Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Интегрирование функций > 1пЗ:=сьапсееаг(к+2=а,1пз)т ('1 1лЗ:= — а)и > 1пзг=еа1пе(1пЗ)т 1лЗ;= !п(и) > 1пЗ:=ап)>а (п=хе2, 1пЗ) 1лЗ:= )п(х + 2 ) Теперь остается только "записать" исходный интеграл как сумму трех вы- численных интегралов (произвольную постоянную мы опускаем): > 1ппец:=1п1+1п2+1пз; 10 1лтед:= 2 !п(х)+ „~- )п(х -~ 2) х-~2 Проверим полученный результат дифференцированием > атгр1(гту(г(111 (1псео,х) ); Зх 48 х (х ч- 2)' И ИНтЕГрИрОВаНИЕ С ПОМОШЬЮ КОМакдЫ тес () > 1пс ( (З*х"2+8) / (х" 3+4*х"2+4*х), х) т !О 2 !п(х)+ + !п(хе 2) х+2 Проверка показала, что полученный нами результат правильный. Как видно из приведенных решений двух задач, Мар!е можно использовать не только для быстрого получения результата с помощью подходящих команд, но и для обучения студентов существующим методам интегрирования, причем наличие команд инте~рирования по частям и замены переменных всего лишь позволяет ускорить получение результата, ни в коей мере не выступая в роли "умного" устройства, решающего вместо обучающегося задачи.
Использование перечисленных команд требует знания основных формул интегрирования, освобождая студента от рутинной работы и позволяя ему мыслить математическими категориями. В заключение этого раздела мы покажем, как с помощью языка Мар!е можно написать собственную процедуру интегрирования по частям выражения 1(х)я(х), в котором первая функция ((х) представляет собой полипом относительно переменной х, а й(х) — функция некоторого специального вида. Например, когда мы вычисляем интеграл от выражения (х'-х+1) е', то результат также представляется в виде произведения некоторого полинома на ту же самую экспоненциальную функцию: Часть д Математика > со11есс (1пс ( (х"2-х+1) *ехр(х),х),ехр(х) ); (х — 3х44) е" Как мы вычисляем вручную подобные интегралы? Прежде всего разбиваем его на сумму интегралов, общий вид каждого слагаемого в которой можно представить в форме: ~х" е" с(х После этого каждый из интегралов интегрируем по частям до тех пор, пока не получим интеграл, вычисляемый непосредственно.
Действительно, проинтегрируем представленный выше общий интеграл по частям: ( (-1) х" е'ох=хье" — и (х е" дх Мы видим, что в результате получается новый интеграл, в котором степень переменной х уменьшена на единицу по сравнению с исходным. Повторяя далее зти вычисления по частям для вновь получаемых интегралов, мы дойдем до интеграла от экспоненты, который равен самой экспоненте. Таким образом, вычисление нашего исходного интеграла завершится. При большей степени и нам придется выполнить больше интегрирования по частям, при меньшей меньше, но всегда мы будем завершать вычисления, доходя до интеграла от экспоненты.
Эти размышления можно использовать для создания рекурсивной процедуры вычисления рассматриваемого интеграла, которая при и=О завершает рекурсию, возвращая экспоненциальную функцию: > 1пГХпЕхр:=ргос(п:;поппеЧ1пс, х::паве) 1Г п=о Г)>еп геспгп ехр(х) е1ее х п*ехр(х)-п*1пГХпЕхр(п-1,х)) епс( 1Г: епс ргос: Чтобы вычислить, например, интеграл ~х4е"~тх, можно вызвать разработан- ную процедуру со следующими параметрами: > 1пГХпЕхр(4,х) х" е" — 4 х' е" + 12 е' х' — 24 е' х+ 24 е" Теперь на основе разработанной процедуры интегрирования одного члена полинома, умноженного на экспоненциальную функцию, можно написать процедуру интегрирования произведения полинома любой степени на экспоненциальную функцию: 421 Глава О. Интегрирование функций > 1ппро1упоикхр: =ртос (р:: ро1упов, х:: пап|е) 1оса1 1, теап1Г) теап11:=асс((соегГ(р,х,1)*1пехпЕхр(1,х), 1=0..с)евсее(р,х))) со11есс(теаи1с, ехр(х))) епс( ртос: В этой процедуре с помощью команды асс() вычисляется сумма коэффициентов полинома, умноженных, соответственно, на интеграл ~х'е'ат, т.
е. строится первообразная полинома, умноженного на экспоненту. Интеграл вычисляется с помощью рекурсивной процедуры 1псхпехр(), разработанной нами ранее. Возвращаемое значение представляет собой полипом, умноженный на экспоненту, которое получается в результате выполнения коман- дЫ со11есе(). ТЕПЕРЬ МЫ МОЖЕМ бЫСтрО ВЫЧИСЛятЬ ИитстраЛЫ дЛя фуНКцнй рассмотренного класса с помощью разработанной нами процедуры: > 1ппго1упоикхр((х"3-2)*(ха1),х); (18 — 20х — Зх'е9х-ех') е' 9.2. Приложения определенного интеграла Напомним, что определенным интегралом функции у=((х) по промежутку [а,Ь] называется конечный предел интегральных сумм , '«Р, ) ах при и — н, 1 где предел берется по всем разбиениям промежутка ]п,Ц на и отрезков длиной пх,, причем максимальный отрезок разбиения стремится к нулю, а точка 9, принадлежит )-му отрезку разбиения и обозначается «х ) ~(т = (пп ~~', «Ч ) Л х Геометрически определенный интеграл представляет площадь криволинейной трапеции под графиком положительной функции.
Если на некотором отрезке функция отрицательна, то определенный интеграл по этому промежутку отрицателен. В пакете аспс)епс есть команда 1егс)>ох(), которая строит график функции и отображает интегральную сумму в виде последовательности прямоугольников для заданного разбиения промежутка интегрирования, причем точки, в которых вычисляются значения функции для интегральной суммы, соответствуют левым концам отрезков разбиения (ее называют левой суммой в противоположность правой сумме, в которой значения функции берутся на правых концах отрезков разбиения интервала интегрирования): Часть (!.
Математика 422 > Г: =х->- (х-2) * (х-3 ) * (х-4) +х"2* (х-3) ) у:=х -ь — (х — 2) (х — 3) (х — 4) +х (х — 3) > Я10Ь (зтп0(епе): > 1еттпох(Г(х),х=0..4,10)0 20 КОМаНда 1ебтзоз () ВЫЧИСЛяЕт ЛЕВУЮ СуММу дпя ЗадаННОГО раЗбИЕНИя, КОТО- рая аппроксимирует определенный интеграл от заданной функции на заданном промежутке: > 1еттзоп(Г(х),х=0..4,10) — ~Г Я- — 2~ (- — г) (- — г) — [ ( — ( — 1 Я > ета15(Ъ); 1 8.24000000 Увеличивая число отрезков разбиения заданного промежутка, мы все точнее и точнее будем вычислять плошадь криволинейной трапеции, а тем самым и определенный интеграл: > Ьохез:=[зеЧ(1"2,1=2..20)); ьохез:= (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 ) > зеЧ(ета1Е(1еттзюп(Г(х),х=0..4,п)), п=Ъохез); 24., 18.56790123, 17.25000000, 16.74240000, 16.49382715, 16.35318617, 16.26562500, 16.20728548, 16.16640000, 16.13660269, 16.11419753, 16.09691537, 16.08329863, 16.07237531, 16.06347656, 16.05612959, 16.04999238, 16.04481242, 16.04040000 > 1пт(Г(х),х=0..4); !6 Мы видим, что последовательность левых сумм постепенно приближается к точному значению интеграла, которое равно 16.
Можно создать анимационную картинку изменения отображения левых сумм, добавив в качестве заголовка ее значение при соответствуюшем числе разбиений промежутка интегрирования; > 8: зеЧ(1еГСЬох(Г(х),х=0..4,п, 0101е сопчехс(еза16(1егсзсв(г(х), х 0..4,п) ), зсхтпч) ), и Ьохез): 423 Глава 9. Интегрирование функций > н1СЬ(Р1отз)1 > с)15р1ау(Я,1пзецпепсе=топе) 16.20728648 1 6 08328863 20 20 15 15 10 1О 1О Замечание На рисунке представлены три кадра анимационного изображения: первый, восьмой и тринадцатый. В пакете атпаеггс имеются команды е1с)с)1еьох() н тгдьсьох(), аналогичные 1егоьох(), но строяшие прямоугольники с высотой, равной значениям функций, соответственно, в средних и правых крайних точках отрезков деЛЕНИя ПрОМЕжутКа ИитЕГрнрОВаиня, а таКжЕ аНаЛОГИЧНЫЕ КОМаидс 1етгзпго() команды ж1сы1езпог() и г оьс о().
Возможности Мар]е позволяют отобразить графики изменения левой, средней и правой сумм в зависимости от числа отрезков разбиения интервала интегрирования: > я1:=[зес)([гг,еоа1Г(1еГтзого(Г(х),х=0..4,п) ) ), и Ьохев) ]: > БМ:=-(зес)([п,еоа1Г(оггс)с)1еоого(Г(х),х=0..4,п) ) ], п=Ьохеа) ]; > Яаг=[зец([п,е1га10(тздпозпга(Г(х),х=0..4,п))), п=Ьохез)): > р101([Я1„ ЯМ,ЯР),отея=[0..200,14..20], со1от=ь1асх,сь1схпе55=2,11пеасу1е=[1,4,7))! гО 18 17 г 15 0 20 40 60 80 100120!40160180201 На рисунке график левой суммы представлен сплошной линией, средней— штрихпунктирной линией и правой — точечной линией.
По горизонтальной оси координат откладывается число отрезков разбиения. Видно, что при небольшом числе отрезков разбиения для нашей функции правая сумма совершает одно колебание„но с увеличением числа отрезков характер изменения всех трех сумм стабилизируется: значения средней суммы лежат между значениями правой и верхней, причем значения правой суммы меньше значений левой. Часть !!. Математика 424 При строгом определении интеграла в рассмотрение вводят нижние и верхние суммы Дарбу, в которых значение функции на отрезках разбиения представляет, соответственно, минимальное и максимальное значение функции на отрезке. Создадим две процедуры, вычисляющие суммы Дарбу подынтегральной функции: > 1оеоагЬогп=ргос(тз."апуСЬ1пд,хгзпаязе,я::'..',гз:г1пгедет) 1оса1 1,с)х,хО) с[хз=(ор(2,я)-ор(1,я))/пз япяз(с(х*за1п1зп1яе (г, х=ор(1, я) сох* (з.-1) ..с(х*з), 1=1..п!; епс( ргоаг > ЬздьоагЬои:=ргос(тззапуСЬ1пд,хззпяязе,яг:'..',и::з ведет) 1оса1 ].,с)х,хО; с(х:=(ор(2,я)-ор(1,я))/пз япзя(с(х*гсах1ппхе (г, х=ор (1, я) ес]х* (з-1) ..
с)х*1), з.=1., гз) з епс( ртосг Параметрами этих процедур являются подынтегральная функция 1, имя ее независимой переменной х, диапазон интегрирования я и число промежутков разбиения интервала интегрирования . Для нахожления минимального и максимального значений функции на заданном промежутке использованы КОМаНдЫ аг1п1за1ге () И язахзаз1яе () . В курсе математического анализа доказывается, что значение нижней суммы Дарбу всегда меньше значения верхней суммы Дарбу при любом числе промежутков разбиения интервала интегрирования. Это означает, что график верхней суммы Дарбу как функции от числа промежутков разбиения расположен всегда выше графика нижней суммы Дарбу. При стремлении количества промежутков разбиения к бесконечности эти суммы сходятся к одному и тому же числу, которое равняется значению определенного интеграла от заданной функции на заданном интервале. В Мар!е все эти предложения можно легко проверить графическим способом: > Ьгдьз [яес(([п,ЬздЬОатЬоп(Г (х),х, 0..4,п) ],п=2..30) ]: > 1оиг=[яес(( [и, 1озгРатьои(Г(х),х,0..
А,п) ], п=2 .. 30) ] з > р1ог ( [Ь1дЬ, 1ои, 1пт (Г (х), х=О .. 4) ), х=О .. 30, со1ог=Ь1аоХ,СЬ1скпеяя=2,1зпеяту1е=[1,4,7])з 40 20 Глава й. Интегрирование функций 425 На рисунке верхняя сумма Дарбу представлена сплошной, нижняя — штрих- пунктирной, а значение интеграла точечной линиями. Конечно, при таком небольшом разбиении, которое выбрано нами, суммы Дарбу еше значительно отличаются от значения интеграла, но если вычислить их при большом значении а, то мы увидим, что они действительно сходятся к нему, правда достаточно медленно: 1ЬЕ(Г(х),х=0..4)," 16 > ееа15 Гьздьоатьое(г(х),х, 0..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
