему имеет порядок 0(ЛАЛхе), но эта схема обладает существенным преимуществом в смысле устойчивости. Исследуя устойчивость методом фон Неймана и полагая С = и А!1!хх, получаем (т +! )т (С)2) (тп+! ( те,— те) )т"" ' (1 + С7 гбп 6) = (т", 6— 1 1 — С!е!пв 1+ С! Мп О 1+ С'Мп'О 1+ Сеып'О ! [! + С'Мпевр 1+ Се Мп'О ' (3.262) Таким образом, для полностью неявной схемы имеем ) 6! ( 1 независимо от величины С.
Данная схема абсолютно устойчива, Знв!4. Неяаньге схемы 129 что дает возможность вести расчеты с произвольно большим шагом по времени, а это является большим преимуществом. Полностью неявная схема первого порядка точности абсо- лютно устойчива также и для уравнения диффузии') (Лаасо- нен [1949], Рнхтмайер н Мортон [1967]), При с( = схЛ1/Лхз по- лучаем ~" е~ = ~" + а Л!б ~~~ ('бх, (Ун+! Рч ! )гне!д!( ш 1,-'" 2) (г" е' [1 — 2а' (соз Π— 1)] = 1', 6= 1 !+2а(1 — созз) ' (3.263) (3. 264) (3. 265) (3.266) Так как 1 — сов О ) О для любых О, имеем /6] ( 1 для любых г( или любых Лй Заметим также, что 6 ) О для любых О; как было указано ранее, это условие отвечает случаю, когда осцнлляции, обусловленные чрезмерно большим шагом по времени, отсутствуют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
