Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Чтобы определить точки перегиба, необходимо знать корни уравнения у" (х)=0 и проверить, меняет ли вторая производная знак при переходе через них: > ао1че (П1ГГ (у (х), хЗ2) =О, х) -1 2 С учетом нахождения участков выпуклости/вогнутости можно утверждать, что точка х= — 1/2 является точкой перегиба. Коэффициенты а, Ь уравнения наклонной асимптоты у=ах+Ь определяются через вычисление пределов; Если указанные пределы существуют, то имеются и наклонные асимптоты для соответствующих бесконечных ветвей графика функции (при стремле- нии к к плюс или минус бесконечности).
Вычислим эти прела))ы для исследуемой нами функции: > а1рьа(11:=11аао(у(х) Ух, хн+1пт1пгсу) у а,:=О а= 1йп — или 1(х) х Ь= 1пп ((х) — ах или а= )пп 1(х) х Ь = 1пп 1(х ) — ах. Часть!I. Математика 410 > а1рьа [2 ): =1цвхе (у (х) /х, х=-1п11п1ЬУ); а,:=О > а:=а1рьа[1); а:=О > Ьета[1);=1)ха1Ь(у(х)-а*х, х=+1пй1г1ту)' )),:= О > Ьега [2):=11апе (у (х) -а*х, х=-1пт1пьгу); ))„:= О > Ь: =-Ье Ьа [11 ' Ь:=О Анализ значений пределов показывает, что у графика исследуемой функции одна горизонтальная асимптота ось абсцисс: у=О Вертикальными аснмптотами для графика функции могут быть только прямые вида х=хе, где хс является точкой разрыва второго рода, причем следует проверять пределы при стремлении независимой переменной к точке разрыва второго рода справа и слева.
Для нашей функции вертикальной асимптотой будет прямая х=! (см. нахождение области определения функции). Результаты проведенного исследования сведены в табл. 8.!. 2х — ) Таблица 8.1. Результаты исследования функции» = — — — —; (х — 1 )- (-1/2, О) О (О, 1) 1 (1, о~) х (- ю, -1/2) -1/2 у О + У О + у убыв. -8/9 убыв. вып.
перегиб вогн. убыв, вогн ' не опре. делена возр. вогн. мин. В табл. 8.1 указаны характерные точки функции, в соответствии с которыми разбита на интервалы область определения функции (вся числовая ось). На каждом интервале указаны знаки первой и второй производных, а также характер изменения (вогнутая/выпуклая, убывает/возрастает) самой функции. В критических точках, входящих в область определения функции, вычислено ее значение и указан тип точки (перегиб или локальный экстремум).
Руководствуясь информацией из этой таблицы можно легко построить график исследованной функции. Проверить себя можно построением графнха КОМаНдсй р1ое (): ГЛАВА 9 Интегрирование функций В этой главе мы расскажем о том, как вычислять неопределенные интегралы, не прибегая к команде ась ы, а используя только основные правила их вычисления: формулу интегрирования по частям, разложение рациональной дроби на простые, замену переменных. Команды косы и стггп будет использоваться только для проверки полученного решения.
Также будет продемонстрировано вычисление определенных интегралов через интегральные суммы и их приложение для вычисления числовых характеристик геометрических объектов: длины кривой, плошади плоской фигуры, объема тела вращения и т. п. Мы не приводим никакой теории, ограничиваясь только определениями и формулами, предполагая, что читатель знаком со всеми используемыми нами математическими понятиями и формулами, во всяком случае, он всегда может освежить свои знания, просмотрев любой учебник по математическому анализу. 9.1. Неопределенный интеграл Неопределенным интегралом функции Г(х) на промежутке Х изменения независимой переменной называется множество всех первообразных г(х) этой функции на заданном промежутке, т.
е. функций, удовлетворяющих равенству Р(х)=Г(х), хеХ. Ддя обозначения неопределенного интеграла функции используется символ Г(х) й, при этом Часть д Математика Эта формула представляет структуру неопределенного интеграла функции; все первообразные отличаются друг от друга на некоторую постоянную величину С. Одним из наиболее часто применяемых правил при вычислении неопределенных интегралов является правило (или формула) интегрирования по частям: и иу = и у — ~ х ди.
В этой формуле и и у являются функциями некоторой независимой пере- менной. В пакете ососепе содержится специальная команда 1псрьхсз (), реализующая формулу интегрирования по частям. Ее использование мы продемонстрируем на примере решения конкретной задачи. Задача 9.1 (то /1 Вычислить интеграл е сох~ — х) тх. (,2 РЕШЕНИЕ. ПрЕждЕ ВСЕГО ПОДКЛЮЧИМ ПаКЕт зеоаепс КОМаНдОй >и1тв(зтооепе): Для удобства дальнейших ссылок на вычисляемый интеграл присвоим его с помощью отложенной команды тпе() переменной тпеедто1: >Гптеоха1: г тпт (ехр (-х) *сох (хт2), х); г! Гптеро(;= е сох — х) сЬ (2 Для вычисления интеграла нам придется два раза применить формулу интегрирования по частям.
Проинтегрируем по частям исходный интеграл ПЕрВЫй раэ. ДЛя ЭТОГО ВОСПОЛЬЗуЕМСя КОМаНдОй 1перьтез( хопрах, щ„тдЕ первый параметр интеграл является вычисляемым интегралом в виде тпс(о*и,х), а второй параметр о представляет функцию и в формуле интегрирования по частям. Чтобы читателю стало яснее, мы записали формулу интегрирования по частям применительно к параметрам команды 1ое)>атьх (): ~и уЫх = и ~ыих — Ох йх оп.
Интегрируем исходный интеграл по частям, выбрав е( ) в качестве функции и'. > д:=е)хпр11ту (1п1рах1з (тптедта1, ехр(-х) ) ); (>),/1 ) 1( ),Л я:= 2 е Мп~ — «) + 2 е ип~ — х) ь(х Глава 9. Интегрирование функций Интегрирование по частям пока не принесло нам желаемого результата. У нас все равно имеется интеграл, который мы не можем тотчас же вычислить, используя таблицу интегралов. Выделим зтот интеграл и также применим к нему правило интегрирования по частям: > 1пседта12:=ор(2,д)) ) (-~.Г) )н)есга)2:= 2 е з)п~ — х) Фх > д1:=а1ир111у (т з .рах .а (1пгедха12, ахр(-х) ) ) я!:= — 4 е соз~ — х) — 4 е соз~ — х) ох (2 ВИДИМ, ЧтО ИНтЕГрИрОВаНИЕ ПО ЧаетяМ ИНтЕГраЛа 1ппадга12 ПРИВЕЛО К ВЫражению, содержащему исходный неопределенный интеграл Подставим полученное значение интеграла тп(ед ат)лд в переменную д, представляющую выражение искомого интеграла 1птадга) после первого интегрирования по частям: > д:=ап)за(1ппедга12=д1,д) Подведем итог нашим вычислениям.
Дважды проинтегрировав по частям, МЫ ПРИШЛИ К ПрЕдетаВЛЕНИЮ ИСХОДНОГО ИНтЕГраЛа 1 Садга1 ЧЕРЕЗ НЕГО жЕ СаМОГО. ТЕПЕРЬ ОСтаЕтея ТОЛЬКО рЕШИтЬ ураВНЕНИЕ 1, Сад а1=д ОтНОСИтЕЛЬНО НЕИЗВЕСтНОй ПЕрЕМЕННОй 1.еадта1 (В ПраВОй ЧаетИ ураВНЕНИя Оиа СОдЕржИтся неявно) для получения значения искомого интеграла: > 1ппедта1:=аыхр111у(ао1хе(1птедха1=д, 1ппедга1)); Г) тнгеяга):= — — Га!п~ — х) а 2 сох~ — х)) е Проверить полученный ответ можно дифференцированием с(111 (1псадга1, х) ИЛИ ВЫЧИСЛЕНИЕМ ИСХОДНОГО ИитЕГРаяа С ПОМОЩЬЮ КОМаыдЫ тпп (): > а1жр) (Гу(с(111(1ппедха1,х) ); е сох( — х) > аппр111у(1пп (ахр(-х) *сов (х/2),х) ) — — ~-а)п~ — х) + 2 сох~ — х)) е Обратите внимание на использование команды а)зар11гу() на протяжении всего примера. Она упрощает получаемые выражения и представляет их в удобном для пользователя виде.
Часть Ф. Математика 4(6 Задача 9.2 3х'+8 Вычислить интеграл, а т(х. ~ х'+4х +4х Решение. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью. Вычисление подобных интегралов осуществляется разложением подынтегральной функции на элементарные слагаемые дроби. Решение начнем с присваивания выражения подынтегральной функции некоторой переменной (е)т).
Затем вьшелим из него знаменатель (переменная с)п), который разложим на множители и сохраним в переменной с)пг) > е)т:=(3*х"2+8) / (х 3+4*х"2+4*х); 3х'+8 х +4х +4х > с)п:=с)есор(цх)) Аи:=х(хт+4х+4) > ппт:=Гастст(с)п) т/и/:=х (х е 2)' Теперь можем "написать" схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые дроби, причем для доступа к структурным элементам выражения е)пг будем использовать команду ср(): > с)тя1ер1е: 4А/ор (1, с)пт) ~тв/ор (1, ср )2, ппт) ) +С/ор )2, опт); А В С т/тЯтр/е: = — + — е— х хь2 (х+2) Сделаем несколько пояснений относительно использования команды ср(). Выражение ппг имеет тип '*' с двумя операторами, первый из которых прелСтаапяст ВЫражЕНИЕ х, а ВтОрОИ ВЫражЕНИЕ (х+2) '.
ПОЭтОМу Этн даа ОПЕраида мы используем в первом и третьем слагаемом разложения на элементарные дроби. Для получения первой степени второго сомножителя выражения е)пг мы вычисляем первый операнд выражения, представляю)пего этот второй сомножитель. В выражении атя' пр1е переменные А, в и с представляют неизвестные величины, которые необходимо определить, приравняв это выражение исходной рациональной дроби е)т. Для этого мы приводим к общему знаменателю дробь Вхзхар1е: > йпа1:=е1вр11Гу(е)хзхпр1е)) А х'+ 4 А х + 4 А 4 В х' 4- 2 В х + С х х(х+2) 412 ( лава 9. Интегрирование функций После чего выделяем ее числитель, а также числитель дроби т(-: > Опе:=оотеег(длз1) т т(пе:= А х~ + 4 А х + 4 А + В хт + 2 В х + С х > т(ге: =потеег (е(г) е(гх:= 3 х + 8 Выделенные числители должны быть равны между собой, так как знамена- ТЕЛИ у дрОбЕй т(ое1 И т(г ОдИНаКОВЫ.
НО ЧтсбЫ ОНИ бЫЛИ раВНЫМИ, НЕОбХО- димо, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной х были также равными между собой. Это приводит к системе трех уравнений относительно трех неизвестных величин А, В и С в разложении подынтегральной дроби на элементарные дроби. Ее решение завершает процедуру разложения правильной подынтегральной рациональной дроби на элементарные слагаемые дроби: > е1: =соеГГ ( осе, х" 2) =сеет 1 (т(гз, х" 2) т е/:=А+В=3 > е2:=-соетг (с)ое,х) =соеГГ(т(ге,х) ) е2:= 4 А+2 В+ С=О > еЗ:=соеГГ(с)тте,х,с)=соеГГ(т(ге,х,о)т е3:= 4 А = (( > зо1че((е1,е2,еЗ), (А,В,С]) т (А = 2,В= 1, Г=-10) Теперь можно командой езегвоп() ПРИСВОИТЬ Им поЛученные из решения системы значения и посмотреть на окончательный вид разложения полынтегральной дроби на элементарные слагаемые дроби: > азз1от1(%) т > т(гз(ер1е; 1 ) 10 х х+2 (х+2)' Так как полученное нами выражение является иным представлением исходного подынтегрального выражения, то, естественно, интеграл от него равен интегралу от этого исходного выражения.
Теперь остается только вычислить каждый из интегралов суммы агз)хер1е, чтобы получить окончательный ответ. Но прежде чем переходить к их вычислению, сделаем одно замечание относительно разложения правильной рациональной дроби на элементарные слагаемые дроби.
Мы, собственно говоря, повторили процедуру классического алгоритма разложения дроби на сумму элементарных. В Мар!е можно было бы воспользоваться командой преобразования дроби к типу регггас, который и представляет собой сумму элементарных дробей для заданной дробно-рациональной функции: Часть д Математика > сопеехь(ох,рахтсас,х) 1 1 1О 2 — + —— х х+ 2 (х+ 2)' Вернемся к вычислению нашего интеграла через полученное разложение. Интеграл от первого слагаемого является табличным, но мы его вычислим с использованием команды 1 .с(): > 1п1:=1пс(ор(1,ахзттр1е),х); > 1п1:=та1пе(1п1)) тп1:= 2 1п(х) Второй интеграл сводится к табличному простой заменой переменной и=х+2. Для автоматизации замены переменных в интеграле можно воспольЗОВатЬСя КОМаНдОЙ спапсетах() ПаКЕта ап пепе, В КОтОрОй ПЕРВЫМ ПараМЕтром в виде уравнения задается выражение новой переменной интегрирования через старую, а второй параметр представляет сам интеграл; > 1п2:=1пт(ор(2,отяьпр1е),х) !п2;= — )О пт ! (х+ 2)' > иьсЬ (аспоепс): сьапчетат (х+2=п, 1п2) з 1 -!Π—,аа > 1п2:=еа1пе(Ъ); ! 1п2:= 1О— Р Теперь остается только вернуться к старой переменной, используя команду а11Ьа (): > 1п2:=апЬа(п=х+2, Хп2) 1 1п2:= 1О— х+2 Третий интеграл вычисляется такой же заменой переменной, как и в случае вычисления второго интеграла: > 1пз:=1пс(ор(з,с)хзппр1е),х) ~! 1пЗ:= — ах ~х+2 Глава 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
