Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Задача 7.2 Составить уравнение линии, каждая точка которой равноотстоит от оси ор- динат и от окружности х2+у2=4х. Решение. Сначала разработаем алгоритм решения. Чтобы построить уравнение искомой линии, необходимо вычислить расстояние от произвольной точки плоскости до произвольной окружности и приравнять его значению горизонтальной координаты точки (это как раз и будет расстояние от точки до оси ординат). Расстояние от точки до окружности равняется абсолютной величине разности расстояния между точкой и центром окружности и ралиусом окружности.
(Абсолютная величина берется потому, что точка может лежать как вне, так и внутри окружности.) Чтобы не связываться с абсолютной величиной для получения уравнения кривой, каждая точка которой равно удалена как от окружности, так и от оси ординат, будем приравнивать квадраты соответствуюших расстояний. Построим решение с использованием векторов и команд пакета дасж ггу. Прежде всего создадим окружность и определим ее радиус: > гевсагвзи1Г(з(деозаевгу)з > с1гс1е(с1,х"2+у 2 4*х, [х, у), 'сеагегаазае'=с1) с1 > гз=га4(1ззв(с1) ) Глава 7.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра Теперь зададим в форме вектора текушую точку кривой с координатами [х,у), точку центра окружности, вычислим расстояние между ними и определим квадрат расстояния от произвольной точки плоскости до заданной окружности: > р:тттесгог (2, [х, у)) р:= [х,у] > от=тесгог(2, [соогохгагеа(о1) [1),соого1аагеа(о1) [211); а:= [2,0] > си=-(аягс ( (р(11-о [11) "24(р [21-о [21) "2) -г) "2; ш:=( Р— г ° 4+у — Л) Уравнение искомой линии получим, приравняв величину с квадрату абсциссы точки р) > 11ае: =а)хпр11гту (1ао1асе (г)=р [11 "2, х) ); 1 1!ле:= х = — у 8 При задании линии мы одновременно выразили переменную х в виде функции от переменной у и упростили полученную зависимость, что привело к решению в виде параболы, проходяшей через начало координат, ветви которой расположены в первой и четвертой четвертях: > ньси(р1оса): 1ар11стгр1ос((1хае,ЕЧоас1оо(с1)),х=с..б,у=-10..10, аса1ходезОНЗТВЛ1НЕо,сохсхоеаа=з,со1ог=)>).асх) „4 2 о -2 7.2.
Аналитическая геометрия в пространстве Инструменты Мар!е для решения задач аналитической геометрии в пространстве мало чем отличаются от использованных нами для решения плоских задач — вместо двумерных векторов следует задавать трехмерные, а вместо команд пакета оесапеггу использовать команды пакета деоазо.
Часть д. !(4атвматиха 380 Работа с пакетом двссзс! аналогична работе с пакетом свсаьвтту — пространственные геометрические объекты создаются с помощью набора специальных команд, первым параметром которых является имя объекта, а остальные должны однозначно определять соответствующий объект. Например, для плоскости можно задать три пространственные точки, точку и ортогональный направленный отрезок, прямую и точку и т. д.
Пространственный пакет геометрии поддерживает следующий набор объектов: точка (команда рс'сс !!), отрезок (команда звдтвпс(!), направленный отрезок (команда Нсвт..все (!), ПрОСтраНСтВЕННая ПряМая (КОМаида !1ьв ()), ПЛОСКОСТЬ (КОМаНда рзьпв!!)„пространственный треугольник (команда тт!асств~!), сфера (КОМаНда зрьвтв, )) И ПОЛИЗдр (НЕСКОЛЬКО СПЕцИаЛЬНЫХ КОМаНд). Кроме команд создания геометрических объектов пакет поддерживает ряд команд для вычисления характеристик соответствующих обьектогк радиуса и центра сферы, координат точки и т. п, а также позволяет выполнять разнообразные преобразования объектов и построения новых объектов, связанных некоторым взаимоотношением с существующими, например, построить прямую линию, перпендикулярную заданной плоскости.
Полное описание ПаКЕта двспЗО МОЖНО НайтИ На СтраНИцЕ СПраВКИ Мар)Е, ОтОбражаЕМОй КОМаНдОй здвстЗ!. Задача 7.3 Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости 5х †)4у~-224-30=0 и отстоящей от нее на заданном расстоянии т/. Решение 4. Зададим исходную плоскость в виде уравнения: > р!а1п:=5*х-14*у 2*т+ЗВ=О; с(а!в:= 5 х — ! 4 у+ 2 -+ 36 = 0 Искомую плоскость заладим в виде общего уравнения плоскости с неиз- вестными коэффициентами: > з: г л*хьв*уьс> тьэ=О; т:=А т+Ву+Гт+0=0 Так как искомая плоскость должна быть параллельна заданной, то на основании условия параллельности двух плоскостей можем записать уравнения связи их коэффициентов через произвольный параметр Л; > л:=5*1атььс!со В:=-14*1атЬЦсо С".
2*1ьп0х!а; А:= 5 Л В:= -(4 Л Г:= 2Л В силу алгоритма полной вычислимости выражений в Мар)е уравнение искомой плоскости после присваивания коэффициентам значений через параметр Л будет иметь вид: ЗВ) ) лава 7. Аналитическая геометрия и линейная алгебра 5 Лх — 14 Лу+2 Л х+ 0 =О Поделим уравнение искомой плоскости на параметр Л: > вп=ехраап[(в/1атпЬп(а) ) 0 в:=5х — 14у+2 + — =О Л Теперь выберем произвольную точку на искомой плоскости.
Если задаться ее двумя координатами х и у, равными нулю, то третья будет равна свободному члену уравнения, деленному на -2) > р:и геозох(3, (О, О, -ор(4, 1Ьв (в) ) /2) ) Вычислим расстояние от этой точки до заданной в задаче плоскости в соот- ветствии с известной формулой: > т:.=вяхс (ор(1,ор(1, 1ьв (р1аья) ) ) 2а ор (1, ор (2, 1Ьз (р1аха) ) ) "2е ор(1,ор(3,1Ьв (р1ахя) ) ) 2); т:= 15 > оьвю=аЬв (еяа1(1Ьв (р1а1ь), [х=р[1], у=р[2], в=р[3] ) ) ) /вп 1[ 0 пбж:= — ~ -36 + — ~ 15! Л Теперь остается приравнять выражение бьвп величине и( и решить получен- ное уравнение относительно коэффициента о: > зев п=во1ее(п)1вз=п), О) ) гав:= 36 Л+! 5 и[ Л, 36 Л вЂ” 15 о' Л Это уравнение имеет два решения.
Следовательно, можно построить две плоскости, параллельные заданной и расположенные на заданном расстоянии. Для получения их уравнений необходимо в уравнение искомой плоскости в последовательно подставить эти два решения: > в1ппр11ху(еяа1 (в, В=зев [1) ) ) ' 5 х — 14у+2я+ 36+ 15 о'=О > в)хпр11ху(ееа1(в, О=вез[2))); 5х — 14у+2х+36 — 15 о=О Данные два уравнения и есть уравнения искомых плоскостей, параллельных заданной в задаче плоскости и расположенных на расстоянии и[ относительно нее.
звг Часть д Математика Рвшение 2. Как и в случае с задачей 7.! из раздела аналитической геометрии на плоскости, найдем решение задачи 7.3 с помошью пакета деоазс геометрических построений в пространстве. Построим заданную в задаче плоскость, а параллельную ей плоскость зададим посредством уравнения с одним неизвестным коэффициентом — свободным членом, тогда как коэффициенты при независимых переменных будут равны соответствующим коэффициентам заданной в задаче плоскости: > ит ЕП(сеоезФ: > р1впе (р11,5*х-14*уе2*хе36=0, [х, у, х)); р[1 > р1апе (р12,5*х-14*у+2*в+0=.0, [х, у, х)); р12 наша цель найти неизвестный коэффициент 0 из условия, что расстояние между этими двумя плоскостями равно И.
Для этого вычислим расстояние между плоскостями рп и р12: > о1вг:=о1воапсе(р12,р11); йя):= — ( [3 — 36 ! 1 15 ТЕПЕРЬ ОСтаЕтСя ПрИраВНятЬ ПОЛУЧЕННОЕ ВЫражЕНИЕ еьвт ЗНаЧЕНИЮ о И рЕ- шить полученное уравнение относительно неизвестной 0: > во1:=во1хе(о!во=о,о) во1:= 36 е 15 Ы, 36 — 15 т( Для получения уравнения двух плоскостей, отстояших от заданной на величину ц, следует в уравнение плоскости р12 вместо коэффициента 0 подста- ВИТЬ НайдЕННЫЕ ЗНаЧЕНИЯ ИЗ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтИ во1. ОдНаКО ПОдСтаВИтЬ вместо коэффициента 0 найденные значения, не представляется возможным, так как этот коэффициент защищен в связи с его использованием при задании плоскости р12. Поэтому мы выберем точку на искомой плоскости р12, ее координата 2 будет зависеть от коэффициента о. Вычислив ее координаты командой соох01пвсев(), КОтораЯ ВОЗВраШает иХ в форме списка, ПОдетаВЛяя ВМЕСТО 0 ЕГО ВЫЧИСЛЕННЫЕ ЗНаЧЕНИя во1, ПОСтрОИМ ПЛОСКОСТИ, проходящие через соответствующие точки и параллельные заданной плоскости: > роьпп(р2,[0,0,-0/21); > рз:=соото1пасев(р2)1 рз:=~0,0,--[3] звз Глава 7.
Яналитичвсиая гвоивтрия илинвйная алгебра > рохас (р4, еча1 (рЗ, О=ео1 [1] ) ); р4 > р1апе(р13,[р4,иогеа1Чессог(р12)],[х,у,г]) р13 > Еяаас1оп (р13); 5 х — 14 у+2 г+ 36+ 15 и(= О > розпс (р4, еча1 (рЗ, О=ао1 [21) ); р4 > р1апе (р14, [р4,иогеа1чессог (р12) ], [х, у, г1 ); р14 > Есоастоп(р14); 5 х — 14у+2 а+ 36 — 15 4[= 0 Задача 7.4 Написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку 1т1[1,7,-4), перпендикулярно прямым х=-243д у=1 д 2=3( и х-1;26 у-8~2О 2=-4451, Решение. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку М, запишем в виде списка, в котором первый элемент соответствует координа- те х, второй у, а третий 2: > 1;=.[1'п~"Г,7+п*Г, -4+р*Г]( 1:= []+и(, 7 ел(, — 4+р(1 Направляющие векторы искомой прямой и двух заданных определим через векторы Мар1е: > ч =чессог (3, [п~, и, р] ); ч;= [и, и, р) ч1;=.
[3, 1, 3) ч2:= [2, 2, 51 > ч1: =чессог (3, [3, 1, 31 ) ) > ч2:=чессог(3, [2,2,51): Для перпендикулярности искомой кривой необходимо и достаточно, чтобы ее направляющий вектор был перпендикулярен направляющим векторам заданных прямых, а это приводит нас к системе двух уравнений, которые получаются из условия равенства нулю скалярных произведений направляющего вектора искомой прямой и направляющих векторов заданных прямых: > еЧ1:='11па1ц/г(осргос('(ч,ч1)=0) ев1:=3 е+л+Зр=О Как видим, получен результат, полностью совпадающий с результатом на- шего первого решения. Часть II. Математика 384 > ес)2.
"='11па19/босртоб' (ч, ч2) =О; ед2:= 2 «с + 2 я + 5 р = 0 > а:=ао1че((ес(1, ес(2), (пс,п) ); 9 з;= [я= — — р,ся= — -р! 4 ' 4 > аяа19п (з) > '1 ! 9 -р 0 7 — -Р(, -4+Р /1 4 ' 4 Решение системы двух линейных уравнений ищется относительно двух неизвестных переменных т и и, а результат представляется через третью неизвестную р, которая может принимать произвольные значения.
Для конкретизации направляющего вектора искомой прямой положим р=-4 и построим графики трех прямых: > р:=4 р:=4 [! — П 7 — 9 а-4+4 ([ > 11:=-(-2+3*1, 1+, 3*1! ' //;=[-2 еЗ 0 !+а 3 )! > 12:.=(1+3*1, В 2 1,-4+5*С) ) /2:= [ ! е 3 0 К -)- 2 /, -4 е 5 ( [ > чс=р)оСЗб((1,11,12),1=-1О..1О,у=-) О..1О, ахез=ВОХВщ: Г:=-'р1ота/Сехпр1оСЗб'((-10п-а0,20,"Искомая прямая" !): 'р1осэ/бгзр1ауЗб'((д, Г)); ,ясеььь> аря>ая 40 Замечание В этом решении мы не подключали никаких пакетов, а вызывали команды, задавая их полные имена с указанием пакета, причем, так как в этом случае приходится использовать символ "/", то полное имя команды заключается в обратные кавычки, Глава 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
