Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 78
Текст из файла (страница 78)
4, 2 — О .. 12, со1ог=Ь1аск, Г)з1с)4пе55=2, вса11пд-.СОНЯтВА1НЕО) з 51 з =-р1от ( [ [О, 2], (вягс (8), 2) ), со1ог=Ыаск) з Г2 з =Гехтр1от ( [О, 2, "а" ), а1зяп=(1ЕРт) ); 23 з=-техгр1от ( [О, вчтг (12) е О. 2, "вс( г (3) *а" ], а1зяп=(1еГГ, АВОуе) ): 54 з4еехтр1от( [О, 5, "2" ], а11дп=? ЕГТ) з 55 з =сехтр1ог ( [5, О, "х" ], а11дп=ВЕРОН) з Гб з =р1ог ( [ [вягт (8), 0], [витт (8), 2] ], со1от=Ь1ас)с) з 57:=Гехтр1ос ( [вс(гт (8), -О.
2, "ватс (2) *а" ], а11дп=ВЕЬОтз) з еавр1ау( (веч (г ( ) з., з.=О .. 7) ) „хг' схвзагхв= [], уг' скпзагхв=);, ) з Точки пересечения сечений заданных в задаче тел вращения можно вычислить следующими командами: > впЬ5 (х"2=)пв (Р[2) ),5 [2]) з 2 ах+2'= 3 а' > во1ззе(%, 2) ." а, -3 а > 2[1] з4Ь(1] З 2:=а з > х(1]: =51зар11ту (впЬв (г=г [11, впгт (1Ьв (р [2) ) ) ), вухйзо12с): х,:=4[2 а Так как параболоид вращения задан только при 2 > О, то из двух значений 2 выбирается первое, которое больше нуля. Глава 9.
Интегрирование функций 435 Теперь ясно„что сечение тела врашения, являюшегося пересечением параболоида и сферы, представляется параболой 2аг=хз, пока 2 принадлежит промежутку [О, а[, н дугой окружности х2+22=3аз, когда 2 изменяется в интервале [а,,/3 а [. Поэтому обьем тела, полученного врашением составной кривой вокруг оси ~, представляется суммой двух интегралов: > (з=-Р1*таг(1(зв(р(в]), в=о..а) а Р1*тас(г)зв(1во1аее(в(в],х 2) ), в=а..вцте(3) *а) з уз К= л ~ 2 а; с( + л ~ 3 аз — тз Дз о > зт=в1лзр11Гу(Р1*1лв(1)зв (р(г] ), в=с..а) а Р1*1ат (т)зв (1во1ала (в (з], х" 2) ), в=а ..
ватт (3) "а) ) з У= — — ла +2л43 а 3 ГЛАВА 10 Ряды и дифференциальные уравнения Мар!е 6 предоставляет пользователю несколько инструментов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений: команду изот ем !сн. гл, 2) и пакет овеостз (си. гл. 3). Первая пытается найти общее решение дифференциального уравнения в замкнутой форме. Однако это не всегда возможно, поэтому в состав Мар!е включен специальный пакет океоотз построения численного решения задачи Коши и его графика. Часто случается так, что численное решение не совсем устраивает пользователя по тем или иным соображениям, и он хочет получить приближенное аналитическое решение поставленной задачи Коши. В этом случае можно воспользоваться классическим методом построения приближенного решения разложением его в подходящий ряд, например ряд Тейлора, в окрестности начальной точки.
В этой главе мы покажем, как можно эффективно использовать Мар!е 6 для построения приближенных аналитических решений дифференциальных уравнений, а также покажем возможности Мар!е при работе со специальными функциями: функциями Дирака и Хевисайда. 10.1. ДифФеренциальные уравнения с разрывными правыми частями Многие реальные явления можно с определенной степенью точности описать дифференциальными уравнениями, которые представляют его математическую модель. При их выводе прибегают к различным упрощениям, вводя так называемые гипотезы. Например, не существует в природе сосредоточенной силы, но при построении математических моделей, или схем расчета балок ее с успехом применяют для математического моделирования силы, действующей по очень маленькой площадке нагружения.
Для математического описания сосредоточенной силы используется обобщенная Ь-функция дирака, которая равна нулю всюду за исключением ну- Часть д Математика ля, где она имеет сингулярность (ее значение равно бесконечности), а определенный интеграл от нее по всей действительной оси равен 1: > ьп" (О1хас (х], х=-1п11п1оу .. 1пт1пгоу) г 1 Функция Дирака в механике рассматривается как единичная сосредоточенная сила. В Мар!е для задания 5-функции Дирака используется команда Шхас(х), ПрОИЗВОдНая ЭтОй фуНКцИИ ПрЕдСтаВЛяЕтСя фуНКцИЕй Оьхас них), где и является порядком вычисляемой производной.
Если попытаться вычислить производную б-функции обычной командой 1111(), то результат будет представлен указанной выше функцией: > о1ГГ,'С гас (х), хЗ4) Р (тас ( 4, х ) Если необходимо определить сингулярность, а тем самым и сосредоточенную силу, в точке, отличной от нуля, то следует использовать преобразование смешения.
например, сгхас(х-1у2( определяет функцию Дирака с сингулярностью в точке =туг. Для задания распределенных нагрузок используется другая обобшенная функция — функция Хевисайда неа ьахде(х), которая равна с при х<с и 1 при х>о, в точке =о эта функция не определена. Таким образом, функция Хевисайда имеет единичный скачок в точке =о: > р1оо(яеаи1а1в(е(х),х=-2..2, сототгеотасК,СЬ1скпеаа=.2,уо1сйпатка=(1),С1С1е=-"Неав1а1ое(х)( Нввивмв(х) г х Производная функции Хевисайда равняется б-функции Дирака: > о111 (Неав1ахде (х), х) Р(гас(х) Распределенную нагрузку с интенсивностью д, действуюшую на балку, начиная, например, с точки х=1/2, где ! — длина балки, можно задать с помошью функции Хевисайда в виде: 1 ') Д = л Неау)зЫе (х — — Й 2 у Глава Ю Ряды и дифференциальные уравнения Если распределенная нагрузка действует на интервале [а, Ь] по длине балки (значения а и Ь меньше длины )), то такая нагрузка представляется разностью функций Хевисайда: ("г = с) ( Неазс)в[с)е ( х — а ) — Неач[вЫе ( х — Ь ) ) Мар1е может решать дифференциальные уравнения.
в которых коэффициенты определены через две рассмотренные обобщенные функции. Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение: > бе1: =с(Ж (83*с)1ГГ (у (х), х$2), х$2) =Опас (х — 112) тиеачз ахбе (х-1); п(е[:= Ез ~ — —, у(х)( = ]3)гас ~х — — ~ + Неач[в]с)е (х — 1 ) ~ ах' /[ ~ 2/( Оно представляет уравнение изгиба балки постоянной жесткости ЕУ, нагруженной единичной сосрелоточенной силой в точке, отстоящей на 1/2 от левого конца балки, определенного в точке начала координат, и распределенной нагрузкой единичной интенсивности, начинаюп(ейся на расстоянии 1 от левого конца балки н действующей до правого конца балки.
Для решения уравнения изгиба балки следует задать граничные условия на ее концах: > боппбагу=(у(0)=0, (0682) (у) (0)=б,у(3)=0, (0881) (у) (3)=0( з ЬоссиИагу = (у(0) =0,(0 )(у)(0) =О,у(3) =О, [3(у)(З) =О) На левом конце балки функция прогиба у(х) и ее вторая производная равны нулю, на правом конце (х=3) функция прогиба и ее первая производная равны нулю. С точки зрения механики эти условия соответствуют свободному опиранию левого конца балки и жесткому защемлению ее правого конца. Ниже представлена расчетная схема балки, которая построена с помощью пакета деолзес -у'. > нхгп(деоспеггу)з > 4 Построение линии балки > рохле (р1, [О, 0] ) зро1пг (р2, [3, О] ): ведзаепг (в1, [р1,р2] ) з > 4 Построение опоры левого конца балки > роют (рО, [О. 1, -О.
1] ): роз пс (рЗ, [ — О. 1, -О, 1] ) с спаапд1е (с1, [рО, рЗ, р1] ,': > 4 Построение заделки правого конца балки > ротпс (р4, [3,-0.1] ):ро1пс (р5, [3, 0.1] ): зедзаепс (в2, [р4,р5] ) с > роюс (рб, [3,-0.1] ):ро1пг(р7, [3.1, 0] ): зедзаепс (вЗ, [рб,р7] ) з > розпс (р8, [3,0] ) зрозпс (р9, [3. 1, 0.1] ): зедзаепс (в4, [р8,р9) ): > ро1пг (р10, [3,0. 1] ) срохпг(р11, [3.
1, 0.2] ): ведзаепе (в5, [р10, р111) с > 4 Построение сосредоточенной нагрузки > рохпг (р12, [1у2, О] ) сроюг (р13, (1/2, 0.5) ) сс$ведзаепе (вб, [р12,р13] ) с > ро1пс(р18,[0.55,0.05]):ро1пе(р19,[0.5,0]):с$ведпсепе(в10,[р18,р19]): > ро1пг(р20,[0.45,0.05)):бведлсепс(з11,[р20,р19]): Часть!I. Математика > 6 Построение распределенной нагрУзки > розп«(р14,[1,03)зроап«(р15,[1,0.5!):с(ведшеп«(57,(р14,р153): > Ро)сз«(Р16,[3,0]] зРогп«(Р17,[3,0.5!] зс(вечпзеп«(58, [Р1б,Р17]): > с[аечшеп« (59, [р17,р151 ) з > М Построение штриховки распределенной нагрузки > с(:=2/10з тот 1 Гтст 1 «о 10 бо роза«(рр) ) (2*1-2), (1+с)*(з-1),03):ро1п«(рр) ! (2*).-1), [1зс(*(з.— 1), О.
53 ): с)вечшеп«(5) ( (11+з ), [рр) ) (2*1-2), рр( ) (2*).-1] 3 ): еск! с)оз > 4 вычерчивание схемы балки > с(так([вес)(5))1,з.=1..11),вес!(5))з,1=12..21)(«)згс)спе55=1),«1,Р1), «Гз1с)спеха 2,х«1с)опаг)св=[0.5="1/б",1="1/3",3="!"], У«1с)шзатКв=[],ахевбоп«=[тгНЕ8,1т)С«10,113„ со1ог=)з1ас)с,вупзЬо13 01КСЬЕ,ахе53 И08(се)з РЕШИМ ПОСтаВЛЕННуЮ ГРаНИЧНуЮ ЗалаЧУ КОМаНДОй бво1че (); > со11ес«(с)во1че ( (с)е1, У (0) =О, (0662) (У) (О) =О, У (3) =О, (0661) (У) (3) =О ), у(х) ),х); Зс 1 4 %1 1 НеачзЫе (х — 1) х4 6 У[к) — 24 ЕУ вЂ” — Неач(5(с(е (х — 1 ) 485 1 з ЕУ 2592 ЕУ 1 1,, 19 8 6 — %1 — — НеаЫ5Ые (х — ) ) 32 ЕУ ЕУ ЕУ о — — %1 + — НеачЬЫе (х — 1) 48 24 + ЕУ 11 %1:= НеамаЫе (х — — ) 2) > Гз г)за(4) с > р1о«([еча1(-Г,ЕЮ 2),еча1(-сШГ(т,х),ЕЗ=2) 1,х=0..3,-0.4..0.4, со1ог=)з1ас)с,11пеэ«у1е [1,41, Гззгс)спеав 2,х«1сипаг)са [0,1/2,1,3/2,2,2.5,3])з Выделим правую часть полученного решения и построим график функции прогиба и ее первой производной, подставив в качестве жесткости значение ЕУ'-2: Глава 10.
Ряды и дифференциальные уравнения 44( оа оз Оа Оз о -01 -Оа -аа -0.4 Сплошная линия графика соответствует функции прогиба балки, а пунктирная — углу поворота сечения, перпендикулярного нейтральной оси балки. Вторая и третья производные функции прогиба, умноженные на Е/, равны, соответственно, изгибающему моменту и перерезывающей силе в сечениях балки: > р1оС ( (еоа1 (Ее*4)155 (5, х32), ад=2), еоа1 (Ее*4)155 (Г, хзз), Е3=2) ), х=с .. 3, -1 .
5 .. 2, со1ог=Ъ1асх, 11оеас у1 е= [1, 4 ), СЪ1с)а~е00=2,х01с)аоахка=(0,1/2,1,3/2,2,2.5,3)): 1.0 оа о -0.0 -1.0 Здесь сплошная линия представляет изгибающий момент, а пунктирная— перерезываюшую силу. График прогиба балки, а также построенных на его основе графиков угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы по длине балки полностью согласуется со схемой ее нагружения: в точке приложения сосредоточенной силы график перерезываюшей силы имеет скачок на величину сосредоточенной силы, а для кривой изгибающих моментов в этой точке наблюдается слом. Как видим, Мар!е умеет решать (и даже в аналитическом виде), в общем-то, достаточно сложное дифференциальное уравнение, в котором правая часть задана разрывными функциями, причем решение построено также в терминах разрывных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
