Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 88
Текст из файла (страница 88)
') Квк мы видели в гл. 3, в девств~тсльностн это верно в том случае, когда устойчивость определяется только в пределе прн Лх е О, а не для реальных Лх ) О. ') В этом отнонзенин интересна схема метода чередующихся направлений Мах-Кн н Митчелла [!970) для членов, содержащих смешанные производные.
б б Д Схемы для аппроксиланаи членов с вязкостью 888 6.6.3. Схемы для аппронсимации членов с вявностью В равд. 3.1.14 мы установили практическое правило для модельного уравнения, согласно которому явная по времени конечно-разностная схема, пригодная для уравнений прн отсутствии вязкости, в общем случае не будет успешна для расчета только одних вязких членов. Представляется, что это правило остается верным и для уравнений течения сжимаемого газа. Например, применение двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа к вязким членам приводит к неустойчивости (Рубин и Берстейн [1967], Фройдигер и др.
[1967]). Томмен [1966] предложил простую схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным для диффузионного члена на обоих шагах по времени '). Эта условно устойчивая схема имеет очень жесткое ограничение на шаг по времени при малых значениях сеточного числа Рейнольдса Ре, (см, задачу 5.7). Результаты исследования устойчивости водно- мерном случае графически представили Рубин и Берстейн [1967]. Мак-Кормак применил двумерный вариант своей схемы (5.90) как к вязким, так и к невязким членам, используя условие устойчивости при отсутствии вязкости при расчете течений с большими числами Рейнольдса (Мак-Кормак [1970]) и дополнительное условие в виде стг ( Ь КеЛхз при расчете течений с болыпей вязкостью (Мак-Кормак [1969] ')).
Если вязкие члены нс аппроксимируются надле>кащим образом, то при этом теряется второй порядок точности схемы (см. приложение Б). Павлов [1968б] применил простую схему с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственным переменным к полным уравнениям Навье — Стокса и получил решения для малых чисел Рейнольдса (Ке = 50). Батлер [1967] также брал эту схему для представления вязких членов в методах Р1С и РЕ!С. Скала и Гордон [1967] рассчитали течения при еще меньших числах Рейнольдса по схеме «классики» (равд. 3.1.18, 3,2,?) в преобразованной системе координат, применяя для конвективных членов разности против потока, а для диффузионных членов разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным, Необходимо отметить, что, хотя перечисленные работы имеют значительную ценность, сочетание большого числа Маха с малым ') В схеме Чудова (Браиловская с соавторами !)968!) на первом предварительном шаге по времени вклад вязкости не учитывается.
Эту схему затем применяли многие авторы. ') Подробности расчета вязких членов в схеме Мак-Кормака и соответствующие условия устойчивости изложены в работе Мак-Карнака и Болдуина (!978!. з а тлям с вязхостмо 888 числом Рейнольдса может привести к тому, что физическое течение будет выходить за пределы справедливости гипотезы о сплошности среды, а тем самым и за пределы справедливости уравнений Навье — Стокса. Для расчета течений вязкого газа без скачков Бранловская 11965] применяла двухшаговую схему (3,266).
В приложении к уравнениям (4.63) течения сжимаемой жидкости эту схему можно кратко описать следующим образом. Обозначим индексами / и 'г' соответственно невязкие и вязкие члены функций г" и 6; тогда (/" " ' = (/" — Л/ (Ь/'/~бх + бс/" /'бу1 аяи вбв~.! 80~~~ //л+! //и Л/ ! ! г + г + — ~ Ьх Ьх бу ад (5.102а) (5.102б) оказывается вдвое более жестким, чем обычное диффузионное ограничение на шаг по времени для одношаговых схем.
Эти условия были достаточными для обеспечения устойчивости в расчетах Браиловской ]1965], однако рассмотрение уравнения энергии (4,42г) и уравнений (4.44б) и (4.45) вводит дополнительное диффузионное условие устойчивости г!з = — ' .а! 1 Д'Х 8' (5. 105) где Ы = Рг йе ° й4',(у — 1) (5.106) Так как Браиловская проводила свои расчеты при Ма ( 1, Рг (1 и, конечно, у (2, то при вьшолнении условия (5.103) условие (5.!05) автоматически выполнялось, поскольку Х(йе.
(Для воздуха Х ) Ке только при Ма ) 1.89.) Аллен и Чен [1970] изменили аппроксимацию диффузионных членов в схеме Браиловской и добились полного устране- где б/бх и б/бд представляются центральными разностями, а /~~ =/у((/ ~/ и т.д. Для двумерного случая Браиловской ]1965] было найдено достаточное условие линейной устойчивости где Л вЂ” размер ячейки, Лх=Лу=-Л или Л= у'ЛхЛу при Лх Ф Лу (предположительно). Второе неравенство в условии (5.103) представляет собой обычное ограничение по числу Куранта, С ( 1, а первое, которое можно переписать в виде (5. 104) 5.5.5.
Схемы для аппроксимации членов с вязкостью 387 ння ограничения на диффузионную устойчивость для уравнений с постоянными р и Й (т. е. с р = й = 1). Такая схема для модельного уравнения течения несжимаемой жидкости уже была описана в гл. 3 (см. формулы (3.303)). Для течений сжимаемой жидкости градиенты давления в уравнениях количества движения представлялись конечными разностями так же, как конвективные члены в схеме (3.303). Если схему Чена †Алле применять для уравнений с переменными коэффициентами переноса, содержащих члены типа д[/(дд/дх)1/дх, то для соответствующей аппроксимации члены типа /! !7а,! в формуле (5.100) па первом предварительном шаге необходимо рассчитывать так: /!в|в.
! = '/а (/(Т!, !') + /(Т;'м и !)), (5.107а) а на втором шаге так: / в!!к ! — — '/а ЯТ", ! ) + /(Т~в~ ь !)). (5.10?6) К сожалению, это приводит к неявной системе конечно-разностных уравнений. Для сохранения явности схемы / следует вычислять на первом шаге так: /1в!!2, ! /2 0 (Т! !) + /(Т;в! !7г, (5.!08а) а на втором шаге либо опять по формуле (5.108а), либо так: /еянт,!='/х ЯТ! ! )+ /(Тпд~!.!)) (5 108б) Можно предполагать, что если / = р(Т) и / = й(Т) существенно меняются при изменении Т, то для этой схемы также надо рассматривать диффузионное условие устойчивости на шаг по нремени '), и здесь можно отдать предпочтение схеме Браиловской за ее сравнительную простоту. Прн помощи данной схемы Аллен и Чен (Аллен !1968), Аллен и Чен [!970] и Чен (1970) ) успешно рассчитывалисверхзвуковое течение в донной области со слабыми ударными волнами.
Очень существенным достоинством двухшаговых схем Браиловской и Чена — Аллена является то, что в ннх оба шага имеют один и тот же вид в отличие от всех двухшаговых схем типа Лакса — Вендроффа (равд. 5.5.6). Для стационарных ре. шений рассмотренные схемы не илтеют искусственной вязкости (однако в нестационарном случае искусственная вязкость в этих схемах имеет место). Таким образом, для стапионарпых течений со слабыми ударными волнами схемы Браиловской и ') В двухшаговой схеме Рауна и Мюллера (!988] использовалнсь формулы типа (8.!07). дальнейшие нсследовзння показали, однако, что в втой схеме диффузионное условие устойчивости, к сожалению, не исключается, а только ослабляется, 388 5 5 Члены е вязкостью Чена — Аллена предпочтительнее схем типа Лаков — Вендроффа.
Схема Крокко [1965[ для аппроксимации конвективных членов уже была изложена в равд. 3.1.12. Для полного модельного уравнения (5,1) эту трехслойную схему можно записать в виде 1; =ц+Аг~ — (!+Г) „— г „„+ 5 (дг)л 5 (дг)л й",.„-гй",+й",,1 +а ' (5.109) 8 (ро)л ' 5(рн) ( "+1 ( )л+1 ( )л+1 дле1) (5 110) 5( 5Г разностный аналог члена д(ри)/дй полученный из уравнения (4.63) при помощи центральных разностей по пространственным переменным для вссх производных и по значениям в момент времени, соответствующий индексу и+1 в этом выражении.
Аналогичные выражения имеют место и для других переменных. Тогда схема Нагеля представляет собой исследо При помощи своей схемы Крокко рассчитывал течение сжимаемого газа с ударными волнами по квазиодномерным уравнениям с постоянными коэффициентами переноса. Градиент давления аппроксимировался так же, как конвективные члены в схеме (5.109). Условия устойчивости были представлены в графическом виде (Крокко [1965]). Викториа и Стейгер [1970] рассчитали по этой схеме двумерные плоские и осесимметричные течения со слабыми ударными волнами, а также учли эффекты осесимметричности при исследовании устойчивости.
Как и в схеме Чена — Аллена, переменные коэффициенты переноса в (5.107) приводят к неявности рассмотренной схемы. Брили и Макдональд [1975], а также Баум и Ндефо [!973] с успехом применяли неявную схему метода чередуюшихся направлений (см. равд. 3.1.16) для расчета сверхзвуковых течений вязкого газа. Их схемы различались способами линеарнзации, при неудачном проведении которой можно сильно испортить устойчивость, достигнутую за счет неявности. Малоизвестная схема расчета полной системы уравнений течения сжимаемой жидкости была разработана Нагелем [1967].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
