Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Очевидно, что одного значения Тм „ здесь не достаточно. Лналогично, для получения правильных значений конечно-разностных аппроксимаций градиента давления ЬР)бу~;,, мы и ЬР/бх~ мл.н;, необходима двузначность величины р„,;,. Прп программировании задачи в угловых точках требуются некоторые ухищрения. 410 57. граничные углоння для тенсннб ганн.ксеноп аеидногтн с„ус о Рис. з,б, Расчетные сетки вблизи угловой точки, а — расчетная сетка первого типа, б — расчетная сетка второго типа.
Рассмотрим способы расчета течения около угловой точки стенки со скольжением. Введение членов с явной искусственной вязкостью может вызвать затруднения, поскольку при наличии таких членов желательно ставить условия прнлипаппя. Кесслер о е о [1968] полагал члены с искусственной вязкостью Русанова равными нулю на гй нсе1 ме1, ус+1 о о ' о '~ стенке (на расчетной сетке первого типа), что, однако, не всегда приводило к устойчивости расчета. Отметим, что из наличия в о уравнениях членов с объемной вязкостью, физической или искусственной, не следует условие прилипания, а поскольку объемная вязкость входит в эти члены лишь вместе с дивергенцией скорости.
Расположение угловой точки в удобной для описао 'нао м Ь" ния течений невязкого газа расчетной сетке второго гиви '67с па показано на рис. 5.6,б. При вычислении новых значений величин в узлах В5 (го+ 1, /с) и (гс, !с+!) потоки консервативных величин ри, ри и Ее+ Р через стороны ячейки (гс, /с+ '/в) и (гс+ '/„!с) полагаются, как и для всех других точек стенки, равными нулю.
Если для получения нулевого потока массы через эти стороны угловой ячейки используется способ отражения, то значения в фиктивном узле (!с,!с) должны быть двузначными (поскольку эти чисто фиктивные значения определяются лишь для удобства программирования, то двузначность в данном случае не имеет никакого физического смысла). По аналогии с рассмотрением двух значений вихря в угловой точке (см. Равд, 3.3.12.а) положим р, = р(гс, /с+ !), (5.16!а) рс = р (гс + 1, /с), (5.161б) о,= — о (гс, !с+ 1), (5. 161 в) ис — и (гс + 1, /с).
(5.161г) 5.73. угловые точки При проведении расчетоп в узле (гс,)с+ 1) временно полагаем, что Ргг, и Ра и огс. )г па. (5.162а) Аналогично, при проведении расчетов в узле (!с + 1, )с) временно полагаем, что Ргг, и=рь и ига, и=из, (5.162б) и в узлах (гс + 1, )с) и (гс, )с + 1) пользуемся стандартными конечно.разностными представлениями для внутренних точек. Этого приема достаточно для расчета течения невязкого газа вблизи угловой точки. Как было указано выше, для расчета течений вязкого газа не рекомендуется пользоваться расчетной сеткой второго типа. Однако если она все же применена, то опять требуется двоякий подход к расчету членов типа д[)(дд/дх))/дхв узлах (гс,)с+1) и (!с+ 1, )с). Если здесь Г = Р(Т), то выбирается одно из двух значений Т(гс, )с), как это было описано вьппе.
Градиент давления можно по-прежнему вычислять при помощи односторонних конечных разностей. При вычислении новых значений в узле (!с+ 1,1с+ 1) для аппроксимации членов со смешанными производными требуются третьи значения для величин / = и, и. В этом случае значение можно выбрать таким образом, чтобы в угловой точке (гс+ '/г,!с+ '/,) величина ,~!, = ()...
+ ! га ьг, + ) м .+! + ) „~!,+!)/4 (5.163) была равна своему точному физическому значению. Соотношение (5.163) можно разрешить относительно )г,, гои г" )„„= )„„ж г„„-/м„ь„-)м „„-(„„ь,„и (.,!64) (5. 165а) (5. 1656) и,= — иг,ь,, — иы, !.+! — им+!, Ггь! Пг сг!г+!. !с Огг. )ач-! О!с+!. !г-г! и при расчете новых значений в узле (!с+ 1, )с+1) будем полагать и„„== иг, шс, га = ос. Такой расчет соответствует ли. нейной интерполяции значений на стенку; как было показано выше, он снижает точность аппроксимации вязких членов до первого порядка.
') Если рассматривать течение нязкого газа с условпямн скольжения вверх по потоку от угловой ' точки, когда и = ив ! ь то, по-внднмому, можно ограннчнться единственным значением и; и, положив аа,га = им,! .г! На стенке с прилипанием ига+из,! .нтз = 6, ша+!пь ! -нтз = О '). Поэтому определим третьи значения составляющих скорости следующим образом: 4!2 З т Грвниннже условия для тенений сжимаемой жидкости Как было показано в равд. 3.3.12 для случая течения несжимаемой жидкости, можно добиться высокой точности расчета вблизи острого угла, введя локальную полярную систему координат с центром в угловой точке. 5.7.4. Линии симметрии На линиях симметрии, таких, как граница В! на рис.
3.22, очевидно, необходимо ставить условия симметрии потока. Если ряд узловых точек / = з лежит на линии симметрии, то способ отражения дает в,,= — в+ь п,=О, ),,=~,+ь где )=р, и, Е, или Т. (5.166) Если РЯд Узлов сетки отстоит от линии симметРии 1 = з + '/т на расстоянии Ьд/2, то условия симметрии имеют впд в,= — и,+и ),=~,ео где г =р, и, Е, или Т. (5.167) 6.7.б, Входная граница Входной границей является граница В 4 па рпс.
3.22. Во всех опубликованных работах, посвященных расчету двумерных течений, параметры потока на входной границе принимались равными их значениям либо в невозмущенном течении, либо в пограничном слое, причем последнее лучше соответствует задаче об обтекании обратного уступа, изображенного на рис. 3.22. Опыт расчетов показывает (Скоглунд с соавторами [1967], Аллен [1968], Аллен и Чен [1970], Роуч и Мюллер [1968], Скоглунд и Гей [1969]), что течение вниз по потоку может весьма существенно зависеть от условий на входе н от совместности входных значений параметров.
В частности, составляющая скорости о должна быть найдена пз распределения составляющей и (хотя прн очень больших числах Рейнольдса можно ограничиться условием о = 0); кроме того, должны быть совместными энергетические интегралы в пограничном слое (см. Шлпхтинг [1968], Стюартсон [1964], Коэн и Решотко [1956[— в этих работах даны решения уравнений пограничного слоя в сжимаемой жидкости). Скоглунд п Гей [!969] дали способ определения совместных значений параметров на входе по экспериментально найденному распределению скорости на входе, а Аллен [1968] указал такой способ при полпномпальном задании составляющей скорости и(р) па входе.
Все эти методы основаны на автомодельпых решениях с использованием либо интегрального соотношения Крокко, либо интегрального соотношения Буземана. Во всех этих автомолель- 413 д7.6. Выходная граница ных решениях принято условие Рг = 1, однако отклонение решений при отклонении числа Прандтля от единицы (для воздуха Рг = 0.74) часто считается незначительным. Необычную постановку условий на входе применил Андерсон (1969), проводивший расчет по схеме типа Лакса — Вендроффа квазнодномерных уравнений внутри сопла с учетом колебательной и химической неравновесности.
Индекс г = 1 приписывали значениям параметров ав резервуаре» (см. любой курс газовой динамики), где площадь примерно в 10 раз больше площади горловины сопла. Тогда значения Т, и р, принимались равными соответствующим зпаченпям в резервуаре. Однако составляющая скорости и, получалась из решения задачи линейной экстраполяцией против потока (5. 168) иг = 2иг — из. При этом решение определялось условием запирания потока в горловине н при приближении к стационарному состоянию величина и, принимала значение, соответствующее расходу через горловину. Заданные на входе условия могут оказаться принципиально несовместными с температурными условиями на стенке, Точным условием адиабатичности стенки янляется равенство дТ(дп = О, однако если в дискретных узловых точках рассмотреть точное решение уравнений пограничного слоя, то численное условие адиабатичности Т- = Т „., не получится.
1(онечно, это условие достигается в пределе Лу -+ О, однако для практически применяемых конечных ячеек расхождение будет значительным. Поэтому существуют две возможности; либо положить температуру на стенке равной ее значению в точном решении уравнений пограничного слоя для адиабатической стенки, что приведет к невыполнению численного условия адиабатичностп па степке, либо использовать значение температуры на стенке, удовлетворяющее вычислительному условию адиабатичностп, но при этом температура на стенке не будет равна температуре, полученной из точного решения уравнений пограничного слоя.
Предпочтительной представляется вторая возможность (в основном из сообра. жений консервативности). 5.7.6. Выходная граница Для течений сжимаемой жидкости существует несколько приемлемых способов постановки граничных условий на выходной границе, скажем границе Вб на рпс. 3.22 Можно попытаться распространить на этот случай все способы постановки граничных условий для вихря в течениях несжимаемой жидкости, 414 Д7 Граничные рслоаия для течений сжимаемой жидкости изложенные в равд, 3.3.7. Они включают линейную экстраполяцию либо консервативных переменных Уг — — 2Уг ! — Уг з, где У=р, ри, рв, (Е, + Р), (5.169) либо неконсервативных переменных 7',=27', ! — ], „где )'=р, и, о, Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
