Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 74
Текст из файла (страница 74)
е. тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке х=). Заладим ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ ЗНаЧЕНИй Л ча1 еа, СХОДЯщуЮСЯ К НУЛЮ, И ПОСМОтрИМ, К чему будет сходиться последовательность значений, определяемых выражением ы > Л ча1оеа:=аеЧ(2/1 3,1=1..15); 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ! 2 1 2 )) ча/иеа:= 2, —, ' 4* 27' 32' 125' 108* 343' 256' 729' 500' 1331' 864' 2197' 1372' 3375 > аеЧ(еча1Г(л), Л=Л ча1ееа)) > аеЧ(еча11(С), Л=-Л ча1иеа)) -5.439033250, -1 2.57034624, -1 3.3498521, -1 3.51 37879, -1 3.569058, -13.592932,-13.604946,-13.611648,-13.615686,-13.61826, -13.61998,-13.62116,-13.62203,-13.62266,-13.62313 1 Видно, что эта последовательность сходится, но сходится ли она к значению производной функции в точке х=1? Вычислим производную с помощью фуикцнн с(1ГГ (): > еча1Г (еча1 (с)1ГГ (у (х), х), х=1) ) ) -13.62516143 Замечаем, что построенная нами последовательность сходится к значению производной в точке х=1.
Уже ее пятнадцатый член имеет два точных знака после запятой. Точный результат получим, если вычислим предел выражения л при 7)-+О: > 11еге (С,Л=О) (тюк(1)) сов) ! ~ -2 е Мп(1) — 6 е Мп(1) > еча1Г(Ъ) -13.62516143 Графические возможности Мар!е позволяют увидеть, как секушая приближается к касательной.
Построим уравнение секущей как прямой, проходяШЕй ЧЕРЕЗ дВЕ ЗадаННЫЕ ТОЧКИ С КООрдИНатаМИ (хс, у(хс)) И (хс+Л, у(хсеЛ) ) соответственно (здесь у является зависимой, а х независимой переменными): 405 Глава 8. Дифференцирование функций > (Х-У(хО) ) /(У(х04Л) — У(хО) )=(Х-хО) /((х04Ю-хО) 1 У-(е +3) Х-1 2 11 2 /1 (е +3) — (е +3) Выразим зависимую переменную х через независимую х и представим в ви- де функции: > )ао1аое(Е,Х) ~ь(1 41 о 111 (Х вЂ” 1) ((е + 3) — (е + 3) ) у= Ь +(е 4-3) > ]ьпе аесгг хпарр1у (хнз (Ь ), Х) 1 з(1+ 4) (11 (Л' — 1)((е -1-3) — (е + 3) ) 05(11 /нае хее:= Л'-+— Ь +(е +3) Аналогично построим в виде функции уравнение касательной: > 11ле Гап01=Х вЂ” >еча1 (г)1ЙГ(у(х),х),х=1) *(Х-хО) еу(хО); /д йие гане — Х-+ ~ — у(х)1~ (Х вЂ” хО ) 4- у(х0) ( дх /(,=1 Теперь можем построить последовательность изображений, содержа(цих график функции, ее касательной и секущей при изменении параметра )1, и отобразить ее в виде анимационной картинки командой сьар1ау(); > я:=аес)( р1ос,'(у(х), 11ге сапе(х), 11пе зес(х)], х=0..4, чьен=(0..3,10..40], со1ог=()1)аск,о1аск,оаеееп], сьгскпеаа=2), Ь=ь ча1пеа): > нхСП(р1ооа) 1 г(1ар1ау(я, 1пзе1таепсе=гхпе) 1 40 55 зо 25 20 15 'О О О.о 1 5 2 2.5 3 4 Замечание Рисунок представляет первый кадр анимационного изображения, на котором график функции и касательной к нему в точке х=1 отображаются черными линиями, а секущая серой.
Г]ри просмотре анимации секущая будет изменять свое положение, приближаясь к касательной и, в конце концов, сливаясь с ней. С помощью первой и второй производных можно определить характер изменения и поведения исходной функции. В точках равенства нулю первой Часть П. (иатематика производной функция может иметь локальный оптимум, а интервалы ее знакопостоянства определяют диапазоны возрастания и убывания исходной функции, тогда как знак второй производной в подозрительной точке на локальный экстремум определяет, будет ли это максимум (значение отрицательно) и минт)мум (значение положительно). Точки равенства нулю второй производной функции являются точками перегиба функции, т.
е. точки, в которых функция изменяет вогнутость на выпуклость или наоборот. Все это можно наблюдать, если на одном рисунке отобразить графики функции и ее первых двух производных: > р1е~ ((у(х(, с(сст(у(х(,х(,с(РГГ(у(х(, ха2(1, х=-Р' .. РР, ЕЫсквеяя=2, со1ех=Ыас(с, Гс аеяту1е= ( т, 4, З] (; '4 -2 ', 2'" 4 -(о ' 2 На этом рисунке график функции отображается сплошной линией, первой производной — штриховой, а второй производной — точечной линией. В точке х=О первая производная равна нулю, и в этой же точке функция имеет локальный максимум, тогда как в точках х=~-х, в которых опять-таки первая производная принимает нулевое значение, функция достигает локальных минимумов. В точках х= — 0.788 и х=0.788 вторая производная обрашается в нуль, а функция в этих точках меняет, соответственно, выпуклость на вогнутость и наоборот.
Графическое отображение функции и необходимых производных, конечно, дает представление о характере изменения функции и приблизительных значениях некоторых замечательных точек функции, но математика — наука точная и требует получения точных результатов, тем более что графическое представление ничего нам не скажет о таких знаменательных прямых, как асимптоты. Поэтому в очередной задаче мы покажем, как средствами Мар1е СЛЕдуЕт ИССЛЕдОВатЬ фуНКцИЮ, а ЕЕ ГрафИК, ПОСтрОЕННЫй КОМаидОй рьеС((, будем использовать только в качестве иллюстрации полученных нами результатов. Задача 8.6 2х — 1 Исследовать функцию у =, и построить ее график. (х — 1) Решение. Будем исследовать функцию в соответствии с обшепринятой в математике схемой: Глава 8. Дифференцирование функций 1.
Область определения функции и ее характерные точки (граничные, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат). 2. Определение четности, нечетности или периодичности функции. 3. Промежутки знакопостоянства. 4. Промежутки возрастания/убывания и постоянства функции. 5. Локальные экстремумы, наибольшее и наименьшее значения.
6. Промежутки выпуклости/вогнутости функции и точки перегиба. 7. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Если для функции определены все перечисленные величины, то построить график этой функции не представляет никакого труда. Функция определена на всей числовой оси за исключением точки х=1, в которой ее знаменатель обращается в нуль. В этой точке функция имеет разрыв второго рода, так как > выло Е (у(х), х=1, ) егп) =)ппЕЕ (у(х), х=1, 1еЕЕ); 2х — 1 (пп „= пе (х — 1)п > ЬЕпап(у(х),х=1, ххаьп) =1пп( Ь(у(х),х=1, х(()ЬЕ) 2х — 1 1пп =СО н (х — 1) Найдем корни функции; > у:= х -> (2*х-1) Е (х-1) "2; 2Х- ! у:=х-+ — —, (х — 1) > ео1пе(у(х)=о,х) ! 2 Функция имеет единственный корень в точке =1е2. Проверим четность/нечетность функции. Для этого необходимо вычислить ее значение при -х и сравнить со значением при . Если они равны, то функция четная, если не равны — нечетная: > епа1Ь(у(х)=у(-х)) /оЬе > епа1Ь(у(х)=-у(-х)) /а)ее Функция является функцией общего вида, так как тест на четность/не- четность не прошел, да к тому же функция непериодическая: 408 Часть д Математика > ао1не(у(х)=у(хьТ),Т)! х(х — 1) О, -2 2х — 1 Единственное числовое решение уравнения у(х)=у(х+ Т) равно нулю.
Для определения промежутков знакопостоянства следует решить два нера- венства у (х) >О и у (х) <О: > ао1не(у(х)>о,х) /1~ Кеа(Каппе ~Ореп ~ — ), Ореп(1 )), Кеа!Капле [Ореп(1), ~о) '12)' > ао1не(у(х)<О,х)," Кеа(Каппе ( — со, Ореп( — ~~ Записывая результаты решения неравенств в привычной математической нотации, получаем, что функция положительна в области (1/2, !) ~ (1, х) и отрицательна на интервале (- о, 1).
Для нахожления участков монотонности функции следует вычислить ее первую производную и решить определить промежутки, где она положительна (на них функция возрастает) и отрицательна (на них функция убывает): > ао1не (о1ГГ (у (х), х ! >О, х); Кеа(Капле (Ореп(0 ). Ороп(1 ) ) > ао1не (охгг (у (х), х) <О, х); Коа(Капле (-о, Орел( О ) ). Коа!Капае ( Ореп( 1 ).
'о ) Результаты определения участков монотонности таковы: на промежутке (0,1) функция возрастает, а на интервалах (-, 0) и (1, о) функция убывает. Чтобы определить подозрительные на экстремум точки, следует приравнять нулю первую производную и найти корни полученного уравнения: > ао1не(с(1ГГ (у(х),х) =О,х); Единственная подозрительная на экстремум точка х=О. Для определения, является ли эта точка минимумом или максимумом, можно вычислить в ней значение второй производной функции. Если результат будет положительным, то в этой точке минимум, если отрицательным, то максимум, если равен нулю, то следует использовать информацию о промежутках монотонности функции: > ена).
(с(1хГ(у(х),хэ2), х=о); Гпава 8. Диф енциро ванне функций 409 Полученное положительное значение говорит о том, что в точке х=О наша функция имеет локальный минимум со значением: > епа) (у(х),х=о) Участки выпуклости и вогнутости определяются по знаку второй производ- ной. Если она положительна, то функция на этом участке вогнута, если от- рицательна, то выпукла: > ао1ое(о1ГГ(у(х),х$2)>О,х) ('-1 Х Кеа!Каппе ( Ореп( — ~, Ореп(1 )), Кеа!Каппе (Ореп(1 ), ~о) (,2 ~' > Бо1ое (о1ГГ (у (х), хЗ2) <О, х); Г-1 ) Кеа!Каппе ( — со, Ореп( — )) ) На интервале (- о, -1/2) функция выпукла, а на интервалах (-!/2,1) и (1, - ) вогнута.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
