Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Теперь, зная координаты двух вершин квадрата, можно построить уравнеНня Ещс дВуХ ЕГО СтОрОН (1тпе2 И 11пе4), а тахжс ВЫЧИСЛИТЬ КООрдИНатЫ ОС- тальных двух вершин ( 4 и 3), смещаясь вдоль построенных прямых сторон квадрата от соответствующих вершин ( 1 и 2) на расстояние 2*б, равное длине стороны квадрата: > 11пе2:=богртоб((ро1пг 1тпе-ч1),регр чесг)=0; 1те2:= 3 х — 3 -у = О > 11пе4:=богргоб( (рогат 11пе-ч2),регр чесг) =0; йае4:= 3 х + 9 — у = О > ч4:=чессот (2, (ч1 [1) -регр чесс1 [1) /баасапсе(регр чесс1, лето) *2*б, ч1[2]-регр чесг1[2)/бтетапсе(регр чесг1,лего)*2*б]); 14:=~-, — ~ > чз:=чесгот (2, [ч2 [1] -регр чесС1 [1) /сьатапсе (регр чесС1, лето) *2*б, ч2[2)-регр чесг1(2]/бтегапсе(регр чесг1,лето)*2*б)); ~]7 6~ Получить уравнение последней стороны квадрата не представляет труда.
Для ЭТОГО ДОСтатОЧНО ПОСтРОИтЬ УРаВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ че и параллельной заданной стороне квадрата (у них одинаковый перпендикулярный вектор): > 11пеЗ."=богртоб((роспг 11пе-ч4),регр чесг1)=О; 1таеЗ:= х + 7+ 3 у = О Для проверки построенных уравнений сторон квадрата можно начертить прямые линии сторон и точку центра квадрата, чтобы убедиться в правильности построенного решения: Глава 7. Аналитическая геометрия и линейная алгебра 373 > иьгп(р1оса): > Г1=Р1ос ((гпа(ьао1а е(11пе1, У)), гда(аес1асе(11пе2,у)), гпа(1ао1асе(11гез,у)), гпа(>ао1асе(11пе4,у))),х=-4..4,у=--4..4, со1ог=-Ь1аск,аса1100=СОНЯТЕЛ1НЕО,ГП>с)спеха=2) си †.р1сс([[сепгег рогат[1),сегсег рогпг[2))),х=-4..4, асу1е4 РО1НТ, со1оггиотаск): С:=Сехср1ос([1,2,"11пе1"),со1ог=тес(,а11дп=(ЬЕтт)): с)гар1ау((т,д,г),ахеа=ВОХЕО)) 4 3 2 1 то -1 -2 .3 4 4 2 0 2 4 к Решение 2.
В Мар[е включен специальный пакет сес. с у для выполнения построений на евклиловой плоскости, который можно использовать лля решения задач аналитической геометрии. В этом пакете с помощью специальных команд определяются геометри )еские ОбЪЕКтЫ: тОЧКа (КОМаНда рогат ()), ЛИНИЯ (КОМаида 11 .,;), ОтрЕЗОК (КОМаида аевп1епс () ), НаПРаВЛЕННЫй ОТРЕЗОК (КОМаНДа саед епс () ), ОКРУжНОСтЬ (КОМапда сьгс1е () ), парабола (команда рагаьо1а () ), гипербола (команда дуре -ьо)а () ), ЭЛЛИПС (КОМаНДа е)11рае()), КВаДрат (КОМаНДа аоп е()) И трЕуГОЛЬНИК (КОМаида Гггап01е()).
ВСЕ КОМаНдЫ ОПрЕдЕЛЕНИя ГЕОМЕтрИЧЕСКИХ ОбЪЕКтОВ первым параметром задают имя объекта, по которому можно на него в дальнейшем ссылаться, остальные параметры зависят от типа создаваемого объекта и соответствуют способам определения соответствующих объектов. Например, задать окружность можно и с помощью уравнения, и с помощью трех точек, и с помощью точки центра и радиуса; > итгь(сеоасеггу)1 > РОЕПГ (Р1, [-1, О) ) ) РО1П (Р2, [О, 1) ); РО1ПГ (РЗ, [1, О! ); РОЕГГ (РО, [О, О) ); р! р2 рЗ рО > с1гс1е (с1, х" 2+ (у) *2=1, [х, у) ); с1 Часть 6. Математика 374 > сггс1е(с2, [р1,р2,рз), [х,у]) к > с1гс1е(сз, [р0,1], [х.у]) ) сЗ ЗДЕСЬ ВСЕ трн КОМаНДЫ с'гс1е() ОнрЕДЕЛяЮт ОДИНаКОВЫЕ ОКружНОСтИ ЕЛИ- пичного радиуса с центром в начале координат.
Третий параметр во всех командах задания объектов, которые можно описать с помощью уравнений, представляет двухэлементный список наименований независимых переменных. Если его не задавать, то Мар]е будет отображать подсказки для ввода соответствующих наименований координат, после которых следует ввести идентификатор, завершающийся точкой с запятой: > с1гс1е (с1, х"2> у" 2=1); еггег пате сг гпе Лсгггслса1 ахая > х; еггег лмге сГ Сле чегстса1 ахая > у; с! Замечание Здесь полужирным шрифтом выделена информация, которую пользователь вводит в ответ на сообщения Мар)е. Для каждого объекта определен ряд команд, вычисляющих некоторые его характеристики. Так, для объекта окружность можно вычислить координаты центра (селгег(имя окружности)) и радиус (гаг)1ия(имя окружности)), ллг) точки ее координаты (сссгсьлагея(и я точки)) и т.
д. В пакете есть команды, применяемые практически ко всем геометрическим объектам и определяющие общие для всех объектов характеристики: О Гсггк() — ВОЗВращаЕт тИП ГЕОМЕтрИЧЕСКОГО ОбЪЕКта: рот Г2г(, яед елс2С, г(яецтвелг2С, 11ле2с, гг1алс1е2С, яясаге2г(, сггс1е2б, е11гряе2сц рагасс1а2с, Луреглс1а2с( ИЛИ ГЛ11, ЕСЛИ НЕ ВОЗМОЖНО ОПрЕдЕЛИтЬ тИП ГЕОМЕтрИЧЕСКОГО объекта; гз вчнаггсл () — уравнение геометрического объекта; П Нсгггслса1иаже() — ВОЗВращаЕт ИМя НЕЗаВИСИМОй ГарИЗОНтаЛЬНОй КООрди наты; Н уегс1са11нате () — возвращает имя независимой вертикальной координаты; гз с(еса11 () — ВОЗВРашает поДРобную информацию о геометрическом объекте.
Приведем несколько примеров использования перечисленных команд к определенным выше точкам и окружностям: > г(еса11(с2) г нагие от"гйе оЬуес(: с2 )огт от")Ье оЬуес(. с!гс)е2г[ Глава 7. Аналитическая геометрия и линейная алгебра 375 пате оГйе септег. сеглег с2 сооггуша)ея о) йе сепгег. 10, 01 гаайия о) йе сйс)е: 1 едиалоп ОГйе пгс!е х 2гу"2-1 —. О > с)еса11(ро) 1 пате о1 йе оЬ1ес)1 р0 )огт ОГйе оЬ1ес(: ро(п)Ы соогадпа(ея ОГ(Беро)пг 10, 01 > Гопп(с2) 1 сыс1е24( Для визуализации геометрических объектов пакета ()еоеепсу предназначена команда п(сан(), первым параметром которой задается множество объектов, подлежащих отображению на рисунке Мар)е, а последующие параметры представляют собой известные опции графических команд в форме уравнений, действие которых распространяется на все отображаемые объекты.
Для каждого объекта в множестве после его имени в скобках можно определить опции, применяемые только к этому геометрическому объекту, однако спи- СОК дОПуСтИМЫХ ОПцИй ОГраНИЧИВаЕтСя СЛЕдуЮщИМИ ОПцИяМИ: со1от, 11пеЯПУ1е, ппп1Ро1ппа, Яоу1е, ЯУпвпо1, СП1сппеЯЯ, Рттпопехо И 6111еп). УотаНОВКа ЗНаЧЕНИя ОПЦИИ рстппсехп раВНЫМ Птпе ПрИВОдпт К ОтОбражЕНИЮ ИМЕН тО- ЧЕК, а ОПЦИЯ 6111ео=тепе, ПРИМЕНЕННаЯ К ЗаМКНУтОй КРИВОЙ (ОКРУжНОСтЬ, ЭЛЛИПС, КВаДрат), ЗаКращпааЕт ЕЕ ВНутрЕННОСтЬ ЗадаННЫМ В ОПЦИИ со1ос цВЕ- том.
Пример 7.1 демонстрирует использование команды осач(). > сгтс1е(с1,х"24 (у-2) "2=4, (х, у), 'сеппетпа1пе'=о) 1 с! > роапп(р1,(6,6))' р1 > 1пее(11, (о,р1), (х,у) ): > г)тач((с1(й111еп)4етпе,со1ос=ссееп),р1,11(со1от=б1асх)),рстпппехе=-сспе, п.ее=( — 2..6,-2..6)) 1 в 5 4 з 2 1 о -1 -221 О 1 2 3 4 5 в Часть!!. Математика 37о В этом же пакете определены некоторые команды построения геометрических объектов относительно других, например, перпендикулярной прямой к существующей, а также разнообразные преобразования объектов плоскости — перенос, поворот, подобие и т.
д. Со всеми этими и другими командами пакета оеопетту можно подробнее ознакомиться на странице справки, отображаемой командой . деотаетгу. После краткого знакомства с пакетом оеоеетту можно перейти к решению нашей задачи. Прежде всего создадим точку пересечения диагоналей квадрата [р) и прямую линию, на которой расположена заданная сторона квадрата (11): > рогат (р, [-1, О] ); > 11пе(11,х+3*у-3=0,[х,У]); Спроецируем точку пересечения диагоналей р на прямую 11 и найдем рас- стояние между полученной точкой и точкой пересечения диагоналей, кото- рое равняется половине длины стороны квадрата: > рте]естгоп(р1,р,11) ) > соогаьпатеа(р1)) р! > Гн=огатапсе (р,р1) ) Ы:=-,/]8,[5 ! 5 Теперь, как и в первом решении, построим две вершины квадрата, распо- ложенные на прямой 11 по разные стороны от точки проекции центра квад- рата на расстоянии о от нее: > ро1пт (г1, [ног1топта1соогб (р1) ~о*3/ачгт (10), уетт1са1Соогц (р1) -0*1/аятт (10) ] ) ) т! > рогпт(е2,[аотггоптагсоото(р1)-6*3/аптт(10), уетт1са1Соогт](р1)+с(*1/апгт(10)])' т2 > Регрепавсп1атвьпе(12, е1, 11)) > Ретрепо1сп1атьгпе(13, у2, 11)) Теперь можно восстановить перпендикуляры из полученных точек вершин квадрата к прямой линии, на которой расположена его заданная в условиях задачи сторона: 377 Глеяа 7.
Яналитичесиея геометрия и линейная алгебра Проведем диагонали, проходящие через точки вершин >1 и я2, и отобразим построенные линии и точки: > 11 пе ( с(2, [ о2, Р] ) 1 > 11пе (с(1, [я1,р] ) ' с[1 > с(пасс((11, 12, 13, с(1, с(2, р, р1, я1, я2), рвгпяпеха=Свое) 10 в в 4 2 о -2 -в -10 В 4 О 4 В Из рисунка видно, что мы на правильном пути, и лля завершения решения задачи следует найти точки пересечения диагоналей с соответствующими линиями сторон квадрата: > 1поесяессгоп(03,с(1,13) 03 > 1поесвесагоп(яа,с(2, 12) Завершим задачу построением линии четвертой стороны и отображением полученного квадрата с промежуточными построениями: > 11пе Д4, [03, я4] ) ) > яс=(р,я1,я2,03,ч4,11,12,13,14)1 в:= [р,!/, 12, 13, 01, я2, ВЗ, 04, 14 [ > осае(я пп1оп (вяиасе (яЧ1, [я1,02,яЗ,В4] ) (Г[11ео=оспе, со1ос=дсееп), р1, ведпсепс(я1, [р,ъ2] ), вечтпепс(32, [р,я1] ), ведпепс (яЗ, (р,р1] ) ), рс1пппехп=Свое, со1ос=шее, ягее= [-5 ..
3, -3 .. 4] ) 1 4 3 2 1 О -1 3 -В .4 -3 -2 -1 О 1 2 3 Часть д Математика З7В Анализ рисунка показывает, что построенный нами квадрат является именно тем, который требуется построить по условиям нашей задачи. Остается только распечатать уравнения всех его сторон: > ЕЧззасзоа(11) -5+х+Зу=О > взжр11Гу(ЕЧззас1са(12))з -3+Зх-У=О > взазр11Гу(ЕЧззас1озз(13) ) ) 9+Зх-У=О > в1кзр11Гу(Есузаеьса(14',); 42 б !8 — +-х+ — у=О 5 5 5 > випр11гу(5*ечсаг1оа(14) /б) з 7+х+Зу=О Для получения приемлемого вида уравнения линии 14 нам пришлось умножить его на 5 и разделить на б. Все полученные уравнения совпадают с соответствуюшими уравнениями сторон квадрата, полученными в первом варианте решения задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
