Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 92
Текст из файла (страница 92)
б 7 2 бт ел на с и р ахи п аттпе н где (ро) ым = 0 на стенке с прилипанием, Аналогичные формулы применялись и для потоков величин рис, роа и о(Е,+ Р). Консервативность сохранялась, поскольку для расчета в обеих ячейках ес + 1 и гв + 2 на границе гв + '/а брался поток (5.147). Будучи несколько сложнее для программирования, этот способ обеспечивает отсутствие отрицательных значепяй плотности на уступе.
Способ отражения на расчетной сетке второго типа привлекателен прежде всего удобством аппроксимации вязких членов, приводящем, однако, к понижению порядка точности. При помощи способа отражения требуемые значения р, и, о и Т на стенке устанавливаются автоматически, отвечая линейной интерполяции. Хотя на первый взгляд этот подход представляется разумным, в действительности он понижает порядок аппроксимации членов со вторыми производными (описывающих вязкие напряжения и теплопроводность) до первого и может быть причиной ошибок, связанных с нарушением ограниченности решения (см. обсуждение способов определения величины вихря на стенке в равд. 3.3.2). Следовательно, применение расчетной сетки второго типа хотя и удобно, но приводит к ухудшению точности и поэтому в общем случае не может быть рекомендовано. Необходимо отметить, однако, что Аллен и Чен (Аллен [1968), Аллен и Чен [1970]) модифицировали расчет вязких членов в первом от стенки узле расчетной сетки второго типа.
Они определяли величины производных типа дУ/ду[„, входящие в вязкие члены в точке ш + 1, прп помощи экстраполяции второго порядка по внутренним точкам: — = зт'"+ эгг"ч' с~ +' -+ О (Аул). (5.148) ву ст 3ьв Если У =- и или (/= о, то У„=О н формула (5.148) упрощается. Проведенные Алленом [1968[ расчеты для уравнения Бюргерса показали, что при больших числах Рейнольдса здесь формула первого порядка несколько предпочтительнее. По мнению автора, в настоящее время точность этого способа для многомерных задач полностью не выяснена. б,7.2.
в. Расчвт плотности на гибридной сетке Ясно, что для стенок с прилипанием граничные условия для величин и, о, Т удобнее и точнее ставятся на расчетной сетке первого типа, узлы которой лежат на стенке. Плотность же, наоборот, удобнее и точнее вычисляется на расчетной сетке второго типа, узлы которой расположены на расстоянии Лу/2 от стенки. Эти соображения подсказывают введение гибридной сетки с шахматным расположением узлов, чоа Ду Грини«нме условия для те«ений ежииие «ой жидкости Е, м+! .
° (у), м««х е,ы Геометрия гибридной сетки показана на рис. 5.5, и. Переменные и, о, Т определены в узлах сетки, обозначенных темными кружками, а плотность р — в узлах, обозначенных крестиками. (Эта сетка отличается от сетки, используемой в методе частиц в ячейках в равд. 5.5.3, где в одних узлах определены плотность и х х х х х энергия, а в других — составляющие скорости.) Используя контрольный е',и ев«,м объем, легко вывести урав- нение неразрывности во е,ы е+1,ы х внутренней узловой точке р,-сетки. Например, поток в а ячейку с центром в точке (1,1)х чеРез левУю стоРонУ равен риЬу='/ (рх, + + р",.
) ° '/, (и,, + и,,) Ьу, е, 3Р+Й (о. 149) (у) е и«+ аеа Ф где верхний индекс у(' означает, что соответствующая величина определена на х',- сетке. Значения р в равенстве (5.149) определены в соответствии с аппроксимациями центральными разностями второго порядка точности. Для второй схемы с Рис. 5.5. Гибридная расчетная сетка. Значения и, о и Г определяются в точ- ко1щчными Разностими пРо. ках, отмеченных темными кружками, тив потока мы имели бы аначения р — в точках, отмеченных кре- Ь х стика ми.
рибу=р,, 1 та(и, 1+ + и,. +,)Ьу. (5.150) Полное уравнение неразрывности в представлении по схеме с конечными разностями против потока в предположении и ) О и о О принимает следующий вид (индекс и в правой части опущен): РХ,«+~ 1Х (~/ (и + и ),Х 1/,(и + и,,+,) р,',, 1/Ьх — ('/а (о,+, г+, + он г+!) Рх г — '/х(отю ~+ о,.,) рх ДЬу. (5.151) Б.7.2. Стенка с прилипанием 407 Так же легко записать конечно-разностную форму уравнения неразрывности на гибридной сетке с использованием других конечно-разностных схем.
Упраяскеиис. Записать на гибридной сетке конечно.разностнуго форму уравнения неразрывности по схеме Лакса (равд. 5.5.4). Если возникает необходимость определить значения плотности р на ° -сетке, то их можно найти осреднением: (ьг гч(~ о!+1~ ьг+(ь/ 1+Р~ ь/ 1) Зпачення плотности р» около границ определяются просто. На правой, левой и верхней сторонах ячейки с центром в точке (г, гр)к, изображенной на рис. 5.5, а,.плотность находится так же, как и во внутренних ячейках, а поток через нижнюю сторону равен нулю, поскольку (ья „ + иььь )/2 = О. Если ввести фиктивный узел (1, ш — !)к и приписать ему некоторое произвольное конечное значение плотности рк „ то в узле (г', гр)„ можно применять те же конечно-разностные представления, что и во внутренней области ').
Мы еще не рассмотрели вопроса об определении значения р ма стенке в ° -сетке. Его можно, конечно, экстраполировать по значениям плотности во внутренних Х-узлах, однако существует другой простой и более удобный способ. Действительно, при условии прилипания плотность на стенке необходима лишь для определения градиента давления ЬРубу~1г +г. )Тростейитим способом аппроксимации градиента давления является представление его односторонними разностями, что приводит к первому порядку точности. Мы предлагаем определять градиент давления из найденных величин; при этом значения рь „ па ° -сетке знать не нужно.
Вместо аппроксимации бр ~ Рг,маз — Рьм (5. 153) бу ~ь и гау возьмем первую конечно-разностную формулу, записанную для точек с полуцелыми индексами (см. рнс, 5.5,б) и соответствующую величину градиента Р будем обозначать тильдой сверху: 5Р ~ Рсмьзв — Рьм+щ ( .154) (5. 154 бр 1г, ар Значение давления в верхней точке вычисляется по формуле РьттеЗГЗ IЗ(РГ, +а+ РГ, гсь1). (5. 155) Значение давления в нижней точке вычисляется при помощи интерполированных значений р и Т в соответствующих расчет- ') В схеме Лекса можно попо'кпть р,, ~ рс 408 87. Гнаннкнме услоеия для гененнй сжимаемой жидкости ных сетках с использованием безразмерной газовой постоянной д4е; Р /4 .
4/,(Рк + Рх ) . 1/4(Т 1 Т ) (5 156) Теперь для вычисления рк н44 вблизи стенки можно воспользоваться конечно-разностным представлением уравнения неразрывности типа (5.151). После того как нз уравнения энергии найдены новыс значения температуры, по формуле (5.154)можно вычислить ЬР"44/Ьу!, - е4 п затем найти значение рс,~е, на ° -сетке из требования, чтобы градиенты давлений, определяемые по формулам (5.153) и (5,154), были равны: ЬР/Ьу ~4, +, — — ЬР/Ьу ~ (5.158) Это дает новое значение давления (на (и + 1)-м слое) Р, = — Р.
+, + '/,Л (р,", + р".,)(Т, +Т. ) (5,159) и, наконец, рь„=Р, /Р Т, ), (5.160) Таким образом легко вычислить градиент давления у стенки, не находя значений рн на Э-сетке. Применение гибридной сетки достаточно эффективно, хотя и имеет некоторые недостатки (см. разд. 3.3.2). Так, например, значения Р па входной границе потока приходится определять на линии, отстоящей на Лх/2 от линии, на которой определяются значения и, о и Т. Рассмотрим теперь способ, также основанный на идее гибридной сетки, но алгебраически отличный от описанного выше.
Для построения графиков распределения плотности вдоль стенки могут потребоваться значения Рь на ° -сетке. Здесь допустима любая экстраполяция, однако больший смысл имеет определение рн„при помощи равенства (5,154). Прн таком подходе можно упразднить 74'-сетку и для вычисления значений р во внутренних точках на ° -сетке использовать стандартные конечно-разностпые представления. Однако около границ вводится местная )С-сетка, на которой рассчитываются значения Р. Определим Рй4",. = '/4 (Рс. + Р"., + Рэс 4,.
+ Рс 4,. ). Р; се /4 (Р,+1 и+ Р; „~ нэ4+ Р; + Р;,о+~)) (5. 157) Р~~~"- = /4(Ре~ь + Р";як ~4+ Р~еь + Рее ь +4) Р,".",+, ='/ (Ре„„„+ Р,"„,,„+ Р",.„+ Р,", „„,). д7.8. угловые гочки Повторим вкратце основные этапы данного способа: старые значения рх около стенки определяются через значения р в е-сетке по формулам типа (5.157). Затем вычисляются новые значения рх или прн помощи конечно-разностного представления уравнения неразрывности на гибридной сетке тина уравнения (5.151) или при помощи какого-либо конечно-разностного представления, согласованного с конечно-разностным представлением уравнений во внутренних точках.
Наконец, по формулам (5.!59) и (5.!60) вычисляются новые значения давления и плотности на ° -сетке. Хотя этот способ более трудоемок, чем использование простых условий типа Р-„ = Р л.ь он обеспечивает второй порядок точности (см. задачу 5.!3), надежен и его можно рекомендовать. б.7.3. Угловые точки Как и в случае описания течения несжимаемой жидкости в переменных ф, ~, некоторые переменные в угловых точках могут быть двузначными. В угловой точке в расчетной сетке первого типа, изображенной на рис.
5.6, а, при условии прилипания составляющие скорости и,о;, и и;,, г, равны нулю. Задаваемая в угловой точке температура может быть (а может и не быть) однозначной. Если ца стенках В 2 и В 5 поддерживается одна и та же температура Т„, то, очевидно, Т„,,л = Т . Однако если на степках В 2 и В 5 поддерживаются различные температуры, то Т~,, м необходимо рассматривать как многозначную величину, принимая соответственно Т„, „= Т„= — Т(В 2) при проведении расчетов во внутренней узловой точке (!г,/с+!) и Т„,м = Т, = — Т(В5) при проведении расчетов во внутренней узловой точке (!с+1,!с).
Использование девятнточечного шаблона для члена уравнения энергии, описывающего теплопроводность, или для вязкого члена со смешанными производными при наличии зависимости вязкости от температуры, вызывает необходимость задания третьего значения Т, = (Тл + Тэ)/2 прн проведении расчета в узле (!с + 1, !с + 1). Многозначность Т„;. очевидна также в том случае, когда стенка является адиабатической (нетеплопроводной). При расчете не будет достигнута аднабатнчность стенки В2, если не будет выполнено условие Тм,;, = Т;л, ь~ы и це будет достигнута адиабатичпость стенки В 5, если не будет иметь места равенство Т„,м = Т;,.гк;,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
