Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Задача 7.6 Даны два линейных преобразования х'=Ах и х"=Вх' трехмерных про- странств с матрицами 3 5 7 1 1 3 3 -2 1 2 4 5 в-[ Найти преобразование, выражающее вектор х" через вектор х. При вызове модифицированной процедуры ческе ест е рхтст!) С трЕтЬИМ параметром стае мы можем видеть матрицы с последовательно исключенными переменными. Если третий параметр будет равен ге!ее, то модифи.цированная процедура будет работать аналогично процедуре даава ясттеы примера 7.3. Таким образом, в процессе решения исходной задачи мы показали все возможные подходы получения решения систем линейных алгебраических уравнений в Мар!е — и с помощью пользовательской процедуры, и с помощью команд встроенных пакетов, Следующая задача будет связана с линейными преобразованиями и-мерных пространств.
Известно, что любое линейное преобразование однозначно определяется своей матрицей в некотором базисе Глава 7. Аналитическая геометрия и линейная алгебра Решение. Матрица результирующего преобразования является произведением матрицы В на матрицу А. Здесь мы также можем либо воспользоваться возможностями Мар!е для выполнения произведения двух матриц, либо разработать собственную процедуру, что мы и сделали.
Текст процедуры перемножения двух прямоугольных матриц представлен в примере 7.5. : 64й~цФ~-'~;:5[[3ВФЙ(в)див~в)~ж:афйэ~рй~$ф$фФ~м~, " ': > пас пц1: =ргос (а::пасг1х, Ь::пасггх) 1оса1 1,3,к,с,п,п,1) Г '11па1дусо1О1п'(а) <> '11па1д/гоиг(1п'(Ь) Гпеп еггог("количество столбцов матрицы $1 лог>ц3о раввяться 1 количеству строк матрицы $2",а,Ь) етк) 1г3 и:= 11па1ятгоисЬп'(а)) 1:= '1>па1д/со1Огп'(а)3 гц = ' 11па18/со1тнп' (Ь); с: =.пасг1х (и, и); Гог 1 Ггоп 1 го п 3)о Гог 3 ггоп 1 Ьо и с)о с [1, 33:=вцп(а!1, Х) *Ь[Х, 3 3, к=1 .. 11 епс) Оо3 епо с)о3 еча1 (с) ) епс) ргос3 В ЗтОй ПРОЦЕДУРЕ пав ц1() ПРЕЖДЕ ВСЕГО ПРОВЕРЯЕТСЯ, ИМЕЕТ ЛИ ВХОДНаЯ матрица а такое же количество столбцов, что и матрица ь, так как только при этом условии определена операция умножения двух прямоугольных матриц.
Если это условие выполняется, то далее в двойном цикле по количеству строк матрицы а и количеству столбцов матрицы ь с помощью КОМаНдЫ вц () ВЫЧИСЛяЕтСя ПрОИЗВЕдЕНИЕ СтрОКИ 1 МатрИцЫ а На СтОЛбЕц 3 матрицы ь и полученный результат присваивается элементу с; матрицы произведения. Теперь с помощью разработанной нами процедуры паг пц1() РЕШЕНИЕ Исходной задачи не представляет труда. Определяем на рабочем листе матрицы двух заданных преобразований и перемножаем их: > А3=3вагг1х (3, 3, [ [4,3, 53, [6,7, 1!, [9, 1,8[] ) Часть!1. Математика зог > В:~пагт1х(3,3,[[-1,3,-21,1-4, 1,21,[3,-4,511)т В:= -4 1 2 > пас аа1 (А,В) Для проверки полученного результата можно перемножить матрицы с помощью операции ь*, не забыв использовать команду е ' . (); > ета1т(да*В) ИЛИ ВОСПОЛЬЗОВатЬСЯ КОМаНДОй ке11 р1у() ПаКЕта 11аапл В КстОрОй МОЖНО задать произвольное количество матриц, и она вычислит их последовательное произведение в заданном порядке: > ве1Г1р1у(А,В)( -31 21 7 Последняя задача линейной алгебры, которую мы решим, будет задача о вычислении собственных значений и соответствующих им собственных векторов линейного преобразования, заданного своей матрицей в некотором базисе.
Задача 7.7 Найти собственные значения и соответствующие им собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А= -3 4 О Рещение. Прежде всего следует найти собственные числа матрицы линей- ного преобразования из решения его характеристического уравнения [А — Х Е[= О, в котором Е является единичной матрицей, а ~ ~ означает определитель. Глава 7.
Яналитическвя геометрия и линейная алгебра 393 Составим характеристическое уравнение, предварительно задав саму матри- цу А задачи и единичную матрицу Е: > н1ГЬ(11ла1д): > П:=тпеег1х (3, 3, ! (О, 1, 0], (-3, 4, 0], (-2, 1, 2] ] ) О] > В:=-аггау(1.. 3, 1..
3, Ьдепт1су): Е:= аггау( Ыеп(1)у, 1 .. 3, 1 .. 3, [ ) ) > 00:=пес(А-1*В); (Ю:= -1 1 1 е 6 Р— 1Р е б Переменная 00 содержит характеристический полипом матрицы л. Отметим, ЧтО ЕГО МОЖНО ПОЛуЧИтЬ КОМаНдОй спегрсту() ПаКЕта 1'ье) д) > 00:=спагро1у()(,'1'); ()13:= 1' — 6 1 е 1 ! 1 — 6 Замечание Команда сьегрс1у() строит упорядоченный по степеням переменной, определяемой ее вторым параметром, характеристический полипом матрицы, задаваемой в качестве первого параметра етой команды.
После того как характеристический полином построен, следует найти его нули, которые и будут являться собственными числами матрицы (линейного оператора): > 1аеьс1а:=зс1уе (00, 1); Л:=1,2,3 В нашей задаче матрица линейного оператора имеет три не равных между собой собственных числа, а это говорит о том, что три соответствуюших им собственных вектора, являясь линейно независимыми, образуют базис этого оператора, и в данном базисе матрица оператора будет диагональной с собственными числами, расположенными на главной диагонали. Для вычисления собственного вектора, соответствуюшего собственному числу Лн следует решить систему линейных уравнений (А — Л,Е)к=0, в которой 0 означает нулевой вектор пространства.
Мы решим в цикле три подобные системы: > В:г кесеог(3, (О, О, 0] ) ) В;=[0,0,07 Часть !!. Математика 394 > Гот 1 го 3 г)о Ь[].):=1гпво1'те[А-1апЬг)а[1]*Е,В,'г', "т')) епг) г)ог [г,:= [тп тп т,] О,:= [ О, О, ~,) Ьг:= [то 3 тот,) Проверим, что найденные нами решения, правильные. Для этого вычислим последовательно произведения АЬ, и посмотрим, равняются ли они, соответственно, векторам Лг[г): > Гоп 1 Со 3 г)о ева1т [Аа*Ь [11) =ева1вг [1апгьоа [1] *Ь [1] ); епс! г)ог [тп тп т, 1 = [гп тп гч,] ( О, О, 2 т,] = ( О, О, 2 т,] (3 тп 9 тп 3 т, [ = (3 тп 9 тп 3 «, ] Поверка показала, что найденные решения верны.
Присвоив произвольной переменной т) значение 1, можно получить конкретный набор нормированных собственных векторов, являющихся базисом заданного в задаче линейного оператора: > [11 Гоп г Го 3 г[о ехрапг[[[Ь[1)11],Ь[1][2],Ь[1]['3])/впт"[вогп[Ь;г)[)г)"2,к=1..3))); епг) оог -ч3, †)3, — /3 ~ ! 1 1 3 '3 '3 [0,0,1! — >)]1, —,[)1, —,) !1 ~ 1 3 1 !1 ' 11 ' 11 Мы решили задачу определения собственных значений и собственных векторов линейного оператора, заданного своей матрицей в некотором базисе, определив корни характеристического уравнения с помощью команды во1ве[), однако заМЕтИМ, что система Мар1е содержит ряд команд, находя- ШИХСЯ В ПаКЕтЕ 1впа1Ш ПрЕдНаЗНаЧЕННЫХ дпя ОПрЕдЕЛЕНИя СПЕКтра МатрИц. К ним относятся команды е19епеа1пев [) ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОбственных значений МатрИцЫ И еьчепеесвотв[), раССЧИтЫВаЮщая НЕ ТОЛЬКО СОботВЕННЫЕ ЧИСЛа матрицы, но одновременно и соответствуюшие им собственные векторы: > еьдепва1пев[А); 1,2,3 395 > е1депчесооге(А) [ 1, 1, [[ 1, 1, 1) )),[3, 1, [[ 1, 3, 1 ) )),[2, 1, [[О, О, 1 ) ) ) Команда егдепее1пее() вычисляет собственные значения матрицы и возвращает их в виде последовательности.
Команда еьдеп еопоге[) возвращает последовательность списков, каждый из которых содержит три элемента: собственное число, его кратность и множество собственных векторов, являющихся базисом подпространства, соответствующего собственному числу, размерности не более кратности собственного числа: [1 8 О~ > егдепта1пев(А); 7,2,2 > е1депееогоге (А) ) [2, 2, [ [О, О, ! ) ) ),[7, 1, [ [5, !5, 1 ) ) ) В данном примере размерность подпространства, соответствующего собственному числу 2 матрицы А и имеющего кратность 2, равняется 1, а поэтому и множество собственных векторов этого собственного числа состоит из единственного вектора.
Представленный нами способ вычисления собственных векторов и собственных чисел линейного оператора [матрицы), а также упомянутые команды позволяют производить вычисления и с матрицами, элементами которых представлены алгебраическими выражениями: > е:= егдетгка1пев (А) 2 — а + †.[ а' е 72, 1, [ 2 2 1 1 г —;= — а — — [а'е72, 1, [ 2 2 Для вычисления собственных чисел и векторов числовых матриц можно воспользоваться отложенной командой вгдепеа1е(), расположенной в ядре Мар)е.
С ее помощью можно найти приближенные значения с заданной точностью указанных величин, причем собственные векторы представляют- Глава 7. Аналитическая геометрия и линейная алгебра > А:= пипггх( [[1, 2, О], [-3, 8, 01, [-2, 1, 2] ] ) > А:= наг о1х(2,2, [а, — 3,— 6,01) ) "-['. '1 ! ! гу — — 1 1 е:= — а+-да-'+ 72, — а — — [ае+ 72 2 2 '2 2 > т ;= [егдепееосоге(А)): ! 1 г —, — — а — — 1)а-'+72,1 12 12 1 1 г2— — — а+ — д а'+ 72, 1~ 12 12 ~) )~ Часть Н. Математика ся в виде матрицы, храняшейся в переменной, задаваемой вторым парамет- ром этой команды: > А:= зеШх)111, 2, 0), 1-3, 8, 0), (-2, 1, 2] ) ); 3 8 О~ е юа11181деггге1з )А, 'еесз') ) ) е та1)чесз) ) 1-2.666042404 + 3.692758675 1, -2.666042402 -3.692758674 й 1558582114 ) с 0 О.
1. 0 -.8660254037 1.500000000 ! -.8660254037 .4999999999 ГЛАВА 8 Дифференцирование функций Производная непрерывной функции является одной из важнейших ее характеристик. Она используется в задаче исследования поведения функции, построения ее графика, в задачах условной и безусловной оптимизации и многих других. Производная непрерывной функции одной переменной в заданной точке х определяется как предел отношения ее приращения к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю: Г(х+ 6) — )!х) !ип — — —— о 6 Для вычисления производных в Мар)е существует специальная команда цьгг)), которая позволяет вычислять как производные любых порядков функций одной переменной, так и частные производные функций многих переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
