Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 71
Текст из файла (страница 71)
К нему, в частности, обычно относится анализ поведения различных систем во времени (анализ динамики), а также вычисление различных полей (тяготения, электрических зарядов и т. д.). Трудно переоценить роль дш)аференциальных уравнений в моделировании физических н технических объектов и систем. Мар)с 7 позволяет решать одиночные диффсренпиальные уравнения и системы дифференциальных уравнений как аналитически, так и в численном виде, Разработчиками системы объявлено о существенном раси)иренин средств решения дифференциальных уравнений и о повьппенни их надежности в смысле нахождения решений для большинства классов дифференциальных уравнений, Поэтому данный урок целиком посвящен решенин) уравнений данного класса, Для решения системы простых дифференциальных уравнений (задача Коши) используется функция Озо1че в разных формах записи; Оао!че(ООЕ) Оао1че!ООЕ.
у!х). ехтга агва) шо1че!)ООе. )са), у!х). ехсга агоа) Сао1чеП ауаООЕ. !Са). )Гипса)., ехтга агоа) Здесь ООŠ— одно обыкновенное дифференциальное уравнение или свстема из дифференциальных уравнений первого порядка с указанием начальных условий, уЕх) — функция одной переменной, 1сз — выражение, задающее начальные условия, СзузООЕ) — множество дифференциальных уравнений, Стппсз) — множество неопределенных функций, ехтга агвыаеМ вЂ” опция, задающая тип решения, Параметр ехтга агппвепС задает класс решаемых уравнений.
Отметим основные значения этого параметра; О ехасС вЂ” аналитическое решение (принято по умолчанию); О ехр1)с1С вЂ” решение в явном виде О зузтеа — решение систе)йы дифференциальных уравнений; О 1Сз — решение, системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями; Основные средства решения дифференциальных уравнений ва33 О (огаа1 зег(ез — решение в форме степенного многочлена; О Чпсеуга! агапе(огш — решение на основе шггегральных преобразований Лапласа, Фурье и др.; О зег)ев — решение в виде ряда с порядком, указываемым значением переменной Ог()ег; О ппвегтс — решение в численном виде. Для решения задачи Коши в параметры ово) уе надо включать начальные условпя, а при решении краевых задач — краевые условия.
Если Мар!е способна нанти решение при числе начальных или краевых условий меньшего порядка системы, то в решении будут появляться псопрсделенпыс константы вида С1, С2 и т. д, Онп же могут быть прп аналитическом решешщ системы, когда начальные условия пе заданы. Если решение найдено в неявном виде, то в нем появится параметр Т. По умолчанию функппя сво)че автоматически выбирает иаиболес подходячцпй метод решения дифференциальных уравнений.
Однако в параметрах (!)ункции сзо1ве в квадратных скобках можно указать предпочтптельпьщ метод решения дифференциальных уравнецпй. Допустимы следующие методы: аерагаа)е 1чо ауп 1чпеаг Ооиопеоеоиа Аое1 Вегпои111 Сь ю рот ауи Ооасгатоге чотегае 1чоеа. ехаст Информацию о каждом методе л)ожно получить, используя команлу?йео1 те,пет))оо и указав в ней конкретный метод, Например, команда тсво1че.1)пеаг вызовет появление страницы справочной системы с подробным описанием линейного метода решения дифференциальных уравнений. Производные цри записи дифференциальных уравнений могут задаваться функцией (ЧЧ(! пли оператором О.
Выражечччче зузООЕ должно иметь структуру множества и содержать помимо самой системы уравнений их начальные условия. Решение ОДУ первого порядка Начнем рассмотрение практических примеров с решения одиночных обыкно- венных дифц)еренциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: > ч)ао1те(ч)ЧГГ(у(х).х)-а*к=в,у(х)): у(х)=-ах + С! ! т 2 > Пьо)те(()ЧГГ(у(х),х).у(х)=ехр(.х),у(х)): 1 (-2>) У(х)= — 2е ' + С! е" > оао)че(с)ЧГГ(у(х),х)-у(х)-в)п(х)ьх,у(х)); ! ! ' ! у(х) = — — сов(х) х — — сов(х) — — вйп(х) х+ е" С! 2 2 2 Следуючцне примеры иллюстрируют возможность решения одного и того же днфф>ьввнчднального уравнения о()е !. разными методами: 484 Урок 13. Решение дифференциальных уравнений > опе г := в(п(х)"()1(г(у(х).х)-сов(х) у(х)-О Гд оде 1.:= юп(х) ~ — у(х) — соз(х) у(х) = 0 дх > ово1че(ос)е 'с.
(11певг), цве1пт); соко) —.— — гн Яп(>) у(х)= С1 е > ча1ие(Х): у(х) = С1 юп(х) > ово1че(ш)е с, (верагап)е), иве!пг); | н>) с)х — — г! а+ С! =0 соз(х) ( ! 5!п(х) и > ча1ое(Ф)) !п(юп(х)) — )п(у(х))+ С!=0 > ио :- !псеассог(осе с); )(:= !п((ас(о юп(х) — у(х) — сов(х) у(х) = 0 | дх > ово1че( ви"осе Г, (ехасе), чве!пг): С1 у(х) = 2 (2 ) ~! Объем данной книги не позволяет остшювиться на всех тонкостях аналитического решения дифференциальных уравнений, Множество примеров такого решения дано в справочной базе данных Мар)е 7. К ней нужно обратиться в случае, если решение того или иного дифференциалыюго уравнения выходит за рамки учебного курса.
Решение дифференциальных уравнений второго порядка Здесь видно, что для задания производной используется ранее рассмотренная функция 01!О С помощью символа $ можно задать производную более высокого порядка. Ниже:представлено решение двух дифференциальных уравнений второго порядка: > ово1че(о(ГГ(у(х),х$2).о!ГГ(у(х),х)=в(п(х).у(х)); 1, ! у(х)=--юп(х)+-соз(х)+е" С1+ С2 2 2 > ое; вг'о!Г((у(х),х$2)-кьо)ГГ(у(х),х); Основные средства рео)ения дифференциальных уравнений (085 ° ухе:-у[О)-э,у[]]-]; ухО:= у(О ) = О, у(! ) = ] > (]50]че(((]е,ухо).у(х)); ,% у(х) =- Обратите внимание на решение второго из этих уравнений. Здесь использован прием визуал!лзации исходного дифференциального уравнения, н оно задается значением переменной (]е. Кроме того, и это особенно важно, решение осущесувляется при заданных начальных условиях.
Именно поэтому в решении отсутствуют произвольные постоянные вида С)]. Решение систем дифференциальных уравнений На рис, 13.1 представлено решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами — в явном виде, в виде разложения в ряд н с использованием преобразования Лапласа. Здесь следует отметить, что решение в виде ряда является приближенным, Поэтому полученные в данном случае аналитические выражения отличаются от явного решения и решения с применением преобразования Лапласа. " Ффхуач(и]Ы)В[у: ','":*!';~8>гяз][](а(пей(явйчвФ ~,а!'[~"'.:~ыч:*.'*'!~!)))а>т*':~".хм(Ф ]]О('"")]чч".">иу]ает * реаение системы ни двух днффаренннапьнык уравнений > вув:- 4!ГЕ(у(х),х)-гвг(х)-у(х)-х, 4(уу(г(х),х) у(х) гуппи ." (у(х), «(х) ); овп1че((вув,у(0) О,г(0) 1),Увив)) 0 0 0 *:= — у(х) " 1*(г) — у(х) — х, — г(х) " ! (*) дх ' дх увив' [у(х) г(х)) 5 (-2х) 1 х 1 1 5 (-зх) 1 х 1 [г(х) — г -е + + -«,у(х) — — г + -в + — ] 12 3 4 1 ' б з > оспах: В:аве1че(!вув,у(0) О,г(0) 1),ув в,ве (ев): 2 1 3 7 4 13 5 3 б 53 7 8 [г(х) 1+х — -х + — х — — х + — х — — х + 0(г ), 2 М 120 Э) ЭМО 3 2 7 3 13 4 9 5 53 б 107 7 В у(х) 2х--х +-х - — х + — х — — х + — х +0(х )) 2 б 24 40 720 5040 > охпех: 10:пие1че((вув,у(0) О,г(0) 1),(спв,вех1ев)) 1 з 7 4 !» 5 3 б 53 7 107 в 71 9 ю (г(х) 1 + х — -х + — х — †» + — х — — х + — х — — х + 0(г ), 2 24 120 00 5040 40320 120960 3 2 7 3 13 4 9 5 53 б 107 7 71 В 61 9 10 у(х)-2х — -х +-х - — х + х - — «+ — х — — х + — х +0(» )] 2 б 24 40 720 5040 13440 5)ва) > двп1че((вув,у(0) О,в(О) 1),упав,1ар1апе)) 1х 5 (-2х) 1 1 5 (-зх) 1» 1 (г(х) в + ° + х+,у(х) в + — в + -] 3 )2 2 4' б 3 2 > 43](ойкай, рвывннд сис(эиы из(ввукб](]Фффин]надеина][равны(вцвзричнынн нв(я(ини 48б Урок 13.
Решение дифференциальных уравнений Следует отметить, что, несмотря на обширные возможности Мар)е 7 в области аналитического решения дифференциальных уравнений, оно возможно далеко не всегда. Поэтому, если не удается получить такое решение, полезно попытаться найти решение в численном виде. Численное решение дифференциальных уравнений Больпшнство нелинейных дифференциальных уравнений пе имеет аналитического решения. Кроме того, часто аналитическое решение и не нужно, но требуетс)1 получить ответ в виде графических зависимостей, В таких случаях для решения дифференциальных уравнешш в численном виде используется функция ([501 че с параметром помес)с или туре-помес[с, Прп этом решение возвращается в виде специальной процедуры, по умол шнию реализугошей широко извсстньш метод решения дифференциальных уравнений Рунге — Кутта — Фелберга порядков ц н 5 (в зависимости от условий адаптации решения к скорости его изменения).
Эта процедура называется гкг45 и символически вывод)гуся [без тела) прн попытке решения заданной системы дифференциальных уравнений. Последнее достаточно наглядно илл(острирует рис. 13.2. (ь. [)[5::да„::,две')лзс)(,';25((м;,"'*:-',".„':-~: дрйбц'':Хцгта~-;:рф-';;,з":дс .„.', '; ' ", ', ' ".'": 1'сг ' в и ( РЕШЕНИЕ СнетЕМЫ Иа деуХ дйффврвйцИвзЛЬНЫХ ураейвинй численным методом вув ,'- 41ГЕ(у(зс),зс) 2*х(зс) — у(зс)-зс, 4116(х(х),х) у(х) Г 1опв: (у(зс), х(х)!'з 1"1 ово1ае((вув,у(о) о,х(о) 1), созы,иеиех1о)г а а туг ш — у(х) 2 г(х) — у(х) — х, — Мх) " у(х) У и ргас(гй(45 х) ... еаа ргас > У(2)г [х 2,у(х) 2.94775566255468746,с(х) 3.72065020474031360[ > р1оев[оеер1от](Р,[х,х(х)),0..2.5,1аЬе1в [х,х),оо1ох Ь1ао1с); 0 05 1 15 2 25 и Рис. 13.2.
Решение систеиы дифференциальных уравнений числеимын методом гав с выводом графика решение Основные средства решения дифференциальных уравнений 487 Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих найти решение в любой точке или построить график решения (изит решений). Для г!зафического отображения Мар!с 7 предлагает ряд возмо кностей, и одна из пих представлена на рис. 13.2 — см. последшою строку ввода. При этол~ используется функция р!о!сот!ер1о1] из пакета ог!ер1от, предназначенного для визу ьптзации решений дифференциальных уравнений. В список параметров функции дзо1те можно явным образом включить указ:шис на лтетод решения, паприки.р опция шатвосЬсвег!с7В задаст решение непрерывным методом Рунге — Кутта порядка 7 илп 8. Вообще говоря, численное решение дифферештиальпых урависшш можно производить олиим из си дуюпшх методов: О с1вьвтса! — одна из восьми всршш! классического метода, используемого по улюлча~ттио; О гИ45 — метод Рунге — Кутта 4 или 5 порнлка, модифицированный Фелбергом; О Втег'х7 — иепрсрывиьш метод Рунге--Кутта порядка 7 или 8; О оеаг — одна из двух версий одношагового экстраиоляпиоипого метода Гира; О адеаг — одна из трех версий многошагового эктрапо:шциопиого метода Гира; О !зобе — одна из восьми версий Лштеиморского решателя жестких диффсренциальшнх урависиши; О Ьау1огзег1ез — метод разложения в ряд Тейлора.
Обилие используемых методов расширяет возможности решения диффсреициальныхураннеиий в шслсииом тише.!золышшство пользовтжелсй Мар!с 7 виолис устроит автоматпчссюш выбор метода решения ио умолчаишо. Однако в сложных случаях возможна прямал усшиовка одного из указанных выше методов. С деталями реализ тп~ш методов можно ознакомиться по справочной системс, С помощью паралтстра 'аЬзегг'-аегг люжио задать величину абсолютной погрешности решения, а с помощью 'ш1пегг'-штпе — мтшимальаучо величину погрешности. В болыпиистве случаев эти величины, заданные по умолчанию, оказываются присмлсмылш для расчетов. Мар!е 7 реализует адаитирусмгке к ходу решения методы, при которых шаг решения Ь автоматически л~еняетсзь подстраиваясь под условия решения.
Так, если прогнозируемая погрешность решения становится болыве заданной, шаг решения автоматически уменьшается. Более того, система Мар!е способна автоматически выбирать наиболее подходящип для решаемой задачи метод решения. Еше один прилтер решения системы дифференциальных уравнений представлен на рис. 13.3. Здесь на одном графике представлены зависимости у(х) и а(х), представляющие полное решение заданной системы. Прн этом процедура имеет особый вид 11зтргосебцге и для преобразования списка выходных данных в векторы решения У и Е используется функция зцЬв. Для решения достаточно сложных задач полезны специальная структура 0ЕВо! для решения дифференциальных уравнений и инструментальный пакет ОЕ1оо1з, содержащий самые изысканные средства для графической визуализации результатов решения дифференциальных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
