Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Однако для первоначального знакомства с производной ее лучше определять с помощью предела на основании приведенного определения. Для вычисления пределов в Мар!е предназначена команда 1ха е )), с которой мы и познакомимся в первом разделе этой главы. 8.1. Пределы Команда вычисления предела имеет две формы, одна из которых тцахг!) вычисляет предел, а вторая — отложенная — служит для отображения на рабочем листе и в тексте комментариев математической записи предела и отличается от вычисляемой команды только именем, начинающимся с прописной буквы, — ь]аце )). Общий синтаксис этих команд следующий: 1ваце(Г, х=а [,бах]]; ььаце(х, к а ),сьх])) Часть!!.
(Иатвматииа 398 Параметр т определяет выражение, зависящее от неизвестной величины х, предел которого необходимо вычислить при стремлении неизвестной к величине а. По умолчанию Мар(е считает независимую переменную вещественной, а любые параметры в выражении ненулевыми и также вещественными, если не задано иное с помощью команды ааа па(). Величина а может быть любым выражением с неизвестными величинами, числом (веще- СтВЕННЫМ ИЛИ КОМПЛЕКСНЫМ), а таКжŠ— 1пт птту ИЛИ тпттп Су. В СЛуЧаЕ отсутствия параметра с)ьт команда вычисляет обычный предел функции за исключением случаев, когда задано стремление независимой переменной к бЕСКОНЕЧНОСтн (тпт1птту) ИЛИ МИНУС бЕСКОНЕЧНОСтИ (-тпттпьеу).
В ЭТИХ СЛучаях пределы вычисляются при стремлении переменной х к минус бесконечности справа, а к плюс бесконечности слева. Использование команд вычисления пределов показано в примере 8.!. > Шппс (5*хуатстап(х), х=-О) = 11ппп (5*х/атстап(х),х=-О) х )пп 5 — — =5 о атс(ап(х ) > 11а>С ( (а*х"2+1) У (Ь*х+с), х=тпттптту) ) 5(Яппи (О! 00 з)япптп ( в ) > 11ппе( (а*х"2ь1) / (Ь*хас),х=с)*с); ! во пас с(ЬЫ»- )) Значение параметра д1т задает вычисление предела при стремлении переМЕННОй х СПРана К ВЕЛИЧИНЕ а (т!дпс) ИЛИ СЛЕВа (тате). ЕСЛИ ЕГО ЗНаЧЕНИЕ равно таа1, то вычисляется обычный предел функции вещественной переМЕННОй, ПРИЧЕМ В ЭТОМ СЛУЧаЕ ЗНаЧЕНИЕ ьпттптту тРаКтУЕтСЯ НЕ КаК ПЛЮС бесконечность, к которой переменная х стремится слева, а как одновременно плюс/минус бесконечность и предел рассматривается в обычном смысле, т.
е. если предел при стремлении к плюс бесконечности слева равен пределу при стремлении к минус бесконечности справа, то предел существует и равен полученному значению, в противном случае предела выражения не существует. Значение ссха)>1ах параметра »)1т определяет, что предел ищется в комплексной области, и его значение не зависит от способа стремления неЗаВИСИМОй ПЕрЕМЕННОй К ПрЕдЕЛЬНОй ТОЧКЕ, ПрИ ЭТОМ ЗНаЧЕНИЕ 1пт1п»ву рассматривается как бесконечно удаленная точка расширенной комплексной области. Пример 8.2 демонстрирует использование этого параметра для вычисления односторонних пределов как в вещественной, так и в комплексной областях. Глава 8.
Дифференцирование ункций > 11ппп(ехр(х),х=1пГ1п1пу)) 399 > 11пеп(ехр(х),х=-тпГтптсу)р О (ехр(х),х=1птьпьпу, геа1); иле/е/1 пес/ (1/Х, Х=О, Г1ОПГ) =11ПС1Г (1/Х, Х=О, Г1дПГ) Р 1 )пп — = со о (1/х, х=О, 1егп) =.11срап (1/х, х=с, 1етп) ) 1 !пп — = -со о- х (1/х, х=с) =11со1Г (1/х, х=с); 1 )пп — = плс(е/1 пес/ о х (1/х, х=с, соспр1ех) =1ип1Г (1/х, х=О, сстр1ех); 1 (пп — = сс — сю / с-ро,со р! Х 11ппг > ь1спгг > Ьпптг > Ьгегп > 11псгп Обратите внимание на последний предел примера 8.2 — в возвращаемом ЗНаЧЕНИИ КОМаНдЫ 1 жтп() МОжЕт ИСПОЛЬЗОВатЬСя И МНИМая ЕдИНИца /, И символ бесконечности Завершим этот раздел решением типовых задач на вычисление пределов из курса высшей математики.
Задача 8.1 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя: 1 х(1+х —,/1-х !пп— о 3 х Решение. Определим выражение, предел которого необходимо вычислить: > ус = (ачгг (1+х) -ечгг (1-х) ) /3/х) 1 /1+х — о/! — х 3 х В точке х = 0 оно имеет неопределенность О/О, избавиться от которой можно, умножив и числитель, и знаменатель на одну и ту же величину ()/! +х +оГ) -х ). В Мар!е нам придется это действие выполнить за два шага; сначала умножить' числитель и упростить его командой ехрапс)(), а затем уже умножить знаменатель на эту же величину: Часть д Математика > п1: =ехрвпп) (и* (вчсс (1вх) Ьвчсс (1-х) ) ) ) 2 т!:=— 3 > П2: т В1/ (ВЧСП (1+Х) ЬВЧтс (1 — Х) ) ) 2 1 ю2:=— 3 у)Г+х +,/1-х Полученное, эквивалентное исходному выражение у2 не имеет в точке х=0 неопределенности, а поэтому его предел при х->О равен просто значенн)о этого выражения в предельной точке: > епа)(п2, х=с) Проверить полученный результат можно непосредственным выполнением команды 11пцп () для исходного выражения и) > 11тп11 (п,х=с) Как видим, наш результат совпадает с результатом, вычисленным Мар!е.
Задача 8.2 Для функции Г(х) определить, является ли она непрерывной в точке х=2: (у-'--) ((х)=9 Решение. Вычислим пределы заданной функции справа и слева в точке х=2: > у:=х->Э"(1/(2 — х)); »:=х — >9 > 1зл11 (у(х),х=2, с19ЬП): > 1пп11 (у(х), х=2, 1ейс); Предел справа не равен пределу слева, а поэтому заданная функция имеет в точке х=2 разрыв. Более того, эта функция не определена в данной точке, так как при х=2 знаменатель показателя степени обращается в нуль.
Отобразить график этой функции простым обращением к команде ргсп() с ограничением диапазона значений не удается из-за слишком больших значений функции слева от точки разрыва: Глава В. Дифференцирование функций > р1оо (у(х),х=1.. 5, 0..10) ) Р1опо1пд еххох, ехропепс Соо 1ахде Поэтому для построения графика пришлось прибегнуть к искусственному приему, представив график как объединение двух графиков — слева от точ- ки разрыва, причем диапазон изменения независимой переменной не вклю- чает саму точку разрыва, и справа от точки разрыва: > Г:=р1ос(у(х),х=-5..1.99,0..10, со1ох=Ь1асх, СЬ>схпеее=2); > д:=р1ос(у(х),х=2.0001..10,0..10, со1ох=Ь1асх, СЬ1схпеее=2): > зз1СЬ(р1опе):отер1ау((Г,Ч) ) з Задача 8.3 Задана функция у=з(х).
Найти точки разрыва функции, если они сушеству- ют. Построить ее график. х < -1 — 1-х<О апз) х <1 х+4 хзе2 2х 1ях РЕШЕНИЕ. ЗададИМ КУСОЧНО-НЕПрЕрЫВНуЮ фуНКцИЮ КОМаНдОй ртесеетее (): > у:=ртесе>зтее(х<-1,хе4,х>=-1 апз( х<1,х"2е2,х>=1, 2*х)з х<-1 -( х'+2 -1-х<Оапдх<1 2х Единственные точки, где функция может иметь разрывы, — это границы диапазонов задания кусочно-непрерывной функции, так как внутри диапазонов она задается непрерывными функциями. Для проверки непрерывности следует вычислить пределы справа и слева в точках х= — 1 и х=1 (КОМаида 1з ' С () МОжЕт рабОтатЬ И С КУСОЧНО-НЕПрЕрЫВНЫМИ фуНКцИяМИ): > 11ппо (у, х=-1, хздЬС);11ппп (у, х=-1, 1ехо) з 3 3 > 1йпз С(у,х=1,х1дЬС) )11хпп (у,х 1,1еео) ) 2 3 аог Часть д Математика Видим, что в точке х= — 1 предел справа равен пределу слева, а слеловательно, функция в ней непрерывна, чего нельзя сказать относительно точки х=1.
ГрафИК ЗадаННОй фуНКцИИ ПОСтрОИМ, КаК ОбЫЧНО, КОМаНдОй р1оо(): > р1ос (у, х=-2 .. 2, с)1эсопт =етое, со)ох=ь1асх, тысхпеез=-2) 5.5 25 о з г х Задача 8.4 При каких значениях а и Ь функция ) Г(х) будет непрерывна. Построить ее график.
(х — 1) х<0 ах+Ь -х<0апз(х<1 /х ! <х Решение. На заданных интервалах функция непрерывна. Единственными точками, в которых она может иметь разрывы, являются граничные точки интервалов х=О и х=1. Для обеспечения непрерывности функции в этих точках необходимо и достаточно, чтобы в них сушествовали равные между собой пределы функции при стремлении независимой переменной справа и слева к возможной точке разрыва. Запишем уравнение равенства пределов справа и слева для точки х=О: > ГЗ=Х->Р1ЕСЕИЗЭЕ(Х<=0, (Х вЂ” 1) 2,Х>0 асс Х<1,а*Х+Ь,Х>=1,ЭЧХС(Х) ) З Г:= х — > р(есез«(«е (х я О, (х — ! )з, 0 < х апд х < ), а х е Ь, ! < х, ззхх) > 51з=11ХЗ1С(х(Х),Х=О, 1Е«Т)=11ЗЭ)С(х(Х),х=с, Х1ЧЬС) з «);= ! =Ь Получили одно уравнение для нахожления двух неизвестных параметров а и Ь. Второе уравнение получаем, приравнивая пределы справа и слева в точке к=1: > 52з=1зло С (х (х), х=1, 1еГС) =1ззп11 (й(х), х=1, х1ЧЬ1) «2:= а+ Ь = 1 Решая полученную систему двух уравнений находим значения неизвестных параметров а и Ь, при которых кусочно-непрерывная функция будет непре- Главе 8.
Дифференцирование функций 403 рывна в граничных точках интервалов ее задания, а тем самым и на всей числовой оси: > ао1се((а1,а21, (анЫ) г (Ь=),а=О) > ааа1Чс(%) г При найденных значениях параметров а=О и Ь=! на интервале (О, 1) функ- ция принимает постоянное значение у=1. Для проверки полученного реше- ния построим график функции с найденными значениями параметров: > р1оС (Г (х), х=-1 .. 2, )ггсхпеа а=2, со1ог=в1аск) а -0.5 0 Ов 1 1.6 2 х 8.2.
Производная и ее использование для исследования функций Будем вычислять производную в точке ха=[. Для этого зададим саму функ- цию и две точки ее графика с абсциссами, соответственно, ха=1 и х(= ха+6: > у: =х-> (ехр ( соа (х) ) +3) "2 г г(а( г у:=х-а(е* +3) > хо:=1г > ро:=[хо, у(хо)1( г рО:= (1,(е + 3) ) р1:= (1+Ь,(е + 3) ) > р1г=[хоа)г, у(хО+Ю[г Начнем раздел с демонстрации геометрического смысла производной как тангенса угла наклона касательной к графику функции в заданной точке. Касательная определяется как предельное положение секушей, проходяшей через две точки графика при стремлении одной из них к другой. Все построения осушествим на примере функции: у=(е +3) Часть д Математика 404 Команда а1оре() из пакета асоеепл вычисляет тангенс угла наклона прямой, проходяшей через две заданные точки: > е1лл(атеоепе): с:=а1оре (рс, р1) ) 3) — (е +3) Ь Теперь, если устремить Ь к нулю, то выражение л должно сходиться к числу, равному тангенсу угла наклона секущей в предельном положение, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
