Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Помимо сведений об устойчивости анализ по фон Нейману дает также информацию о дисперсионных ошибках, которые будут рассмотрены в равд. 3.1.14. Упражнение, Повторить прелыдущее упражненве для схемы с разностямн против потока и найти условие устойчивости, используя на этот раз анализ по фон Нейману. 8.1 б, в. Анализ устойчивости па Хбрту Третий метод анализа устойчивости был предложен Хертом (1968) '). В этом методе члены, входяшие в конечно-разностные уравнения, раскладываются в ряды Тейлора для того, чтобы получить дифференциальное уравнение в частных производных.
Устойчнвость затем определяется из известных свойств устойчивости дифференциальных уравнений'). (Аналогичный подход к изучению конечно-разностных уравнений прн помощи полученных таким образом дифференциальных уравнений был использован в работе Сайруса и Фалтона (19671 для исследования не устойчивости, а точности конечно-разностных методов, применяемых для эллиптических уравнений.) Рассмотрим опять схему (3.18) с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной для модельного уравнения, включаюшего конвективный н диффузионный члены, предполагая, что и постоянно: ') Задача нахождения собственных значений является нетривиальной для сложных схем и для систем уравнений, которые описывают течения сжимаемой жидкости.
Залача отыскания собственных значений сама по себе может решаться численно (см. также Уоллен (19871 и Уэстлейк [1968]). ') Идея применения первого лифференциального приближения для исследования устойчивости разностных уравнений была предложена А. И. )Куковым еще в пятидесятых годах (см. Годунов С, К., Рябенький В. С. Разностные схемы. — М: Наука, 1973), Современная теория лифференциальных приближений основана на работах Н. Н.
Яненко и Ю. И Шакина. Обзор н некоторые новые результаты по анализу устойчивости схем цри помощи метода лифференциальных првближений содержатся в сяелующей работе: давыдов Ю М, Скотнякон В. П. Лифферсннпзльные приближения разносгных схем — М: пзд. ВЦ АН СССР, 1978. — Лрии. ред. ') Хорошо, если с помощью такого разложеяия получаются дифференциальные уравнения с известными свойствами устойчивости. В противном случае можно пытаться определить устойчивость полученных дифференциальных уравнений при помощи какого-либо численного иетола, обяззтелызо ис. следуя его устойчивость и т. д.
33. Мегодаг решения уравнения переноса вихря Разложим каждый член уравнения (3.114) в ряды Тейлора в окрестности точки (х, !), т. е. относительно ~л,; тогда д» ~л 1 дтг л ~л.+' = ~л+ Лà — + — Лà —, + 0(Л1а), (3.115) е =~л~Лх — ~ + — Лх' — а~ ~ 0(Лх'). (3.!1б) дх )г 2 дх' 1г Подставляя эти разложения в (3.114) и приводя подобные члены, получаем — ' ~Л1 Ж ~ + — ' Л!а — ",' ~ + 0 (Лга)1 = = — — ~2Лх — ! + 0(Лх')~+ — а~Лхт=т/ + 0(Лх)1, (3.1!7) или, опуская индексы ! и и, При Л! - О и Лх — ь О это уравнение переходит в исходное дифференциальное уравнение в частных производных (2.18).
Но при Л1 ) О уравнение (3.!18) принимает вид — — — — + — — + — — = О. бг дт( дтг ! дй и дй ва дн дх' а дт а дх (3.119) Это уравнение, полученное сохранением всех членов первого порядка в разложениях ряда Тейлора, является гиперболическим Ы/2и Гггах Рис. 3.9.
Область влияния точки (х,г) для уравнения (3.113) гиперболичесиого типа, а — область влияния для дифференниатьиого уравнении; б— область влияния для конечнорааностного уравнения, (см., например, Вейнбергер (1965) ). Как показано на рис. 3.9, а, для таких уравнений существует область влияния произвольной точки (х,(), ограниченная проходящими через эту точку и имеющими наклон -~ .Х7Ы~(2а) характеристиками, Возмущения, возникающие в точке (х, !), проявляются только внутри этой области. Часть плоскости (х, !), расположенную вне этой области, иногда называют зоной молчания.
Для конечно-разностного уравнения (3.114) также существует область влияния. Каждое новое рассчитанное значение 3.15, Осследоваипе устойчивости Циз+' зависит от значений Ьг , в соседних точках 1-1- 1 в предыдущий момент времени. Иначе говоря, каждое значение Ье! оказывает влияние на значения ц+,' в соседних точках на следующем слое по времени. Это влияние в свою очередь распространяется на значения ЦД и т.
д. Таким образом, область влияния дискретизированного уравнения (3.118) ограничивается конечно-разностными «характеристическими линиями» с наклоном Л(/Лх (см. рис. 3.9,6). Условие Куранта (Курант, Фридрихс и Леви 11928]) устойчивости конечно-разностного аналога таких гиперболических уравнений требует, чтобы область влияния конечно-разностного уравнения по крайней мере включала в себя область влияния дифференциального уравнения '). Из рис. 3,9 видно, что это накладывает условие Ы/Ьх ~(.ь~й(/(2а), или (3. 120) Но это ограничение на сз( в точности совпадает с ограничением, обусловленным днффузионным членом в уравнении и полученным ранее из анализа устойчивости как при помо!цн метода дискретных возмущений, так и при помощи метода фон Неймана.
Чтобы определить другое необходимое условие устойчивости, вычислим член дзь/дР в уравнении (3.119), дифференцируя исходное дифференциальное уравнение з) с учетом предположения и = сопз(: — = — и — +а —, д г дт дзк д( дх дл' ' (3.12! ) дзс дзй дзь д(з = д(д + дтдхз (3, 122) Меняя порядок дифференцирования и подставляя дЬ/д( из ис- ходного дифференциального уравнения в частных провзводных, ') Здесь уместно привести пример уравнения распространения звуковых воли.
Условие Кураита просто означает, что для устойчивости расчета звуковая волна за один шаг по времеви ие должка проходить расстояние, большее размера одной простраиствсвиой ячейки. з) Возмомгеи и другой путь получения приведенного ниже урааисиия при помоши разложения членов в уравнении (3.114) как функций двух независимых перемеииых в ряды Тейлора в окрестности точки (хч Г„ + !, ), т. е. 'относительно ьг~ Г . В работах Херта такое разложение приводит ь ч+!гз уравнению (".!24), которое получается ие в результате диффереицироваикз исходного диффереициальпого уравнения (3.!21), а из уравнения (3.!18) Аиалнз такого же типа можно иайти в статье Уормиига и Хьетта (19741. гле показано, что в случае постояииых козффициеитов и периодических граиичкых условий такой подход эквивалентен методу фои Неймаиа.
Использоваиие описанного выше способа иахождеиия йг из уравиеивя (3.!21) при. водит к ошибкам в коэффициеитах при производных более высокого порядка. 76 Дд Методы ретиения уравнения переноса вихря получаем дзй д Г дт дз~т д' / дй дз1Х „= — и — ( — и — "+а — )+а — зч — и=+а — ), дрз дх т, дх дх' ) дх' ч дх дх')' (3. 123) (3. 124) дзь я дзь дзЬ дзг — = и' — — 2иа — + аа— др дх' дхз дх' где аз~„ь — — а — из М(2. (3.127) Поскольку уравнение (3.126) эквивалентно исходному модельному дифференциальному уравнению, будем называть а„ре эффективной вязкостью.
С математической (и физической) точки зрения роль вязкости (диффузии) заключается в «размазывании» (диффузии) возмущения величины ~, в стремлении сделать распределение ~ однородным. Отрицательная вязкость физически невозможна, так как она приводила бы к концентрации любых малых возмущений, возникших в однородном распределении, и создавала бы таким образом монотонную неустойчивость ').
Для устойчивости необходимо, чтобы выполнялось условие а,ео ) О, или условие 51 < 2а/ит, (3.128) совпадающее с условием (3.!13), полученным прн помощи ме- з) Применительно к уравнению теплопроводностн условие а,еа > О можно интерпретировать как требование, что конечно-рааностное уравнение не должно противоречить второму началу термодинамики, Подставляя это выражение в (3.1!9) и преобразуя результат, получаем дй дь т изат т дзь дз(; а'ат' д'Ь вЂ” = — и — + (а — — ) — + иа б! — — — —. (3.125) дт дх т, 2 ) дхз дхз 2 дхз Следуя Херту [1968), отбрасываем в уравнении (3.125) выс- шие производные и сохраняем первые и вторые производные по каждому независимому переменному (х и 1), что дает полезное дифференциальное приближение. Оно имеет смысл по двум причинам. Во-перных, производные высших порядков обычно меньше.
Во-вторых, а роз1егюп известно, что условие устойчи- вости, полученное в рсаультате этого анализа, будет сильнее ограничения, накладываемого на шаг по времени при наличии только диффузионного члена, лишь для течений с малой вяз- костью, т. е. для а « и, когда коэффициенты при высших про- изводных в уравнении (3.125) становятся малыми. В резуль- тате получается дифференциальное приближение — — и — +а фе —, дь д1 дзй дг дх з дх' ' (3.
126) 77 а.).б Исследование устойчивости тода фон Неймана. В сочетании с условием (3.120) оно включает условие Куранта С = исзг/Лх ( 1. Этот анализ не снимает ограничения (3.112) на сеточное число Рейнольдса и поэтому обеспечивает необходимые, но не достаточные условия устойчивости для модельного уравнения с конвективным и диффузионным членами. Упражнение. Повторить предыдущие два упражнения по определению условий устойчивости для схемы с разностямн прогна потока, используя метод Херта. 3,1.5.
г. Краткий обзор и оценка различных критериев устойчивости Выше были приведены примеры трех различных методов анализа устойчивости: метод дискретных возмущений, метод фон Неймана и метод Херта. В методе Херта использовался критерий Куранта — Фридрихса — Леви [!928) для гиперболических систем. Известны еще по меньшей мере три более или менее популярных метода, а также ряд других менее популярных.
Ограниченность решения разностных уравнений можно непосредственно проверить при помощи критерия Фридрихса о положительности коэффициентов (см. Рихтмайер и Мортон [1967, с. 22) и Хан [1958)), а также при помощи «энергетических» методов') Келлера и Лакса (см. Рпхтмайер и Мортон [1967, с. 23 и далее)). На практике эти методы оказываются применимыми только для простейших разностных схем дифференциальных уравнений, Подобно этим двум методам в методе Эдди [1949) также рассматриваются непосредственно свойства множителя перехода для конечно-разностных уравнений, а не дискретные фурье-компоненты. Оказывается, что в простых случаях, рассмотренных в работе Эдди [1949), этот метод дает результаты, совпадающие с результатами метода фон Неймана, но он сложнее в приложениях и не используется в открытой литературе.
Критерии устойчивости в этих трех методах, так же как и в методе фон Неймана '), где требуется, чтобы множитель перехода удовлетворял условию [ 6 ~ ( 1, основаны на ограниченности решения. (Однако критерий фон Неймана можно модифицировать, приведя его к виду ) 0[ ( 1 — О (сзг), что дает возможность рассматривать случаи неограниченных решений дифференциальных уравнений.) Все эти указанные критерии не Вообще говоря, в этих методах рассматривается квадрат независимой переменной (а ие обязательно физическая энергия). ') В чаще всего цитируемом в открытой литературе изложении метода фои Неймана 10'Брайен, Хаймен и Каплан (1950)) устойчивость фактически определяется по росту или затуханию машинных ошибок округления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
