Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Метод Мореттп использовался и для расчета трехмерных задач, причем были получены достаточно точные результаты (Итон [1970]). Аналогичное разностное представление по времени прнменялн Бастиапон [1969] и для квазнодномерных задач Андерсон [1969а, 1969б]. Армитеджу [1967] не удалось осушествить ио схеме Лакса — Вендроффа устойчивый расчет осесимметричных вихревых течений в криволинейной системе координат, связанной с контуром стенки произвольного сопла; вероятно, эта неудача была обусловлена неустойчивостью, аналопшпои неустойчивости,описанной Берстейном [1965, !966]. Отметим, однако, что при по- моши схемы Лакса — Вендроффа Сондерс [1966] рассчитал трапсзвуковое течение внутри соила, посмотря па теоретические указания (Парлетт [!966]) о непригодности этой схемы для расчета трансзвуковых течений.
Саймент [1968] рассмотрел влияние изменения шага сетки Лх па устойчивость схемы Лакса — Вендроффа. Схема Лакса — Вендроффа может применяться и в лагранжевых переменных; в этом случае она является единственной схемой, не приводящей к размазыванию скачка (Лаке и Вепдрофф [1964], Рихтмайер и Мортон [1967], Ван Леер [1969]). Скоглунд и Гей [1969] видоизменилн двумерный вариант схемы Лакса — Вендроффа, представив члены в уравнении (5.76) в следуюшем виде: (5.78а) сЗ ' дБ тэб ДП дб (5,78б) Производные дЕ/дх и дб/ду уже определялись в схеме при рассмотрении первой производной по времени, а другие члены можно сгруппировать. Такой вариант схемы приводит к значительному сокрашению числа арифметических действий, по прп этом теряется принципиальная простота и строгая консервативность схемы.
При помощи этого варианта схемы удалось рассчитать сложную задачу о взаимодействии ударной волны с пограничным слоем. Первоначальный вариант схемы Лакса — Вендроффа до сих пор представляет теоретический интерес и стимулирует развитие других схем (Фишер [1965а, 1965б], Касахара [1965], Каса- хара с соавторами [1965], Цвас и Абарбанель [!970]). Двумерные задачи по этой схеме решали Бсрстейн [1965, !966], а также Скоглунд и Гей [1969]. Однако для многомерных задач она была вытеснена двухшаговой схемой, к рассмотрению которой мы сейчас переходим.
5.5.б. 71лух!иаголая гхгмл Лалса — Белдуоффа 873 б.б.б. Двухшаговая схема Ланса — Вэндроффа Двухшаговый вариант схемы Лакса — Вендроффа, гораздо более простой, чем первоначальная схема, в особенности для многомерных задач, был предложен Рнхтмайером [1963] '). Здесь первый шаг проводится по схеме Лаков (см, разд. 5.5.4), а на втором шаге применяется схема «чехарда» (см.
разд, 3.1.6). Для векторного уравнения (4.66а) да!шая схема записывается следующим образом: ул ул Цл,'!= 1 ~(7)~я+ (7л,1 Л г»' уле! улы (/л = (79 — 2Л7 (5.79б) 2 ах Упражнение. Показать, что для уравневвй с посгояннымн коэффнинентами двухюаговая схема Рихтмайера и схема Лэнса — Всидроффа эквивалентны.
Распространение схемы на многомерный случай очевидно и проводится просто. Для двумерного уравнения (5.80) имеем Ц", =4).6";.ь,+и" ь!+иь ° +и>:к 1— л ~ "'' '-"+ г р ул бл бл 2Лх 2Лу г ул-н у э! П »! П »! ""+=""' — 2Л( ' ' + ' ' 1. 2 Лх 2Лу (5.81а) (5.81б) Эта двумерная схема требует около четверти машинного времени, необходимого для первоначального варианта схемы Лакса— ') Бсрстсйи (!9661 утверждает, что одномерный вариант этой схемы был нпервые предложен Всндроффом; см.
также схему Чудова, описанную в работе Браиловской с соавторамп (!968). л-' ! л»! Значения Рьь! на втором шаге вычисляются по значениям 6!;л ! полученным на первом шаге. Первый шаг можно рассматривать как предварительный, а смысл имеют только результаты второго шага в каждом цикле. Хотя эта схема по виду не похожа на первоначальную схему Лакса — Вендроффа (уравнения (5.72) — (5.74)), однако подстановка (5.79а) в (5,79б) показывает, что в случае линеаризованной системы уравнений с постоянными коэффициентами эти схемы эквивалентны. 2.5. Схемы с неяеноя оскясстеенное еяекостыо 374 Вендроффа (Эмери [1968]) и дает меньпше всплески за скачком (см., например, Рубин и Берстейн [1967]). Лапидус [1967] применил эту схему в случае общего преобразования координат, а Хафтон с соавторами [1966] — к геофизическим задачам с учетом корполнсова ускорения и с введенпем дополнительной искусственной диффузии, согласно закону Фина (см.
разд. 3.1.2). Синха с соавторами [1970] рассчитал истечение недорасшнренной струи, включая маховскпй дпскообразпый скачок. Хотя первый шаг в схеме содержит диффузионные ошибки аппроксимации, вся схема в целом их не содержит, по крайней мере для нестациопарного случая. Что касается стационарного случая, то в схеме имеет место искусственная вязкость, зависящая от Л! (см. Равд. 3.1.13).
Следуя Рпхтмайеру [1963], стало традицией любую схему, которую можно интерпретировать как разложение в ряд Тейлора до членов второго порядка по времени включительно, называть двухшаговой схемой Лакса — Вендроффа илн схемой типа Лакса — Всндроффа и т. д, Представляется, что это слишком широкая н несколько неточная классификация: она объединяет, например, как схемы Адамса — Бэшфорта (равд. 3.!.12) и Хойна (равд. 3.!.!5), разработанные ранее схемы Лакса — Вендроффа, так и схемы Лейта (равд.
3.1.13) и Мак-Кормака (которая будет обсуждаться пижс). Мы сознаем, что отдельные схемы должны классифицироваться конкретнее, но, следуя традиции, приводим их все в настоящем разделе. Берстейн [1965, 1967], а затем Рубин и Ббрстейн [1967] модифицировали схему Рнхтмайера (5.79), введя расчет на полушагах по пространству Лх/2 и по времени б1/2. Тогда формула для первого полушага иршшмает вид л л = —,~ '. +и1 — —, лн-2Л 1 л , Д' Л2н-2 — "2 (5.82а) Лл Лл На втором полушаге расчет проводится по формуле ол-~-Н2 Гл НН2 л+2 (/л б;тнз — 2дп2 ! дх (5.82в) Берстейн [1965, 1966] применял данную схему также в цилиндрических координатах. Эта схема не полностью эквивалентна схеме Рнхтмайера, причем последняя предпочтительнее по соображениям реализации граничных условий.
Граничные условия должны использоваться после каждого нз днух шагов, причем определение гра- зуб 5.5.6. Двухгааговая схема Вакса — Векдроффа яичных значений но формулам (5.82а) н (5.82б) при смещенном положении узлов сетки типа ! + '/з приводит к неудовлетворительным результатам ') (см. разд. 5.7.1 и 5.7.2). !"урли и Моррис (1968б] записали двухшаговую схему типа Лакса — Вендроффа в следующем виде: 5«ч ш реь!и (уаь! (/а й! ! '-!!2 ! — !!2 (5.83б) ! Ах Эта схема принципиально аналогична схеме Рихтмайера (5.79), но полностью пе идентична нн ей, нн даже схеме Бсрстейна (5.82).
Заметим, что прн переходе от формулы первого полушага (5.83а) к формуле по схеме Лакса будем иметь —,' ~и7 из+ ич! пз1 = —,' (уч„+ ф и", + — „' !7"; ь (5.84) что отличается от шаблона схемы Лакса в г-й и (! -+ 1)-й узловых точках. Фактически схема (5.83) полностью не определена, поскольку величины Г в уравнении (5.83б) могут быть представлены одним из двух возможных способов: либо как р7'К = Г(ис3„') = р((ич-ш+ ие ")/2], (5.85) либо как дч"'=]р(и!"")+Р(и!.''!'42, (586) что нс эквивалентно в случае, когда 0 пе постоянно. Этой схеме присуши те же трудности, связанные с граничными условиями, что и схеме Берстейна (5.82).
Другая схема Рубина и Берстейна 1!967] состоит в изменении подхода к центрированию по времени. Предварительные значения в точках с полуцелыми по пространству индексами !.+ '/а вычисляются в точках с целыми по времени индексами: (/сь!гг = — ((г!'+ 0";~!) — б! + ', (5.87а) ри ра У~'+~!~ = — (У";+ (/! !) — б! ' ' . (5.87б) Тогда при центрировании по времени второй шаг имеет вид Г Ва ра раж! Вае! Уг+' — — О! — — Л! ] ' ' ' ' + '+ ' ], (5.87в) 2 2 ах ах ') Более приемлемые результаты получаются при обычном тестовом рас. чете одномерного распространенна ударной волны.
55. Схемы с неявной искусственной вязкостью где ттлч!, очевидно, представляет собой величину гл~-! г ((улн-! ) (5.88) Для больших чисел Куранта последняя схема дает даже меньшие всплеск за скачком, чем схема (5.82), однако здесь снова возникают трудности, связанные с граничными условиями на стенке. Рубин [!970] рассчитывал по этой схеме одномерные течения вязкого газа с химическими реакциями и излучением.
Исследуя устойчивость, Рубин и Прейзер [1968] установили, что для всех перечисленных выше схем обычное ограничение по числу Куранта (5.4а) является необходимым и достаточным для устойчивости '). Синглтон [1968] ввел в двухшаговую схему Лакса — Вендроффа расщепление по времени, вычисляя предварительные значения в точках (!'~ !/т,)) по одномерной схеме Лакса в напРавлении х н пРсдваРптельныс значеннЯ в точках (с,)~ '/в) по одномерной схеме Лакса в направлении у.
Первый шаг для уравнения (5.80) будет при этом иметь вид 2 ( 'э+ !э! д! рл Гл Ол Ол 2 бх + '+ ~'~ '+ ' ~ ~ (589а) 2 бр и лью !т л л (/!.!+ш —,((/.!+(/ !э!)— 2 [2 + ' — '' ~ . (5.895) 2 Д.к ау Второй шаг выполняется по обычной схеме «чехарда» г лэш улэш Олэ!о Оле!д (/э =(Уе — ЛГ ' ' ' ' ' + ' ' ' [. (5.89в) ,!в йх ау Синглтон находит значения в точках с полуцелымн индексами ! -!- '/ь 1 ~ '/в и выражениях (5.89а) и (5.89б) по формуле (5.86), а не по формуле (5,85).
На втором шаге (5.89в) значения в точках с полуцелыми индексами определяются согласно (5.88). Условия устойчивости для этой схемы получены небыли Очень интересная двухшаговая схема была разработана Мак-Кормаком [1969, 1970]. В ней ца двух последовательных шагах по времени попеременно используются конечные разности вперед н назад по пространственным переменным. Для ') Условие, полученное в этой работе, заменило полученное ранее вдвое более жесткое достаточное условие устойчивости Берстейна [1966, 19661.
5.5.5. Двухагаговав схема Лакее — Вендроф4а Зтт одномерного случая эту схему можно записать в следующем виде: рв р» (ув~- г (,в А! гг-1 (6.90а) Ьх Модификация схемы получается чередованием конечных разностей вперед и назад на последовательных (полных] шагах по времени. В двумерном случае конечные разности вперед и назад могут браться различно в направлениях к и д п циклически чередоваться на двух или четырех последовательных шагах по времени, Кроме того, эта схема может использоваться вместе с методом Марчука расщепления по времени (равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
