Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Однако Мар!е не всегда может решить дифференциальное уравнение в замкнутом аналитическом виде. В этом случае можно прибегнуть к построению численного или приближенного аналитического решения. Классический метод построения приближенного решения дифференциального уравнения — построение его в форме степенного ряда Тейлора или Маклорена.
Но прежде чем демонстрировать, подобную технику, ко-. Часть д Математика 442 ротко остановимся иа возможностях Мар!е, связанных с выполнением опе- раций над бесконечными рядами. 10.2. Функциональные ряды Мар!е предоставляет несколько команд для разложения функций и выражений в ряды. Одной из них является команда зсхзез !) со следующим синтаксисом: зет(ез(выражение, х=а (, п)); Эта команда строит "обобщенный" степенной ряд для выражения или функции, заданных первым параметром, в окрестности точки з независимой переменной х. Если второй параметр вычисляется равным не уравнению, а просто имени переменной, то по умолчанию ищется разложение выражения в окрестности точки з изменения независимой переменной.
Третий необязательный параметр должен быть целым положительным числом, определяющий порядок удерживаемых в разложении функции членов. Замечание Если параметр и не задан, то используется значение системной переменной отс)ех, которое по умолчанию равно б. Задание порядка разложения в команде зе сьез () не влияет на установленное значение переменной отцет. Результатом выполнения команды ззт'зз() может быть построение ряда Тейлора или Лорана, асимптотического ряда (если з равно бесконечности) или некоторого более общего ряда.
Основным критерием для построения "обобщенного ряда" является выполнение следующих ограничений лля коэффициентов ряда И (х — а )"' < ! сое)у ~ )соеф,)< А2 (х — а )'*' при любом ерз > О, когда независимая переменная х стремится к а. В неравенствах И и тс2 являются некоторыми константами. Выполнение указанных ограничений означает, что коэффициенты ряда могут быть функциями независимой переменной при условии, что зти функции растут не быстрее полинома в окрестности точки разложения. Разложение в ряд функций с помощью команды зехьез() демонстрируется в примере 1О.!. > зетаез ()л(х), х=1) т х — 1 — — (х — 1) +-(х — 1) — — (х — 1) + — (х — 1) + 0((х — 1) ) 1 з 1 э 1 4 1 2 3 4 5 44Э Глава 10. Ряды идиффаранциальныа уравнения > Яех1ее ( (х"2+х+1) / (х+1) "2, х=1п11п11У4 8) 1 2 3 4 5 /143 1 — + —, — — 3+ — 4- — 3+ 0 — б х хе х' х4 х' ~х ! > яетхея (ехр (х" 2), х, 10) 2 ! 4- х + -„- х + — х ' + — т е О(х ) 4 1 3 и б' 24 > я:=яет1ея(х х,х) 2 1+!п(х) т+ — !п(х)яхя+ — )п(х)'х'4- — )п(х)яхт+ — 1п(х)'х'4-О(хе) 2 б 24 120 > нняттуре(я) ЯЕЗЧЕХ Обычно результат разложения функции в обобщенный степенной ряд представляется в Мар!е в форме специальной структуры данных яет'ея, что вилно из последнего разложения примера 10.1.
Нулевой операнд этой структуры данных представляет аргумент разложения ( -я), где я является точкой, в окрестности которой построено разложение в обобщенный степенной ряд. Нечетный операнд ор па*1-3,яе хея) содержит /-й КОЭффИЦИЕНт РЯДа, а В ЧЕТНОМ ор(2 "1, яетаея) ХраНИтСЯ СООтВЕтетВуЮщвй целый показатель степени. Последняя пара операндов типа данных яе содержит символ о(1) и целое число, определяющее порядок усечения ряда и соответствующее значению системной переменной этаех или третьему параметру команды яегхея ().
следует отметить, что нулевые коэффициенты ряда не хранятся в наборе операндов типа яетхея. Пример 10.2 демонстрирует вычисление операндов ряда я. ;~~фВ~фФ4~„"'.""' ""МХ ',," ,м$фФ "; ~4Ф;";::!-.';„;,'; '.,'.;)".;;,':„;,', > я:=яех1ея(яхп(х) 'х,х,4) ) я:=1+ (п(х)х+-!п(х) х2+~- — + — )п(х) /(х +О(х ) 1 2 2 3 3 4 2 6 6 > ор(О,я) х > тот 1 Геоп3 1 то поря ( (ор(я) 1) /2 По ор (2 *2-1, я), ор (2*2., я ) 2 епт( По) 1,0 )п(х),! 1 2 — 1п(х)'-, 2 ! ! — — + — !п(.т)',3 б 6 0(1), 4 Часть д.
Математика Кроме многофункциональной команды разложения в обобщенные степенные ряды зетгез() Мар[е предлагает команды разложения функций в конкретные степенные ряды (табл. 10.1). Таблица 10.1. Команды разложения в ряды Описание Команда Гау1от(выражение, х=а [,и)) Разложение в ряд Тейлора функции одной переменной в окрестности точки х=а по степеням одночлена (х-а). Если второй параметр задан в виде одного имени, то разложение в окрестности точки х=О. Необязательный параметр .-. определяет максимальный порядок вычисления членов ряда рсгяяос (выражение, ч (, г .', и] ) ) Разложение в ряд Тейлора функции нескольких переменных. Параметр ч задает в виде списка или множества независимые переменные функции и значения координат точки, в окрестности которой осуществляется разложение, в форме уравнений (см. ьзу1от()).
Необязательный параметр с определяет максимальный общий порядок (сумма степеней всех переменных) вычисления членов ряда. Необязательный параметр и задает в форме списка или множества весовые коэффициенты переменных. Например, если вес переменной х будет равен 2, то в ряде будут присутствовать ее степени не выше есс1ет(т1у2) (епьзег (х) — целая часть числа х) жгзу1с (выражение, ч [,и ',,и))! Разложение в ряд Тейлора функции нескольких переменных. Аналогична команде п~сзу1от () за исключением того, что если в коэффициентах встречаются произведения функций ятс() и соз (), то они представляя)тся в виде суммы тригонометрических функций по кратным аргументам сьеЬуяпеч(выражение,х=з..Ь [,ерз)) Разложение функции одной переменной в ряд по полиномам Чебышева на интервале [а, Ь).
Необязательный параметр ерз задает точность вычислений, по уМОЛЧаНИЮ раВЕН 10"(-Отдззя). РаСПО- ложена в пакете птзяаррхох Глава 10. Ряды и дифференциальные уравнения Таблица 10.1 (окончание) Описание Команда Разложение функции одной переменной В ряд ПО СтЕПЕНяМ 1/х, КОГда х СтрЕМИтся к бесконечности. Получается подстановкой а ряд Маклорена вместо х значения 1/х. Полученный ряд имеет тип суммы'+', а не зехзез азуврв (выражение, х=а [, и] ) Команда спеьуз)тес () разложения в ряд по полиномам Чебышева расположе- на в пакете появррхох, остальные команды разложения в ряды находятся в ос- новной библиотеке Мар!е.
Использование команд разложения в ряды демонстрируется в примере 10.3. ',)8)йй]зй)вЯФ4уйв'"~))]МАЙ',;!"' '' > с:=х/(1-х)г х 1 — х > ву1ог(с,х/5)г х+х +х +х4+ О(х ) > азарт(д, х,5); 1 1 1 1 Г!1 1 — —, —,— —,+О' —,' х х" х' х4 ]1 х') > 'поввррхох/спеЬузпет'(д, х=-1/2..1/2, 0.3); .1547005384 Т(0, 2 х) + .6188021533 Т( 1, 2 х) + .1658075373 Т(2, 2 х) > Г := з1п(3*н+х)*сов(2*и-у)) /':= яп(З и+ х) соз(-2 и + у) > розззоп ( Г, [х, у], 3, [2, 2] ); 1.1, /1 /1 1 2 — яп(5 н)+ — яп(и )+ ~ — соз(и) + — соз(5 н)) х+ ~ — соз(и) — — соз(5 н)) у 2 12 2 ) (,2 2 > ясау1ох(Г, [х,у],3) ) яп(3 н) соз(2 ж)+ яп(З н) яп(2 н)у+ сов(3 и ) х сов(2 н) — — яп(3 и) соз(2 н)у- 1 3 2 1 — — яп( 3 и ) х соз(2 н ) + соз( 3 и ) х з!п(2 и ) у 2 Для работы с формальными степенными рядами в Мар!е предназначен пакет ро зез.
Ряды, с которыми манипулируют команды этого пакета, представляются в форме процедур, создаваемых командой ронсгеате(последовательность уравнений) Часть Н. Математика Последовательность уравнений, передаваемых этой команде, залает коэффициенты создаваемого степенного ряда. Первое уравнение вида в ряда(п) = =выражение определяет общий член ряда, а также имя, по которому к нему можно ссылаться. Правая часть этого уравнения представляет выражение, зависящее от переменной о, или рекуррентное выражение, зависящее от одного или нескольких значений предыдущих коэффициентов. В этом случае последующие уравнения определяют начальные значения для заданного рекуррентного соотношения (пример 10.4).
> ыаГЬ(роывеггев)с > россогеахе(в(п)=(-1)"дс'(Зев+1)); > еуа1(в)с ргое (росграгт) ., евс! ргое > Грзгопп (в, у, 10) с с ! з ! ° ! с ! с ! с ! х ! р зо ! — — у+ —.у — -у е — у --у + — у' — — у +-у — — » еО(с ) 2 3 4 5 6 7 8 9 !О > роыогеасе (р (и) =р (о-1) +р (д-2), р (О) =1, р (1) =1) ) > грвтогп(р, х); 1 + х + 2 хс + 3 х' + 5 хс + 8 хс + 0(хс) В примере 10.4 для представления формального степенного ряда в форме структуры данных вег ' использована команда греге () пакета роевеггев, первым обязательным параметром которой является формальный степенной ряд, вторым неизвестная переменная, относительно которой строится ряд, а третий необязательный параметр задает порядок усечения создаваемого ряда.
Если он не задан, то для определения порядка усечения ряда используется значение системной переменной огс(ег. Все значения процедуры, представляющей формальный степенной ряд, хранятся в ее таблице значений, а выражение выв реда( к) возвращает общий член ряда: > ор (4, ор(р) ) ) (вые ( (О = 1, 1 = 1, /с = р ( )с — 1 ) + р( Iс — 2 )В > р( )с)) р( сс — 1)+ р( lс — 2) Команда еуагроы() вычисляет выражения, составленные из формальных степенных рядов: > рз:=Ееа) рОЫ(роз-1/ВЕВЧГГ(р)) > грвтопа(рв,х)) Глава 10. Ряды и дифференциальные уравнения 44Т 1 67 , 149 , 32999 , 3184! 1 + 2 х ' 24 х'е 48 т' е 5760 х + 3840 х' + 0(х') В ВЫражЕНИИ, ВЫЧИСЛЯЕМОМ КОМаНдОй ечя1рое(), МОЖНО ИСПОЛЬЗОВатЬ арИф- МЕтИЧЕСКИЕ ОПЕрацИИ е, —, *, у И ", МатЕМатИЧЕСКИЕ фуНКцИИ япхт(,, екр(), яьп(), я1пл() И т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
