Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 22
Текст из файла (страница 22)
равд. 3,1.6), которое хотя и не представляет собой неустойчивости в смысле получения неограниченных решений, но является неустойчивостью в практическом смысле отсутствия сходимости итераций. Важно понимать, что может оказаться невозмо>кныхт провести границу между тем, что называется <настоящей» неустойчивостью и очень малой скоростью сходимости решения.
В действительности исследование строгих определений аппроксимации, сходимости и устойчивости при Лх - 0 и Лг - 0— занятие зачастую бесплодное, так как реальные расчеты проводятся прн конечных Ьх и Л!. (Изредка такое' исследование может привести к практически полезной путеводной нити, как, например, в случае требования аппроксимации в схеме Дюфорта — Франкела; см. равд. 3.1.7.) Можно дать следующую окончательную оценку трех описанных в предыдуших разделах методов исследования устойчивости. Обычно используемый метод фон Неймана, вообще говоря, самый простой, самый прямой и самый надежный. Важной его чертой является возможность непосредственного формального распространения на многомерные задачи (см. следующий раздел).
Для более сложных конечно-разностных уравнений разрешение неравенства (ст)( 1 (или неравенства для собственных значений, равд. 3.!.6) может оказаться затруднительным '). Кроме того, наименьшие рассматриваемые здесь возмущения представляют собой периодические возмущения с длиной волны Х = 2бх, точечные же возмущенпя не могут ') При этом может оказаться, что границы устойчивости матрицы перехода нужно будет определять численно. ЗЛ. Методы решения уравнения переноса вихря рассматриваться. Этот метод можно использовать для исследования влияния на устойчивость некоторых граничных условий (Кемпбелл и Кист 11968), П.
Дж. Тейлор [1988]). Анализ устойчивости при помощи метода дискретных возмущений менее надежен. По сравнению с систематнчным и формализованным методом фон Неймана успех применения этого метода является делом удачи. Для схемы с разностями против потока он приводит к тому же результату, что и метод фон Неймана (см. последние три упражнения).
Дополнительное требование об отсутствии осцилляций, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени 1которое, впрочем, не является очевидным требованием устойчивости в смысле ограниченности решения), также приводит в этом методе к результатам, совпадающим с результатамн метода фон Неймана для схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, но при существенно меньших затратах труда. Однако совсем не очевидно, что этот критерий дает правильные результаты для более сложных схем, поэтому в настоящее время его применимость в общем случае находится под вопросом. Тем не менее с помощью метода дискретных возмущений можно исследовать устойчивость в граничных н во внутренних точках в тех случаях, когда метод фон Неймана оказывается непригодным. После выхода в свет работы Уорминга и Хьетта 11974) метод Херта стал столь же формален, как и метод фон Неймана.
Он обычно с успехом применяется для определения условий устойчивости простых конечно-разностных уравнений (требуя в некоторых случаях меньшего числа алгебраических операций, чем метод фон Неймана). Этот метод был аккуратно распространен на случай исследования устойчивости нелинейных уравнений с переменными коэффициентами (Херт 119б8)), что не так легко сделать с помощью метода фон Неймана.
Итак, все три рассмотренных метода анализа устойчивости дают полезную информацию. По-прежнему наиболее широко используется метод фон Неймана, по модифицированный метод Уорминга и Хьетта оказывается даже более полезным. Однако ни один из этих методов не является полностью адекватным.
Если целью является получение численных решений, а не просто анализ численных методов самих по себе, то необходимо обращаться к численному эксперименту, имея в виду, что все или почти все методы исследования устойчивости являются ключом к выяснению практической устойчивости. Тем не менее полезность рассмотренных методов не ограничивается определением условий устойчивости. Метод дискретных возмущений обладает тем преимуществом, что в нем внимание концеитоируется на дискретных конкретных фактически д.дд Оссаедование устод«ависта проводимых расчетах, а ие на каких-либо абстракциях.
Это дает возможность использовать данный метод при постановке и анализе граничных условий и прн определении свойства транспортивности (см. равд. 3.1.9). Метод фон Неймана дает информацию не только о затухании возмущений (т. е. об устойчивости), но и о фазовых соотношениях для конечно-разностных уравнений и о получающихся дисперсионных ошибках (см. разд. 3.1.13). Метод Хорта также дает информацию о дисперсиоиных ошибках и о поведении конечно-разностных уравнений, связанном с - ффектом «искусственной вязкости».
Таким образом, все три рассмотренных метода исследования устойчивости находят свое применение и будут использоваться в следующих разделах этой книги. Зл.б. д. Метод фон Неймана для многомерных аадач Метод дискретных возмущений (Томан и Шевчнк [1966[) и метод Хорта (Херт [1968] ) могут быть распространены на случай исследования устойчивости в многомерных задачах. Мы же в качестве примера приведем здесь более простое обобщение метода Неймана на такой случай. Используя схему с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственной переменной для линеаризованного уравнения переноса вихря (2.12) с постоянными коэффициентами в плоском случае (когда сс = 1/Ке), получаем л»~ л л л л и ьс! ьс т »с+с т ьс-ь! ьс ыо ьь т-1 оГ 2Ьи 2ду + ' ' ' (3 9) 3 9 Теперь запишем каждую фурье-компоненту решения в виде ь",, = Р л ехр Р (йис' Лх + йу( Лу)), (3.
130) где 1тл снова является амплитудой на временнбм слое л частной фурье-компоненты, имеющей в направлениях х я д волновые числа й„ и йе (длины волн Л„ = 2п/й, и Л„ = 2п/й„), а /=~/ — 1. Вводя фазовые углы О' = Й„Лх и О„ = йуЛу для каординат х и у, запишем выражение (3.130) как ь, т — — РиехрР(сО„+ 16„)1; (3.131) аналогично ь"„+, „, = )т"~ ехр(11(с+ 1) О„+ (!+!) О„]) (3.132) ЗУ.
Методьг решения уравнения переноса вихря 84 и т. д. Соответствующие двумерные аналоги числа Куранта С определяются как С„= иЛ1/Лх и Сд — — оЛ1/Лу, а соответствующие аналоги величины с( как с(, = аЛ(/Лхз и с(и = ыЛ1/Луз. Подставляя зти величины в выражение (3.130), сокращая на общий множитель ехр[/(гО, +/Ов)) и используя формулы Эйлера, снова получаем )гнчг = 6'йл, где 6 = 1 — 2 (с(„+ г(и) + 2с(„соз О„+ + 2 („соз ΄— /(С„з!и 0„+ С„з!п 0„). (3633) Очевидные необходимые условия выполнения неравенства ) 6(( 1 будут г(„+ г(в я- '/х (3.134) и С, + С„<1. (3.135) В частном случае с(х = г(в = г( неравенство (3.134) принимает вид Г( ~/4.
(3. 136) Это условие вдвое сильнее ограничения, полученного для одномерного уравнения с одним только диффузионным членом. В частном случае С, = С„ = С неравенство (3.135) принимает внд С~1/, (3.137) и снова оказывается вдвое сильнее соответствующего необходимого условия в одномерном случае. Фромм [1964) показал, что для частного случая Лх = Лу = Л и О = 0„ ограничение на сеточное число Рейнольдса т(ес = ((н! + (о!)Л/сс дается нера- венством йес <~4, (3. 138) л л л л и ' „' о ' ', и>0, о>0. (3.139) Ьх ду Показать, что условие устойчивости имеет вид С + Св ~ ~1. (3.140) Упражнение Применить метод Неймана к схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным для трехмерного уравнения диффузии дк дхс дзс дхй (3.141) которое является менее жестким, чем в одномерном случае.
Упражнение. Применить метод Неймана для исследования устойчивости схемы с разностями против потока для уравнения переноса в случае нулевой вязкости 1~с+1' — ф 1 М зи,б. Одноигвговые явные схемы 83 и покаэатгь что условие (3.142) «г+ г(Э+«г~~'/г явлиется необходимым и достаточным для устойчивости. В частном случае, когда дг = дг = дг д, условие (3.142) имеег вид д< lг (3.! 43) и оказывается втрое жестче, чем а одномерном случае.
3.1,6. Одношаговые явные схемы; схема «чехарда со средней точкой» Рассмотренная для линейного модельного уравнения грубая схема ВВЦП, использующая разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным, является одношаговой явной двухслойной по времени схемой.
Она называется одношаговой, так как для перехода к новому слою по времени требуется только один вычислительный шаг. Эта схема называется явной, так как все значения в правой части (3.44в), необходимые дла вычислениЯ йлгьг на новом слое по вРеменн, известны, т. е. значения г.лагг' не входят в правую часть уравнения '). Она является двухслойной по времени '), так как для вычислений здесь привлекаются только два слоя по времени; новые значения на слое и + 1 вычисляются только по значениям на слоев. Уравнение (3.17) соответствует схеме с центральными разностями по пространственным переменным и по времени, которая, как уже было отмечено, безусловно неустойчива при любых а > 0 н (1( > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
