Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 74
Текст из файла (страница 74)
(галде. угапре. хгапэе. ютсае(. о) Назначение параметров этой функции аналогично указаннол<у для функции 0Ер1 от. Рисунок 13.10 поясняет применение функции 0ЕР>ос3<> для решения системы из двух дифференциааьнь<х уравнений с выводом фазового портрета колебаний в виде параметрически заданной зависимости х(г), у(г). В данном случае фазовый портрет строится на плоскости по типу построения графиков линий равной высоты.
Другой пример (рис. 13.11) показывает решение системы из двух дифференциальных уравнений с построением объемного фазового портрета. В этом случае используется трехмерная координатная система и графические построения соответствуют параметрическим зависимостям х(Г), у(Г) и 2(Г), Вид фазового портрета напоминает разворачиваюшуюся в пространстве объемную спираль. 502 Урок 13. Решение дифференциальных уравнений Функциональная окраска делает график пикантным, что, увы, теряется при черно-белом воспроизведении графика. 1[Од[а!др(ч '"'(]М(. 'Ъ.-,.', ", ' "' я4й"'"Ма[, ' ' я етг) [ Построение фазового портрета дпя решения системы из двух дифференциальных ' уравнений с выводом фазового портрета функцией [)Ер[о[34 [> ыгСЬ<Оаеееьв)с > ОЕР10СЗ6( ( 6122(х(С), С) У(С), 6122(У(С), С) -в1п(х(С)) ), [х<С), у<С) ] , С-О..
10, [[х<О)-0, у<О)-. 5], <х<0)-О, У<0)-Ц,[:с<О)-0, У<0)-1.Е],[х<О)--г 01, у<О)-1], [х<0)-г 01, у(0) .5),[х(0) -2*01, у(0) 2.Ц,[тс(0) 2*01, у(0) -2.Ц ], вееря1хе .2, 1111е 'репсп1пв 01ЬгаС1опв', огсепва11оп [0,90], весьес[=01авв1еа1[аьвоп]соп], ееггеас1опв 3, агев мое)ось, 11пеае1пг шаек)С Реавн(вп Мыаьоьв ча) Рис. 13.10. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений с памощью функции О[о[0(30 Возможности функции ОЕО]013(] позволяют решать системы, состоящие более чем нз двух дифференциальных уравнений.
Однако в этом случае число решений, представляемых графически, выходит за пределы возможного для трехмерной графики. При этом от пользователя зависит, какие из зависимостей опускаются при построении, а какие строятся. Функция Р0Ер!о1 пакета 0Е1ооЬ ЕщЕ ОдНа фуНКцИя ПаКЕта ОЕсОО]5 — ОЕ1001 5ГРОЕО101] — СЛужИт дпя ПОСтрОЕНИя графиков решения систем с квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных. Эта функция используется в следующем виде: РОер]о((реп[[ее. чаг. '1 сыгче. 5гапде.
о) РОЕР]о((РЕ1[1ец, чаг, 1 сыгче. вгапде. хгапде. уганде. огапде а) Графическое представление решений дифференциальных уравнений $03 Рис. 13.11. Пример решения системы ив двух дифференциальных уравнений с построением трехмерного фаэового пор~рета Здесь помимо упоминавшихся ранее параметров используются следующие: рЮ Ггец — квазплинейные дифферетщиальные уравнения первого порядка (РВЕ), чагз — независимая переменная н 1 сигче — начальные условна для параметрических кривых трехмерной поверхности, Помимо опций, указанных для функции 0Ер1оС, здесь могут использоваться следуютцие опции; О Ьазеспаг = ТйдЕ, Ейь5Е, ОйЛ вЂ” устанавливает показ базовых характеристик кривых; О Ьавесо1ог.
Ьазесо)ог = Ь со)ог — устанавливает цвет базовых характеристик; О 1п1Ссо1ог, 1птСсо)ог = 1 со)ог — ишщиалпзация цветов; О пншсдаг = 1пСедег — задает число отрезков кривых, которое не должно быть меньше 4 (по умолчанию 20); О пншзтерз - Г1ПСедег1,1ПСедег2) — задает число шагов интегрирования (по улюлчанию 110, 101), Рисунок 13.12 демонстрирует применение функции Р0Ер1оС. Этот пример показывает, насколько необычным может быть решение даже простой системы дифференциальных уравнений в частных производных. 504 Урок 13.
Решение дифференциальных уравнений РИС. 13.12. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ фУМКЦИИ РВЕРСаС В данном случае решение Представлено трсхьссрпой фигурой весьма нерегулярногоо вида, Другой пример использования функции Р0Ер1оС показан иа рис. 13,13. Ои иллюстрирует комбинированное иостроеиис графиков решения разссс>го 1ииа с применением функциональной закраски, реализуемой ио заданной формуле с Помощью оиции пп11со1ог. Еще раз отметим, что, к сожалсишо, рисунки в двиной кингс ис дают представления о цвете выводимого Марсе графика.
Поэтому иаслядиость решений, видимых иа экране монитора, существенно ньиве. Графическая функция дйеЫр1о1 Графическая функция ог1е)йр)о1 служит для Построения поля направления с иомосцью векторов ио результатам решения дифференциальных уравнений. Фактически эта функция как бы входит в функцию 0Ер1о1 и ири необходимости вызывается последней.
Но оиа может использоваться и самостоятельно, что демонстрирует рис. 13.1к1, иа котором показан Пример решения следующей системы диффереициальиых уравнений: х'(т) - х(Г)(1 — у(с)), у'(т) = 0,3 у(С)(х(1) — 1), Графическое представление решений дифференциальных уравнений 505 "' Ч(вфсбйй)йЫЕатейти;ан '' ',:;;" '."... '."",':..~:,)Иртабйний)к~багс<йигйи)й)вйгрйй(а1)<))й)ргн)Д1 Пример построении комбинированного графика с помощью функции РЕ)Ер(о( > и(СЬ<ЕОВСпе)*): РОвр)ое < (у гсх <х, у) *гсх*г) *0122<а <х, у), х) -г*х*уе6122<х (», у), у)-2*а (х, у) ех О, х(х, у), [С,С,п1п(Е1*С/О. 1) /10), 1=0 ..
О. 1,пемеоах 40, ехгепеа11оп (-160,60),ьанесиах Сапе,пппатерп (20,20),мера<хе .15, )п11ое)епх-нюх<с)ес,ап1пасе-гасам,«сусе-вптсвсоиуоок)г ом ои 01 тг гп о ее о об о от о г( ,-') 04 Ч г т й О( Оов ' ''. -'. 'ЬО) ош оон -.--' о о Рис. ) 3.)3. построение комбинированного графина с помощью функции Роер(ос Обратите вним;шне иа использование оппнй в этол( примере, в частности иа вы- вол гшлписи на русском языке. В целом список параметроп (1)уикцссн рпаверогсга(1 анзлопгчсн тако)к)му для функции ПЕр)оу (отсутствует лишь задание начальных услов() Г(). Графическая функция рпаьерогйгай Графическая функция р)газерогсга)с слу)кнг для пос) роения фазовь<х портретов по результатам решения одно(о дифференциального уравнения нли системы дифференциальных уравнений <)ецпв, Она задается в следующем виде: рьвверог(гвттшецпв.
уагв.(гапре. )ш(в. 0) При задании уравнений достаточно указать их правые части. На рис. 13.15 представлен пример применения функпии рвазерогсга(1 для решения системы из трех дифференциальных уравнений первого порядка. В этом примере система дифференциальных уравнений задана с помощью оператора дифференцирования (). Функциональная окраска линии фазового портрета достигается использованием параметра 1)песо)ог, в правой части которого задана формула для цвета. 506 Урок 13.
Решение дифференциальных уравнений ' оо оза >вр)ог([о122(г(1>,1>-г(1>е(э-у<1»,о122(у<1>,г)-.а+у<1)а(г<1>-1) [, [г<1> ,у(1)],1 — 2..2,«т — 1..2,у -1..2,а«гона ьааое,г)11е 'нагель логан-воль ара', ао1ог [.аеу(1>а(г(г)-1>,г(1)е(1-у(1)),.1) ) г Мралл« Пр « .Еал« ерл Рис.
13.14. Построение фаэового портрета В виде графика векторного паля 'Яф3<[![Уавяр(вь[ллриъ<втау."",2>р«>[«[ (вал У)ут)вэа,'мат!«'.;;";, [ .'„. *,:,,:...:,;::;,: .:, ",а[2[ х [ Построение простого фазового портрета с помощью функции рпазерог(гав пакета [>е<оо[з р н1«Л(оегоо1«): рлааероггга11([о(г)(1]-у(г)-г(1),о(у)(1) г(1>-г(1),о(л)(г) г(г)-у(г)*2],[г( 1>,у<« >, « <1 > ],1-2 ..
2, [[г(О) -1, У(О)-О, «(О) 2)),агерв1гв .Оа,ваеае [г(1),г(1)>, 1)леао1оаг «1л(т*еэуз],авГЫ-а1ав«1аа1[гогеа1ег])т Рис 13 13 построение фВВОВО<О пОртрета с поло<Вью функции рлаьегропгат< углубленный анализ дифференциальных уравнений 507 Еще более интересный пример решен[и дифференциального уравнения представлен на рис. 13.16. Здесь построены фазовые портреты для асимптотических решений. В целом надо отметить, что возможности визуализации решений дифференциальных уравнений с помощью системы Мар1е 7 весьма велики и приведенные вьпне примеры лишь частично пллюстриру)от сказанное.
В справочной системе можно найти ряд других весьма зффектных решений систем дифференциальных уравнений с визуализацией последних. вт л и ФМдйш „'и од!и[!еа'" баа)мбг-'!)"геб)!й)йя)акт)йолншкк!4йуй.-'к)ккет[г яио!йг!'''га!.".'тг'"''~:,!""--'''(('."-"'".' '(Р утк ой'".' го':! ' к)в)'" Представление асимптотического решения на фоне векторного поля с помощью функции рваввролгал пакета 0Е[оо[в [> е11Ь(ркеоо1а): > рЬааере.ьга11 (О(у) (х) -у(х)-х 2,у(х),х--1.. 2.
К, ! [у(О)-О), [у(О) 1), [у(О) -1) ),1111в-'акувр(о11а Ве1п11еп', ое1опг=еаоепса,11пвое1ег [Ое1а,паапа,ване))г Ат)тргоьо Боыооо Рис. 13.1б. Построение асниптотнкеского решения на фоне графика векторного паля Углубленный анализ дифференциальных уравнений Задачи углубленного анализа ДУ Мар1е 7 существенно доработана по части решения дифференциальных уравнений (ДУ) и систем с ДУ.
Эта доработка прежде всего направлена на получение верных решений как можно болыпего числа ДУ разных классов и систем с Ду. 508 Урок 13. Решение дифференциальных уравнений В частности, расширен круг нелинейных дифференциальных уравнений, для которых Мар]е 7 способна дать аналитические решения. Весь арсенал средств решения ДУ и методика их применения вполне заслуживают отражения в отдельной большой книге. Мы ограничимся описанием только трех средств системы Мар!е 7 — проверки ДУ па автономность, углубленным шшлпзом решения с помощью контроля уровня выхода и получением приближенного полппомпального аналитического решения. Более подроопое знакомство с повымп возможностями решсн1(я дифференциальных уравнений можно получить пз соогвстствунпцей статьи справки зушЬо11са в разпсле айат ]з пеи....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
