Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Д., а таКжс СПЕцИаЛЬНЫЕ КОМаНДЫ фОРМИрОВаНИЯ фОрмальных степенных рядов, представленные в табл. 10.2. Таблица 10.2. Команды формирования Рядов Описание Команда хпчегзе(р) Возвращает ряд, обратный ряду р относительно операции умножения, и эквивалентный ечя1рое(1тр; ееоет)че(р) Возвращает ряд, все коэффициенты которого противоположны коэффициентам ряда р, и эквивалентный ечя1рон(-р). Коэффициент р (О) <> С гечехя1оп (р (, я1) Вычисляет ряа, обратный ряду р по отношению к ряду я, т. е.
произведение полученного ряда на ряд р должно равняться ряду я. Если ряд я не задан, то по умолчанию используется ряд с единственным ненулевым коэффициентом я (1) =1. коэффициенты р (О) и я (с ~ должны равняться О, а коэффициент я(1) =-1 для корректного построения обратного ряда с1еос1епг(р,я) Вычисляет ряд, представляющий частное от деления ряда р на ряд я. Ее результат эквивалентен выполнению команды еча1рон(р/я) или вю1сьр1у(я, хпчегяе (р) ) яеьсхасс(р,я) Возвращает ряд, представляющий разность рядов р и я, вычисляемый как ряд, коэффициенты которого получаются вычитанием соответствующих коэффициентов рядов р и я. Ее результат эквивалентен выполнению команды еча1рое(р-з) ИЛИ рочаая (р, песаьтче (я! ) рочяс(г((р,..., я) Вычисляет ряд, представляющий сумму произвольного числа рядов, заданных в качестве параметров команды й1т 1 С 1 р1 у ( р, я ) Вычисляет ряд, представляющий произведение ряда р на ряд я.
Ее результат эквивалентен выполнению команды ечя1роч(р*я) рексист (р) Возвращает ряд, представляющий формальную производную ряда р, которая строится почленным дифференцированием исходного ряда роиьпг(р) Возвращает ряд, представляющий формальный интеграл от ряда р, который строится почленным интегрированием исходного ряда Описание Команда Возвращает ряд, представляющий число е в степени ряд р, и эквивалентный ехр (р) роиехр(р) Вычисляет ряд, равный натуральному логарифму от ряда р, и эквивалентный еча1рои (1оо (р) ) рои1од(р) Вычисляет ряд, равный квадратному корню из ряда р, и эквивалентный еча1рои (яцгп (р) ) роияцтс(р) Команды, вычисляющие тригонометрические функции формального ряда р, и эквивалентные вычислению выражения командой ета1рои() с соответствующей тригонометрическойфункцией, например, ечя1рои(ятп(р) ) Команды, вычисляющие гиперболические тригонометрические функции формального ряда р, и эквивалентные вычислению выражения командой е:я1рои(; с соответствующей тригонометрической функцией, например, еча1рои(яьпь(р)) Пакет роияегьея для работы с формальными степенными рядами можно ис- пользовать для получения рядов Маклорена различных математических функций.
Для примера рассмотрим задачу построения указанного ряда для функции агсяп(х). Задача 10.1 Построить ряд Маклорена функции агсяп(х). Решение. Известна формула представления этой функции через интеграл с переменным верхним пределом создадим формальный ряд разложения функции гз и на его основе постро- им разложение в ряд Маклорена подынтегральной функции: > и1С)1(роизех1ея): > роисхеаье(С(п) О,С(2)=1) > Срзбопз(п,х)т 2 роияг и (р) роисоя (р) роияяс(р) роисяс(р) роигап(р) роисог(р) роия 1 п)т (р) роисоя)т(р) роияесп(р) роисяс)>(р) роияап)1 (р) роисогп (р) 1 агсгйп(х) =, т((. () -Е о Часть й (Иатематика Таблица 10.2 (окончание) Глава 1О. Ряды и дифференциальные уравнения 449 > Г1пг:=еоа1рсн(1/зцгГ (1-Г)): > Грзтопо(Г1пГ,Г)) 1+ — ! +-1 +О(! ) ! ~ 3 4 2 8 Теперь для получения разложения функции агсгйп(х) остается только вычис- ЛИТЬ Иитстрап От ряда Гтпх: > тпГГ:=роихпГ(Гтпх): > Грх сгх.( пГГ,х,14)о 1 , 3 , 5 , 35 о 63 и 231 и н х+ — х.
4 — х + — х + — „х. +„— г +--.—.--х ь0(х ') 6 40 !12 1152 2816 13312 Этот результат полностью согласуется с разложением функции агсз)п(х) в ряд МаКЛОрсиа КОМаНдОй оузсг(): > Гау1ог(агсзьп(х),х,)О); 6' 40 1!2 1152 2816 133!2 ' Замечание Использование команд зег1ез (), гау1сг (), а также команд пакета психо>коз не позволяет получить выражение для общего члена ряда в разложении функций. 10.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений Если невозможно получить решение дифференциального уравнения в замкнутой форме, то в таких случаях прибегают к приближенным методам интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из наиболее часто используемых методов является представление решения задачи Коши в окрестности точки х=хс, в которой заданы начальные условия для частного решения дифференциального уравнения.
Покажем применение одного из вариантов использования рядов для построения решения дифференциального уравнения на примере нелинейного уравнения второго порядка у"= г(х,узах), удовлетворяющего начальным условиям у(хо) =уо у(хо) =уо Предположим, что решение поставленной задачи Коши существует.
Будем искать его в форме ряда Тейлора функции решения у(х): нз .ооо Часть д Математика 450 1 у(х) = у(х )+(г — х ) у(г )+ — у(го)(г — г ) +.. Для построения решения нам необходимо найти производные у(")(хв), л=0,1,2,3, но это можно сделать с помошью самого уравнения и заданных начальных условий. Действительно, из начальных условий сразу же определяются значения функции и ее первой производной в заданной точке х=х0.
Вторая производная решения в этой же точке находится из самого уравнения: у (ло) = "(го уо уо) Дифференцируя обе части исходного уравнения по переменной х, получим выражение для третьей производной решения: у"'(г) = ~ — Г(ху у)!+ ~ — р(гу у)ул е р Р(ху у)) у" (дх ' ' ! (ду ',1 (д)~' Подставляя в правую часть х=хс и учитывая уже известные значения соответствующих производных в этой точке, определяем значение третьей производной при х=хс.
Дифференцируя выражение для третьей производной, получим представление четвертой производной решения через соответствуюшие частные производные известной функции правой части исходного дифференциального уравнения и предыдушие производные неизвестного ее решения. Подставляя в полученное выражение х=хс и учитывая найденные значения в этой точке предыдуших производных решения, находим значение четвертой производной решения в этой точке и т. д.
Найденные значения производных подставляем в представление решения в форме ряда Тейлора. Для тех значений х, для которых этот ряд сходится, он представляет искомое решение задачи Коши. Для удобства использования мы разработали процедуру решения задачи Коши рассмотренного обшего нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, в которой реадизовали описанный выше алгоритм построения ряда Тейлора решения. Ее текст представлен в примере 10.5. *- -';:.(зеоачзгь!зв" > 1пс01ГГ:=ргсс (г::апулии Нх::пате, у::паоле, у1::паоле, хО:: иллег(с, уО:: пшпег(с, у01:: полоеггс, и: . "пллеггс) 1сса1 р, Пег, 1, О, з; тоО Н 1: =у01 о тоО~ Ьп=зиЬз (х=хО, у=уО,у1=у01, Г) О сег: =зпЬз (у1=.оот, О о Глава 10. Ряды и дифференциальные уравнения р: =ус~шО) ) 1* (х — хс)+шс! ) 2* (х-хс) "2/2; бог 1 Ггош 3 Го и бо () Формирование дополнительных членов при дифференцировании производной з:=О) Гог 1 Ггот 1 Го г-2 бо 3:=3+б1 Г (бег,ш!!1) ш( ( (1+1) ' епб бо; 4 Формирование г-й производной решения оег:=бгГГ (бег,х) +бгггт (бег, у) ш(( 1тз; В Вычисление значения '-й производной решения в точке х=хО шс()';=еча1(бег,(х=хс,у=ус,зео(ш))к=шс))'х,к=1..г-'))); () добавление очередного члена ряда р:=рь(шО(!1)*(х-хо)-121() епб бо) епб ргос: ПЕрсдаВаЕМЫМИ ПараМЕтраМИ В ПрОцЕдуру 1пЬО1ГГ () яапяЮтея ВЫражЕНИЕ для правой части дифференциального уравнения (г) и используемые в нем неизвестные для представления независимой переменной (х), неизвестной функции решения (у) и ее производной (у1).
Кроме этих величин, задающих днффсрсицнаЛЬНОЕ ураВНЕНИЕ, фОрМаЛЬНЫМИ ПараМЕтраМИ хс, уо И уо1 ОП- ределяется задача Коши: точка х=хо, в которой решение и его производная принимают соответственно значения уо и усз. Последний параметр и задает порядок усечения ряда, т. е. последний вычисляемый член ряда будет иметь ВИД П„(Х-ХО)л. Операторы, расположенные ло начала цикла гог по переменной -', формируют первые три члена ряда, коэффициенты которых вычисляются непосредственно из начальных условий, а также простой подстановкой начальных условий в правую часть дифференциального уравнения.
Отметим, что в процедуре для всех появляющихся при последовательном дифференцировании правой части неизвестных производных решения используются неизвестные величины зн, где н — порядок производной, а для их вычисляемых значений в точке х хс — переменные шсн. В цикле гог вычисляются оставшиеся неизвестные производные решения и их значения в точке начального условия, а также по полученным величинам формируется очередной член ряда и добавляется к переменной р, которая используется лля формирования требуемого решения в виде степенного ряда. Теперь продемонстрируем использование разработанной процедуры для построения решения нескольких задач Коши. Задача 10.2 Найти решение уравнения у" = -ух Часть д )математика удовлетворяюшее начальным условиям у(о) = [, у(о) = о Решение 1.
Вызовем разработанную нами процедуру '0ХШГГ(): > 1оХВЬГГ(-у*х 2,х,у,у1,0,1,0,20); [2 672 88704 2)288960 8089804800 Обратим внимание на то, что наша процедура работает, даже если правая часть не зависит от первой производной. Итак, решение построено, но правильное ли оно. Давайте попробуем решить нашу задачу Коши командой аяо1ое(): > ояо)ме ((С1ГГ (у ',х), хв2).=-х 2*у (х), у(0) =1, 0 (у) (0).=0), у (х) ) т! ! у(х) = — Г~ — ~ )х Воме!) ~-, — х- ~ — — Г~ — ) -~х Всвое[У ~ —, — х-) [ 4'2 > я1:=.
Ья (В); Г3') ГЗ) — Г~ — ~ х, Во ен —, -хг)! — —. Г~ — ~ х)х Ввозе[у ~ —, — х ~ 2 [4у [42 ) 2 [4~ (4'2 Точное решение выражается через специальные функции: гамма-функцию (Г(х)) И фуНКцИИ БЕССЕЛЯ (Вяяяя10() И Вяяяазу()). ДЛя СраВНЕНИя дВуХ рсшений построим их графики: > р1ос([я),я),х=0..5,-1..1,со)ох=-Ыасх,тнгсхаеяя=2,1>оеясу1е=-[1,О])) 1 о.в оа ох ог о -ог .оь -ов -ов -1 На графике точное решение предо~валено сплошной линией, а построенное нами приближенное решение — в виде ряда пунктирной линией. Как видим, в интервале [о, 2.
в1 оба решения полностью совпадают, но далее, с увеличением независимой переменной, приближенное решение совершенно не соответствует точному. Это связано с количеством членов ряда в приближенном решении. Если увеличить их число с 20 до 100, то полученный ряд будет прекрасно аппроксимировать точное решение уже на интервале [О, 6.1)„ но далее опять будет резко убывать, отходя от точного решения: > я:=зпе01ГГ(-у*х 2,х, у, у1, О, 1, О, 100): > р1ох ( [я1, я), х=О .. 7, -1 .. 1, со1ох=)>1асх, сьгсхоеяя=2, 11сеясу1е= [1, 4) ) ) Глава 10.
Ряды и дифференциальные уравнения о о.з о.в оа О.г оо -о гг -ох оа -о.о ч Решение 2. Построить решение нелинейного дифференциального уравнения в форме ряда в Мар)е можно и другим способом, который при ручных вычислениях рекомендуется только лля линейных уравнений. В этом способе решение у(х) представляется в форме ряда по степеням (х-хо) с неопределенными коэффициентами г 3 у(х) =а„-ьп, (х — хо) еп,(. —:„) е а, (.
—..„) Фп, (х —.,) + которое подставляется в левую и правую части уравнения. причем все функции правой части также раскладываются в степенные рялы. Далее выполняются необходимые арифметические действия над рядами правой части, которая представляется в виде одного степенного ряла. После этого выписывается система линейных уравнений лля вычисления неизвестных коэффициентов ряда решения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (х — ко) левой и правой частей уравнения. Как и в первом способе решения, мы разработали процедуру ' гго. (11(] решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка с такими же формальными параметрами, как и в процедуре гпьо гг(,. Полный текст этой процедуры представлен в примере )0.6. :"т))з))в)ар',-,.:)]ч3~';~чйй)вй)((а]~1(з))(()й)й~','Ритйоа(внии()Г„:Раша)(ий'й:РЯД > гпо01гг1:=ргос (г::апуи]цпд, х::паше, у::паше, у1::паше, хО::пишеггс,уО::пишегтс,у01::пишес1с, и:: пишег] с] 1оса1 р,рЬ,1,з,а,гези1Е; р."=уО~у01*(х-хО]; $ Формируем решение с неопределенньвоч козшфнпнентаьм а(1] гези1С:=разию(а(1]*(х-хО] 1,].=2..Ш; (( Рабочий ряд (количество членов на 2 больше результирующего) р:=р-ьзигв(а (1] * (х-хО] 1, 1=2 ..пь2 ]; $ Разложение правой части уравнения в ряд рЬ: зеггез (зиЬз (у=р, у1=б1ГГ (р,х], Г], х=хО,п.ь1] г $ Формирование системы линейных уравнений Гоп 1 Ггош 0 Ео и бо Часть д Математика 454 ея) (1: =соетт (сцтт (р, хэ2) -сопчете (р)., ро1упоан', х, ' ) =0; епо' оо) () Реоение полученной системы а:=ао1че ((аес((ео( (1,1=0 ..и) ), (аео(а (1), 1=2 ..па2) ) ); ааа19п(а); еча1(теап1С); епс( ртос: В ПрОцЕдурЕ 1пс01ГГ1() дЛя ТОГО, ЧтОбЫ ПраВИЛЬНО СфОРМИРОВатЬ СИСтсну уравнений в соответствии с заданным усечением ряда и, введено рабочее решение р, в котором число членов на 2 больше требуемого, так как его приходится двжкды дифференцировать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
