Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 77
Текст из файла (страница 77)
4, 300) ) ) !6.32292978 > ееа15(Ь19ЬОатЬоо(Г(х),х,0..4,500) ); 16.19358925 > еча15 (1оиоагЬое ( т (х), х, О .. 4, ЗОО) )," 15.67848889 > е га11 (1оиОатЬоо (Г (х), х,О .. 4,500) ); 15.80692267 Определенные интегралы широко используются в геометрии, физике и механике.
С их помощью легко вычисляются длины плоских кривых и площади криволинейных областей, пройденный точкой путь, произведенная работа и многие другие механические и физические величины. Задача 9.3 Вычислить длину дуги цепной линии, заданной уравнением 3 =в с()(х/а), от точки х=б до текущей координаты х. Решение. Известно, что дифференциал длины дуги кривой, заданной явным уравнением у=((х), выражается через производную следующим образом: Тогда длина дуги кривой, ограниченной точками х=хс и х=х(, определяется через интеграл в виде: Вычислим для цепной функции производную от длины переменной дуги: > т:=х->а*соаЬ(с/а)т Г:= х-+ а соаЬ— (а) Часть !!. Математика 420 > '5' ':=51спР11ГУ(5ЧСХ (150111(Г(Х),х) "2) ) 5:= Сто(005Ь( — )) С05Ь( — ) В результате Мар!е использовал функцию вычисления знака 0500() для выражсиня соеь(суе) (МЫ ПОМНИМ, ЧтО ~ИПЕрбОЛИЧЕСКИй СИНУС В аНГЛОяЗЫЧНОй математической литературе обозначается 5!пЬ(х), гиперболический косинус созЬ(х)).
Дело в том, что параметром в команде упрощения 5 Ср, 'ту() является выражение, содержашее квадратный корень: > 5ЧС. (1~с(1ГГ(Г(Х),Х) "2): 1 + тйпЬ( — ) Под корнем стоит выражение, которое упрощается до квадрата функции соеь(с!а), а таК КаК рЕЗуЛЬтат ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВадратНОГО КОрНя ИЗ КВадрата действительного числа зависит от знака числа, то Мар!е как раз и использует функцию сеоо() для отражения этого факта. Однако мы знаем, что функция гиперболического косинуса всегда положительна.
а поэтому можем немного упростить полученное выражение, убрав из него функцию вычисления знака: > '5''с=ар(2, 5''); 5:= С05Ь( — ) теперь, имея выражение 5' для дифференциала дуги цепной линии, можно вычислить и ее длину: > 1ох ('5' ', С=С ..х) =105 ('5', С=а..х) со5Ь( — ) с(! = а 510Ь( — ) о Используя аналогичный подход, можно вычислять длины дуг параметрически заданных кривых. Единственное, что надо помнить, это формулу дифференциала длины дуги параметрически заданной кривой (х=х(!), у=у(!)): ( — х(!)) +(-у(!)) с(! Задача 9.4 Вычислить длину дуги четверти астроиды х=а совз 1, у=а гйпз ! 10< ткх/2).
решение. Начертим сначала график астроиды и вьщелим дугу, длину которой необходимо вычислить: 4гу Глана й. Интегри оаание ункций > х:=а*сов(с) "Э; у:=а*згп(с) "3! х:= а соз(!)' у т а зьл(!) > Г: =р1ос ( (еча1 (х, а=1), еча1 (у, а=1), С=О .. 2*Р1], со1ог=в1ас)с, 11пезгу1е=т,'сЬ1схпезз=2): сн =р1ое ( [еча1 (х, а=1), еча1 (у, а=1), С=О ..
Ргу 2 ), со1ог=в1ас)с, 11пезгу1е=1,Сап)спезз=2): иьСП(р1огз): сьзр1ау((т,о),зса11поРООНЗтвдтнво)! -1 -0.5 На рисунке астроида отображается точечной линией, а ее четверть сплошной линией. Теперь вычислим производную длины дуги астроиды и определенный интеграл от нее на заданном интервале изменения параметра г, величина которого и будет равна длине четверти астроиды: > 'з' ':=зппр111у (зцгс (с(1ГГ (х, 1) 2+с(1ГГ (у, С) 2) ) ) ю':= 3,/ — соз(!) и ( — ) ) соз(!) ) > 1пз ( ' з ' ', С=О .. Р1/2 ) =ьпг ( ' з ' ', 0=0 ., Р1/2 ); 3 а)! = — а 2 Из определения определенного интеграла нам известно, что если подынтегральная функция ((х) на некотором промежутке (а,Б) изменения независимой переменной х положительна, то интеграл равен плошади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной сверху кривой у=((х), слева и справа двумя ординатами х=п и х=Б и снизу отрезком [а,Б] оси х, Если криволинейная трапеция ограничена снизу не отрезком оси х, а также некоторой кривой у=я(х) (причем зта кривая не обязательно должна быть положительна), то площадь подобной фигуры определяется по формуле: Ю= ~ ((х) — а(х) с(х ч Рисунок примера 9.1 иллюстрирует сказанное выше относительно вычисления плошади криволинейной трапеции.
Часть д Математика 42В > ньСЬ (р1осз): д2 =-0.1*(х-1)"2+15: д1:=0,1*(х — 4)"241: п:=40г ГО:=р1ос(д1,х=0..10,0..17,со1от=Ь1асК,ЬЬ1сьпезз=2)г 81:=р1ос(92,х=О.. 10, со1от=-Ь1асК, ЬЬ1ЬКпезз=2): 82:=зед (р1ос ([[1+7/ (п-1) * (1-1),ета1 (д2,к=1+7/ (и-1) * (т-1) ) ), [147/ (и-1) * (1-1), ета1 (д1,х=147т'(и-1) * (1-1) ) ) ), со1от=дгау), 1=.2 ..и-1) ГЗ: =р1ос ( [ [1, 0 ), [1, ета1 (д2, х=1) ) ), со1от=Ь1 ась): 84: =р1ос ( [ [ 8, 0), [8, ета1 (д2, х=в) ) ), со1от=Ь1ас)с): 85: 4 ЬехЬР1ос ( [1, О, "а" ), а11дп=ВЕЬСХ) г Гб:4сехср1ос ( [8, О, "Ь"), а11дп=ВЕ)СХ): 87г4еехср1ос((0,17,"у"),а11ди4ЬЕГт): Гвг4еехср1ос([10,0,"х"),а11ди=ВЕЬСХ): Гдг=сехср1ос([5,14,"у=8(х)),а11дп=АВСУЕ): 810:4сехср1от ([9.5, 3.5, "у=д(х)],а11дп=ВЕ?,СХ): с(1зр1ау( (зед (Г) ) 1, 1=0,, 10) ), хс1сКгиатКз= [), уи1с)ииатКз= [0) ); Замечание Мы сочли уместным привести полный текст "программы" на языке Мар)е создания рисунка примера 9.1, чтобы читатель мог в дальнейшем достаточно легко создавать подобные "общие" чертежи, которые часто встречаются в математической литературе.
Обратите внимание, что задание пустого списка засечек горизонтальной оси в опции хс1с)сиатке, а также одного значения о для засечек по вертикальной оси приводит к вычерчиванию осей координат вообще без засечек с единственной маркированной точкой — началом координат. Задача Я.б Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат и параболой 4Гх+,/У =,/а, (а > 0). Решение. Прежде всего выразим уравнение параболы в явном виде и начертим ее график.
Из задания параболы ясно, что независимая переменная х должна быть неотрицательной: 429 [лаве 9. Интегрирование функций > Г: =яягг (х) +ячгг (у) -яягг (а ) ) /';= чГх е )/у = сГа > г:=гия(1яо1аге(т,у) ) ) /:= [-/а — -/х ) > иЕГЬ(р1ося)с а1:=ас пс=40: гос=р1ос(еча1(Г,а=5),х=0..11,0..7,со1ог=Ь1ас)с,сп1с)спеха=2): 61 с =яес( (р1ог ( [ [ес а1 (а1, а=5) / (и-1) * (1-1), 0), [еча1 (а1, а=5) У (п-1) * (1-1), еча1 ( Г, [х=еча1 (а1, а=5) у (п-1) * ().-1), а=5] ) ]! ), 1=1 ..
и ): 62: =р1ос ( [ [еча1 (а1, а=5), О] ], япу1е=РО1НТ, яувЬо1=01АМОНО, яусоио1я1яе=16, со1ог=Ь1ас)с)с Гзс=яехср1ос([0.1,5,"а"],а11оп.=Р1СНТ): 14:=Гехср1оо ([5, О, "а"), а1хдтс=ВЕЬОИ) с г5о=еехср1оо([0,7,"у"],а11дп=?ЕГТ): ГбсбеехГР1ос([11,0,"х"],а110п=ВЕ?ОХ): с[1яр1ау(( ГО, г1, г2, гз, Г4, Г5, 66),хс1сиоаг)се=[],ус1сгосаг)се= [О] ) ) О 2 4 я 9 (О Точку пересечения графика параболы с осью абсцисс найдем из решения уравнения: > р:=яо1че(т,х)о р:=а Теперь можно вычислить искомую площадь как интеграл: > тпп(т,х=с..р)=1ис(т,х=с.,р) о 2 [,/а — /х) с(х= — а 6 о Задача 9.6 Определить площадь фигуры, заключенной между двумя конгруэнтными параболами уз=2рх и х2=2ру.
Часть и Математика 430 Решение. Как и в предыдушей задаче, сначала мы построим графики парабол, чтобы выяснить их взаимное расположение: > ГС:=у"2=2*р*х) //: = у" = 2 р х > Г з=-аягг ('2 "р*х) /:=з]2 /рх > ар=х 2/2/рз ) х к:= 2 р > еЕСЬ(р1ога] з и."=20з ГО з =1хзр11ссгр1ог (еча1 (г г", р=1), х=-3 .. 3, у=-3 .. 3, со1ог=Ыас)О СЫс)спеа =2): г1 з =р1ог (еча1 (д, р=1), х=-3 .. 3, со1ог=Ь1аск, Спсскпеаа=-2): С2з=аес((р1ос ( [ [2. /(и-1) * (з.-1), еча1(г, [р=-1, х=2/ (и-) )" ( -1) ) );, [2/ (и-1) * (з.-1), еча1 (д, [р=1, х=2/ (и-1) * (1-1) ] ) ] ], со1ог=дгау), 1=1..
Оз з Сзз=р1ог(([2,0],[2,2]],со1ог=Ь1аск,11пеагу1е.=7)з Г4 з=р1ос ( [ [О, 2], [2, 2] ], со1ог=Ыас)с, 11пеагу1е=7): г5: =СехСР1ог ( [2, О, "2Р" ], а119п=ВЕ?ОИ): гб з =Сехгр1ог ( [О, 2, "2р" ], а11цп=свут) з С7з=гехгр1ог([0,5,"у"],а119п=АЛЕЕТ): Свз=гехгр1ог([3,0,"х"],а11дп=ВЕСОИ)з Г9з=гехгр1ог([0,1,"у 2=2рх"),а11дп=))ВОЧЕ)з г10:=СехгР1ог ([2, 0.1, "х"2=2РУ"),а119п=(тзВОЧЕ, ЬЕГТ)): с(1ар1ау((аеЧ(гз)з.,з.=0..10)),хгсссхзаг)се=[],угзс)аааг)се=[0])з Из рисунка видно, что две параболы пересекаются в двух точках, координаты которых можно определить из решения системы уравнений: > ес)1:=у=взес(2з=у=дз ея/:=у=))2 ]рх 1 хз ес[2:= у = —— 2р > сз=ао1че((ес)1,ец21, [х,у)) з Гпава 9. Интегрирование функций с:= (у = О, х = 0), (у = /2 — р'(1/2 йооЮ8%1, -.7071067810 +!.224744871 7)+ 2), х = -р ( /2 кооКЩ%1, -.
7071067810 + 1 224744871 У) + 2 ) ), (у = 2 р х = 2 р ), ( х = -р ( /2 лсоо!0((%1, -.7071067810 — ! .224744871 1) + 2), у = /2 /-рг ( /2 лсоо!ОГ(%л!, -.7071067810 — !.224744871 7) + 2) ) %1;= 2г+2-л /2 х Из полученного множества решений нас, естественно, интересуют только действительные (х=О, у=О) и (х=2р, у=2р), нз которых определяется интервал интегрирования для определения плошади фигуры, образованной пересечением конгруэнтных парабол, — [О, 2р[. Определенный интеграл от разности функций г и д по этому промежутку и будет равен площади искомой фигуры: > 3:=Зсле(г-д,х=0..2*р! 8 с — г 4 5-ЗР Р -ЗР > злгЬз !зпхс (р" 2! =р, Я) г 4 3 Если параметр р > О, то можно упростить выражение для плошади, заменив в нем /рг нар.
Кроме вычисления длин дуг кривых и плошадей определенный интеграл применяется при вычислении объемов тел врашения, образуемых вращением криволинейной трапеции, ограниченной сверху неотрицательной функцией у=((х), слева и справа прямыми х=а и х=Ь (а < (г), а снизу отрезком [а, Ь[ оси х, вокруг этой оси. В этом случае объем полученного тела можно вычислить по формуле л )'= я ~ г(х)'сГх Если криволинейная трапеция ограничена и сверху и снизу кривыми у=((х) и у=8(х), то, очевидно, л и= / 1(х)' — 8(х)' с(х.
а Задача 9.7 Вычислить объем эллипсоидов вращения, образованных врашением эллипса г г —, + — = 1 вокруг осн х и оси у. Часть И. Матвматина 432 Решение. Нарисуем на плоскости ху заданный в задаче эллипс: > иТСЬ(р1ОСя): 20:=пар11сгср1оп (х "2/2 24у"2/4 2=1, х=-2 .. 2, у= — 4 .. 4, со1от=Ь1асн,СЬ1с)2пеяя=2,яса11пд=СОКВТВА1БЕО): 21:4сехпр1от ([2. 1, О, "а"), а12дп=(Р16КТ, ВЕ10И)): 12:4вехСР1оп([-2.1,0,"-а"),а11дп=(ТЕРТ,ВЕЬОИ))2 1324сехтр1ое( [0,5, "у" ], а11дп=ьЕРТ) 2 1424еехпр1ос([3,0,"х"],а11дп=ВЕЕОХ)". 15п=сехер1оп([0.1,4.1,"Ь"),а11дп=(ДВОРЕ,Р,ТОВТ))2 Гбп=сехтр1ос([0,-4,"-Ьа],а11дп=(ВЕ?.ОИ,ЬЕЕТ))2 с12яр1ау((яед(Е))1,2.=0..6)),хп1с)паап)се=[),уе1с)спаткя=[)); Для вычисления объема эллипсоида вращения, образованного вращением вокруг оси х, следует найти квадрат координаты у, а потом вычислить в соответствии с приведенной выше формулой определенный интеграл на промежутке [-а, а[: > е111ря2=х 2/а"2ау 2/Ь"2=12 .2 2 ейря:= — + — = ] ат > Тяо1аяе(е112ря,у"2) 2 ) В2 > 12непя(4) 2 > у[х]=Р1*1пп(й,х=-а..а)2 и=я [ — —, [2 (х > у[х]=Р1*).пс(г,х=-а..а)2 )т = — хаЬ 2 3 4ЗЭ Гпавв 9.
Интегрирование функций При вращении эллипса вокруг оси у нам необходимо вычислить определен- ный интеграл от квадрата координаты х на промежутке [-Ь, Ь]: > гзо1асе(е111рз,х"2) > Г:ьпьз)Ъ) ' > Ч [у) =Р1*тпп ) Г, у=-Ь .. Ь) ь 2 у -ь > У)у)=Р1*гпс)Г у= Ь. ° Ь) У= — хьа 4 3 Задача 9.8 Найти объем общей части параболоида вращения 2а2=х2+у2 и сферы х2+у2+22=3о2.
Решение. Оба тела являются телами вращения относительно оси г, а поэтому и общая их часть также будет телом вращения относительно этой же осн: > о;=р1осэь) ) (х" 2зу" 2) /2/2, х=-4 .. 4, у=-зцтс (16-х" 2) .. зцтз ) 1б-х "2) ): о1ь=гмр11оьтр1ЬТЗь))х 2еу"2ьз"2=12,х=-4..4,у=-4..4,г=-4..4): Сгзр1ау Но, о1), зса1>по4 ЕОНЗТРА1НЕР, ахез=РВАМЕ, зпаь)1по4аНОЕ,зсу1е=н1ВЕРРАМЕ,от1ептас1оп=)45,70)) 2 0 -2 -4 у 4 'х Замечание Для иллюстрации пересечения параболоида вращения и сферы мы задали значение параметра а равным 2. Для вычисления объема тела, получаемого пересечением параболоида вращения и сферы, необходимо определить уравнение кривой, вращение кото- Часть и Математика 434 рой образует их общую часть. Для этого следует построить сечения заданных тел плоскостью, проходящей через ось 2, например, х2: > Р:=2*а*2=х"2+У"21 р;=-2 а 2 =хз+у > вз=х"2еу"2+2"2=3*а 21 5:=х +у +22=За > р(2]:=впЬ5(у=О,р) р:=2и =хз > 5 [2]:=5пЬ5 (у=0,5) т:=х ег =За > ГО з =ипр11с12р] от ( (езза1 (р [2], а=2), еуа1 (5 [2], а=2) ), х= — 4 ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
