Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Кемпбелл и Мюллер [1968), а также Мюллер и О'Лири [1970) установили хорошее согласование результатов расчетов с данными физических экспериментов для нескольких отрывных течений при больших числах Рейнольдса. На примере расчета течения внутри замкнутой прямоугольной области с одной подвижной грашщей Торранс с соавторами [1972] показали, что результаты, полученные при помощи второй схемы с разностями против потока для уравнений в консервативной форме, значительно точнее результатов, полученных при помощи схемы второго порядка для уравнений в не- консервативной форме. Следует также напомнить, что вязкость оказывает влияние на поле течения не только через диффузионный член в уравнении переноса вихря, но также н через условие прилипания на стенке.
Последнее может привести к более существенным различиям между течениями вязкой и невязкой жидкостей. Так, Кенцер [1970а) установил, что решение даже при таком малом схемном [т. е. основанном на я,) числе Рейнольдса, как 300, может достаточно хорошо аппроксимировать решение при отсутствии вязкости [а = О) с условием скольжения на стенке. При этом конкретная ограничительная величина такого схем- ного числа Ке будет, конечно, зависеть от задачи. (Очевидно, что в задачах, не зависящих от Ке, таких, как расчет течения Пуазейля или течения Куэтта, искусственная вязкость не оказывает никако~о влияния.) Таким образом, оказывается, что полезные решения можно получать ири помоп1и схем с разностями против потока, но при оценке точности результатов следует учитывать влияние схемной вязкости.
Схемы с разностями против потока обладают ') такой анализ искусственной вязкости применям также для первой скемы с разностями против потока, рассматриваемой в настоя>пем разделе. зд. Методы решения уравнения переноса вихря 106 также несколькими преимуществами. В отличие от схемы, использующей разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным, в схеме с разностями против потока на сеточное число Рейнольдса не накладывается ограничение, обусловленное требованиями устойчивости. В отличие от схемы «чехарда со средней точкой» (рассмотренной в предыдущем разделе) и некоторых других схем схема с разностями против потока не приводит к расчленению решения по временным шагам, а при расчетах требует на один массив меньше величин ь. В отличие от других схем, использующих центральные разности второго порядка по пространственным переменным, схема с разностями против потока не сохраняет фурье-компоненту Л = 2йх стационарной н не требует большего числа начальных и граничных условий, чем ставится для исходного дифференциального уравнения в частных производных.
Рассматриваемая схема обладает еще одним важным свойством, связанным с двумя последними пунктами, а именно свойством транспортивности. Трп группы авторов с успехом использовали физическую особенность схемы с односторонними разностями. Для того чтобы избежать введения «пустых ячеек» и улучшить свойства устойчивости Джентри, Мартин и Дали (1966] применяют разности с донорными ячейками в методе РШС (метод жидкости в ячейках). При решении задачи о течении несжимаемой жидкости Томан и Шевчик (1966] «определяют величину вихря в граничных ячейках в соответствии с направлением составляющих скорости на соответствующей границе» и таким образом «пользуются средним вихрем для ячеек, из которых он переносится».
Франкел (!956] говорит об «однонаправленном потоке информации», Все эти подходы тесно связаны с понятием «свойства транспортивности», которое мы теперь определим. 3.1.9. Свойство транопортивиооти Будем говорить, что конечно-разностный аналог дифференциального уравнения, описывающего течение жидкости, обладает свойством транспортивносги (Роуч и Мюллер [1970] ), если возмугцение, наложенное на какую-либо функцию, переносится за счет конвекции только в направлении скорости. Это определение представляется безобидным и очевидным, но дело в том, что большинство схем не обладает этим свойством. Так, все схемы, в которых для представления конвективных членов используются центральные разности по пространственным переменным, не обладают этими свойствами. Особое ударение делается на слова «переносится за счет конвекцин».
Физическое возмущение вихря распространяется за З.Л9. Свойство траислортивиости 107 дй д (ий) (3.186) д) дх При помощи схемы с разностямн вперед по времени и централь- ными разностями по пространственной переменной (ВВЦП) од- номерное уравнение (3.186) можно записать в следующей ко- нечно-разностной форме: л,~ л л л — и~с ~ — иС, (3.187) Л( 2 ах Рассмотрим в точке т возмущение е =6, полагая во всех остальных точках е = О и и ) О.
Тогда в точке от+ 1, вниз по потоку от точки возмущения, (3.188) И 2ах 2вх ' что приемлемо. Но в точке, где наложено возмущение, 1ллт1 — йл (Π— О) Ы 2Лх — =О, (3. 189) а зто уже неразумно. Еще более существенно, что в точке 1 = = рл — 1, расположенной вверх по потоку от точки возмущения, ьтл-~-1 Ьтл (3.
190) Таким образом, влияние возмущения проявляется вверх по потоку от точки возмущения, и, значит, свойство транспортивности нарушается. На следующем шаге по времени положительное возмущение появится в точке 1 = тп — 2 и т. д. Сравним полученный результат с результатом, который дает схема с разностями против потока при и ) О: Ьтл ' 1 йл Ьтл тЬл М Ьх (3. 191) Тогда при а = б, как н ранее, в точке т+ 1, расположенной вниз по потоку от точки возмущения, будем иметь (Π— ио) иа (3.192) М Ьх Лх счет диффузии во всех направлениях, но оно должно перено- ситься только в направлении скорости. Рассмотрим модельное уравнение, описывающее течение невязкой жидкости: З,Д Методы решекия уравкекия перекоса вихря 108 а это означает, что возмущение выносится из области, где оно было приложено, как это и должно быть.
(Очевидна связь между этим фактом и ранее отмеченным для схем с разностями против потока свойством нестационарности фурье-компоненты с Л = 2Ьх.) Наконец, в точке и — 1, расположенной вверх по потоку от точки возмущения, имеем й~- ьл-1 0 0 О а! Лх (3.! 94) и это указывает на то, что возмущение не переносится вверх по потоку.
Таким образом, схема с разностями против потока обладает свойством транспортивности. Она обеспечивает «однонаправленный поток информации» (Франкел [1956]). Однако выбор разностей против потока отнюдь не всегда гарантирует свойство транспортивности схемы. Рассмотрим двумерную задачу, используя необычную схему с разностями против потока, в которой потоки определяются пространственным осреднением по обоим направлениям. Простоты ради предположим, что составляющие скорости постоянны.
Тогда для уравнения д! (3.195) получаем й~,"1'-4~,! ~л-йс йг-~в а! ах ьу = — и — — о †. (3,196) Эта конечно-разностная схема записана для положительных составляющих скорости; осредненные значения вихря определяют. ся следующим образом: 91, 1Е1+ хи1, ! + Ь1, !-1 4 й1-1. !41+ ЗЬ1-1, с+ Ь1-1,1-1 4 (3.197) ! + 291 1+ Ь1+1 ! т= 4 Ь1-1, с-1+ ~Ь1, 1-1+ Ь1-Н, !-1 ьв— В этой схеме значение ья в ячейке, расположенной вверх по потоку, определяется как среднее параболическое трех значений ь что приемлемо. В точке же т, где наложено возмущение, получаем йл+1 вял (3.193) 109 3 йр Саойстоо транспоргианости в том сечении й через которое переносится вихрь Ь.
Рассмотрим теперь стационарное решение и будем считать, что всюду о = О; введем возмущение вихря е., ь = б, полагая во всех остальных точках е = О. Тогда в точке (а, б — 1) получим ~ — Щ з ~ й/4 — 0 ий — — и Лг Ьх — О = — —. (3.198) 4 Таким образом„возмущение из точки (а, Ь) переносится в направлении о в точку (а, Ь вЂ” 1) несмотря на то, что скорость о тождественно равна нулю.
Данная схема не обладает свойством транспортнвности, хотя она представляет собой некоторую разновидность схемы с разностями против потока. Формальное разложение в ряды Тейлора указывает на то, что схемы с центральными разностями точнее односторонних схем с разностями против потока. Как было отмечено в равд. 3.1.3 прн обсуждении свойства консервативности, при использовании неконсервативной схемы можно точнее аппроксимировать производную, но если в каком-либо критерии точности учитывается свойство консервативности, то система в целом не будет точнее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
