Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Расчет давления на поверхности удобно проводить при помощи легко выводимого соотношения (см. задачу 3.32) 6Р 1 е)ь оз ке дю ' (3.511) З.б.2. Уравнение Пуассона для давления Более точное решение можно найти, интегрируя уравнение Пуассона для давления, которос получается следующим образом. ') Такое интегрирование известной функции [(х, д) по двум везависимым переменным Бакпнгем [1962) называет «кубатурой». где п и з — нормаль и касательная к поверхности (см. Пирсон [1965а] ). Полное описание трудностей, возникаю1цих при численной реализации этого способа, можно найти в работе Масляха и Эпштейна [1970].
Но, вообще говоря, если интегрирование вести по различным путям до одной и тов же точки, данный способ приводит к различным результатам, Такое различие частично обусловлено ошибками прн вычислении функции тока ф. Но даже если во всех узловых точках известно точное решение для функции тока ф интегрирование по различным траекториям будет приводить к разным результатам из-за ошибок, допущенных прн численной квадратуре'). Далее заметим, что в уравнении (3.509) интегрируются частные производные скорости, для расчета которых требуется двукратное дифференцирование численно найденного поля функции тока, что обычно приводит к сниженшо точности.
Этот способ особенно чувствителен к ошибкам в задачах, подобных задаче, прсдставлснной на рис. 3.22, когда путь интегрирования проходит вблизи от угловой точки. Дд 7 Уравнение Пдаггана дяя даамния 277 Продифференцируем уравнение (3.509а) по х; д'Р ! д = — — —, + — — (Ч'и). дх' Ке дх (3.512) Продифференцируем уравнение (3.5095) по у: дзР 1 д = — — + — — Ж'о). ддз Ке дд Сложение уравнений (3.512) и (3.513) дает Из уравнения неразрывности (3.509в) имеем (3.513) (3.514) (3.515) кроме того (3.516) (3.
5! 7) (3. 518) прини- (3. 519) Рассмотрим тождество (3. 520) откуда (3.521) Наконец, получаем д а д ., дзи д'и дз„ дза дх ( ду ( ) дх' + дхдаз + дз дхз + диз С учетом равенств (3.515) — (3.518) уравнение (3.514) мает вид д 5 Рат«ет давления 276 Подставляя этот результат в уравнение (3.519), получаем 1 , до ди ди до 2 дх ду дх ду ' Чзр (3.522) (Из этого уравнения видно, что иа стенке с условием прилппания Ч'Р = О.) Для того чтобы записать уравнение (3.522) через функцию тока ф, вспомним, что и = дну, о = — дфудх; (3. 523) тогда — 2ЧзР=( д е')(д з) (д д )( — д д ), (3.524) или (3.525) Это уравнение Пуассона для давления.
Обычные конечно-разностные формулы с центральными разностями по пространственным переменным (см. равд. 3.1.1) приводят к следующему выражению: 5. =2Гф+«1+ф; — ь1 — эфь1 Фьуы+Ф~ 1,— 24ьт о 1=2( д„з' а„а ( ' ' ' ' ) ), (3.526 ) 1 (3 526) «зч 4 ахну имеющему порядок точности 0(2«хз, Луа). Уравнение (3.525) аналогично уравнению для функции тока Чз«р = ~, причем источниковый член о аналогичен источпиковому члену ~.
Все методы решения уравнения Пуассона, которые были рассмотрены в равд. 3.2, применимы и в данном случае, но как будет выяснено в следующем разделе, граничные условия в этих двух случаях различны. З.б.З. Граничные условия второго рода для давления При решении уравнения Чзф = ~ хотя бы некоторые граничные условия являются условиями первого рода, или граничными условиями Дирпхле: ф(х,у) есть заданная функция вдоль границ. При решении уравнения Пуассона для давления ставятся условия второго рода (граничные условия Неймана), т. е, на границе задается дР(х,у)1дл, где и — нормаль к границе. Величина градиента давления находится пз уравнения (3.509). Упражнение. Запасать ионечно-разностное представление для составляюпгих градиента давления бр(бх и бр/бу через функцию тока ф, Упражнение. Показать, что для стенки с условием прилнпання (Пирсон (1966а]) бр 1 бь (3.627) бп Ке бз Е9 5.5.4, Игераиионньге метода решения где л и з — нормаль и касательная н стенке.
Производная по касательной к стенке б~Яз в уравнении (3.527) легко вычисляется с помощью центральных разностей. Заметим, что здесь при расчете можно брать любой метод, поскольку при решении уравнения Пуассона градиент не пересчитывается, а отсутствие обратной связи исключает возможность появления неустойчивости. Однако предпочтение отдается схемам с центральными разностями, согласующимися со вторым порядком точности 0(ЛЯ) метода в целом.
Для нестационарных решений в уравпепнях (3.509) часто пренебрегают членами ди/д1 и до/д1 и используют простейшее приближение дР,'дп ж 0'). Эти приближенные допущения не обязательны, и следует решать уравнения (3.509) точнее. Заметим, что наличие члена с коэффициентом 1/Гсе отнюдь не означает, что в течениях с большими Ке этим членом можно пренебрегать. Для пограничного слоя, толщина которого б мала, известно, что дР(дп = = 0(б), но в более общем случае величина дР(дп может оказаться большой. (На линии симметрии, конечно, ставится условие бР!би = 0.) В окрестности угловой точки С (рис. 3.22) постановка граничных условий Неймана может привести к двузначности давления в этой точке. Такую двузначность, как и двузначность функции с, в способе ! (рнс.
3.30), рекомендуется сохранить, хотя это ие физично. Ошибка же в «однозначности» Р. — Р, может являться мерой ошибки аппроксимации вблизи угловой точки З.б.4. Итерационные методы решения Граничные условия Неймана выдвигают два специальных требования при решении задачи. Первое требование заключается во введении градиентного условия в уравнения метода последовательной верхней релаксации. Очевидный способ решения здесь таков: вычисляются новые значения на (й + 1)-й итерации во всех внутренних точках сетки, а затем по известной величине бРЯп и вновь вычисленным значениям в точках, смежных с границей, рассчитываются значения функции па этой границе. Для точкн (5 /с) границы В 2 (рис.
3.22), используя в соответствии с формулой (3.380) метод последовательной верхней релаксации, получаем следующие уравнения: ') Это приближение известно иа теории иограничного слоя (см., наиример, Шликтннг (!968]). Фактически е рассматринаемом случае ириближенне будет более точным, поскольку постоянстао Р иредиолагается не поперек коего чогранн мого г ~оя, а лишь а его части. б.тижзйшей к стенке д Д Рас1ет давления 280 для расчета внутренних точек »-1-1 ы гРс Рз+! 2 З с2ра Рс (сь! З (! ) й ) ~~!е! (с»1+ Р1-1, (се!+ Р Р1 ! ьз+ н Рс, — лх Я! (, ! — 2(1+ 5 ) Р! ! 1)+ )т~ ),, (3»528а) (здесь Р,' , — значение на границе, взятое с Ф-й итерации); для определения значений функции на границе 6Р Рс „=-Рь„„— —,Лр.
(3.528б) Однако такой правдоподобный способ не сходится. Решение «ползет» медленно, но нео!раниченно долго. Это является причиной того, что вплоть до конца шестидесятых годов большинство опубликованных работ не содержало расчетов давления, а приводившиеся в остальных работах распределения давления оказывались неверными, хотя они и удовлетворяли какому-либо «критерию сходимости», подобному условию (3.501). Метеоролог Миякода 11962] рекомендует подставлять градиентные граничные условия непосредственно в разностную схему метода последовательной верхней релаксации при расчете внутренних точек, смежных с границами'). Таким образом, уравнение в виде (3.528а) бере~ся только во внутренних точках, отстоящих от границ более чем на одну ячейку.
В точках, смежных с границей, уравнение (3.528а) заменяется следуюшнм: ы г Ь -1- ! 2 1, в+1= с(! ( 1)2) ЬР!+1, !!11+ 1 1 1.(с+1 +(с Р1, !с!2+ 2! 2,1 бР( ! 2 + 11 (кР! '(се! — — ~ ЛР ) — Лх 5! )с~.!— ба !1, (с — 2(1+ 8 ) Р1, (с»11+ Р1, !с+ь (3.529) Второе требование, связанное с постановкой условия Неймана, заключается в том, что градиент давления на границе должен согласовываться с источниковым членом в уравнении Пуассона. По теореме Грина для существования решения диф- 1) Автор весьма нризнатеаен н-ру С. Пнанеку, который указзл ему зту ненную работу. которое разрешается алгебраически относительно члена Рзт! входящего н обе части равенства. После того как сходнмость достигнута, окончательные значения функции на границе можно найти по уравнению (3.528б).
Уравнение (3.529) отличается от (3.528а) н (3.528б) только номером слоя по времени в члене 52(Рс".е!1ь! — ЛР)бп 1! ), Лу). 5.5.5 Характерное велнчина длл отсчета давление 281 ференциального уравнения (3.525) в области Е необходимо выполнение условия Е = ~ Е с!Š— ~ (дР7дп) Ж = О (относительно и ел одномерного случая см, приложение А). Из-за ошибок аппроксимации значения функции на границе обычно не удовлетворяют этому условию, что приводит к медленной расходимости метода последовательной верхней релаксации. Миякода 11962) рекомендует задавать ЬР7бп так, чтобы это условие выполнялось.
Способ, предложенный Брили 1! 974), а также Гхиэ и Гхиа (личиое сообщение), заключается в нахождении дискретизированной величины Е и последующем решении видоизмененного уравнения К'Р = 5 — Е!К где !с — площадь рассчитываемой области.
Если интегрирование для величины Е выполнено надлежащим способом (Гхпа и Гхна; см., например, ниже уравнения (3.533) н (3.534)), то итерационная сходимость как в методе последовательной верхней релаксации, так и в неявной схеме метода чередующихся направлений существенно улучшится. Отметим, что градиентное граничное условие второго рода может потребовать специального подхода, чтобы избежать неопределенности в методе прогонки, применяемом в неявной схеме метода чередующихся направлений (см. приложение А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
