Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Проверка ДУ на автономность Одиночное дифференциальное ураввенпе или система дифференциальных уравнений называ|отся автопомпымп, если их правая часть явно не зависит от независимой переменной. Для автономных дифференциальных уравнений илп систем прп построении графиков рсшсппй функцией ()Ер1о1 нс обязательно задавать началь~ыс услош(я, цо нужно указывать диапазон изменения искомых переменных. Для проверки уравнений (и:и спетом) па автономность используется функция: ашопопооь,'оемуагм1каг) где деа — заданное лпфферлгцпальиос уравнение или (в виде списка) система дифференциальных уравнений, нага — завпсцмыс переменные и 1оаг — независимая переменная.
Если система аптопочпа, то эта функция возвращает 1гае, в противном случае га1зе. Примеры: > Ох(1:=О!ЧГ(х(1).1)=х(1)*(!.у(1)): Ф(2:=О1Ч((у(1),1)=.3*у(1)*(х(1).1); д хУ(():= — х(() = х(г) (1 - у(г)) дг д 4(7:= - у(г) =.3 у(г) (х(г) — 1) д( > аи(опоаооа((О1 11. О1Ч2), (х(1), у(1) ] Д); пие > ао1опопюоа(д(ГГ(х(1) 1)га(п(1),х.т); ~а(уе В первом случае система дифференциальных уравнений (модель Лотки-Воль- терра) автономна, а во втором случае диффсренциальное уравнение не автономно. Контроль уровня вывода решения ДУ Для углубленного анализа аналитического решения ДУ (или системы ДУ) можно использовать специальную возможность управления уровнем вывода ре- углубленный анализ дифференциальных уравнений 509 шеиия с помощью системной исрелтеицой 1л(11ече)(6зо1че): )ече). Зиачеиис 1ече)=а!1 дает обычный в)явод решения без коммептариев, уровень 1 зарезервирован для информации, которую может сообицпь пользователь, уровень 2 или 3 дает более детальный вывод (включая сообщения об использованиом алгоритме и технике решеиия) и, накоиец, уронив 4 и 5 дают иаиболсс детальную (ги(рорьшпшо (сели таковая сеть в дополнение к той шв!)ормации, которую даег уроиспь 2 или 3), П!ишедем пример аиалптичсского реше~~ия ДУ третьего порядка с контролем уров(ш вывода решения: > ауОЕ := х 2*41(((у(х).х,х.х)-2*(пь!)*х*О(Г((у(х) х х)+(а*х"2+6*о)* *гд ГГ(у(х).х)-2*а*х*у(х)=0 ,(аз туВЕ;=.т —, у(х) ' — 2 (л+! ) х — у(х) ', + (ах + б л) ! — у(х) — 2 а.ту(х) = О ~Э,, з,'ах > й(о1ече)(езо1че) := а11: > Озо1че(пуОЕ); Г~~з>х) ( 1 у(х)= С(х Велас!у~-гг--,з(а х + С2(4л — 2+ах ) (нз+') ( ! + СЗх Всьве)) -л — —,,~а х 2' > 1п(о1ече)(сзо1че1 := 1: > озо1че(пуОЕ): Йо 1Лошйй!ап зо!и(!опз ех!вЬ (из+ ) ( 1 г- Г у(л) = С1 х Возле! т' — л — —, () а х е С2 х Всвзс!1 — л — —, )Га х + СЗ(4л — 2+ах ) > 1л(о1ече1(ово1че] := 2: > Сзо1че(иуОЕЗ: Мсйзойв 1ог !Ыгй о(6ег ОРЕв: Тгу!пя го Ьо1аге йе 6ег!х абче д'Зу(дх 3...
Яисселз(тг( Ьо)а6оп о( 6>Зу(дх"3 — — Тгу!гзя с )авз(й(с або п шейзогЬ-- (гу!па а г)иайгагигс сйесЫпя !г" йе ЕОРЕ Ьал сопзгап(соей)с!сп(з с!зссЫпа !Ейе ЬОРЕ Ь о(Еи!ег (уре (губ)я Ь!яЬ о)6ег ехас( Ипеаг бз!! у !гт(еагаЫе ггу!па (о сопчеп го а! шеаг ОРЕ )ч!й сопв(апг сое(Т!с!спгз Ециайоп Ь йзе 1.С1.М о( -2*х((2*(2*п-1)(а+х'2)*у(х)е6!(Т(у(х),х), а*у(х)-2*п( х*6!й(у(х),х)+6!(Т(сИТ(у(хКх),х) сЬесЫпа !Е(Ье 1.0РЕ Ь о(Еи!ег (урс сЬес!г!па !Ейс ЕОРЕ Ь о(Еи)ег (уре схропепйа! зо!ийопв виссевзйз) 510 Урок 13. Решение дифференциальныхуравнении "Рап!а! зисссвв" саве. Епсеппц с!зо!те вчсЬ а 1ошег огс!ег ОПЕ 1гу]пц а с!иас!га! ихе сЬсс)с!пц 1(йе ЕОПЕ Ьав совзсапс сое61с!епсз сЬес)с!пц !( йе 1.ОПЕ Ь оГ Еи!ег суре сгушц а вупппесгу о( йе Гопп сх]=О, еса=р(х)] сЬсс!с!пц !( йе ЕОПЕ Ь ппвз!пц 'у' сгу!пц а 1йоиуййап зо!ийоп изшц Коуас!с'в а]цопйсп Мо Е!оиу!!1!ап во!ийоне ехьш сгу1вц а зо!и!сон сп сеппз о( зресса1 Гипс!!опв: -> Всзвс! с- Врезе! виссевз(и1 <- во!и1юп сп 1егпж о( врос!а! Гипс!!опз зссссевв(и! !~а+ 1 Г ! 5 па+1 Г ! у(х)= С!х Всззсо -а — —,хГах + С2х Веввс!У -л — —,,„Гах~ 2' г' + СЗ (4 л — 2 + а х~) В данном случае повышение уровня вывода до 4 нли 5 бесполезно, поскольку вся информация о решении сообщается уже при уровне 2 (или 3), Приближенное полиномиальное решение ДУ Во многих случаях аналвтпческис решения дажс простых ДУ оказываются весьма сложными, например содержат специальные математическис функции.
Прп этом нередко полезна подмена такого решения другим, тоже аналитическим, но приближенным решением. Наиболее распространенным приближенным решением в этом случае может быть поливомиальное решепие, то есть замена реального решения полиномом той или иной степени. При этом порядок полинома задается значением системной переменной Огс!ег, а для получения такого решения функция с!во!уе должна иметь параметр зег1ез. На рпс. 13.17 представлено решение ДУ третьего порядка различными методамп: точное аналитическое и приближенное в виде полпцома с максимальным заданным порядком 10 н 60.
График дает сравнение этих решений для зависимости у(г). Дадим небольшой комментарий. Нетрудно заметить, что точное аналитическое решение весьма сложно и содержит специальные функции Бесселя и гамма- функции. При порядке полинома 8 (он несколько меньше заданного максимального) решение практически совпадает с точным до значений 1 < 2, а при максимальном заданном порядке 60 область совпадения расширяется до значений г < 5,5. Затем приближенное решение резко отходит от точного.
Этот пример, с одной стороны, иллюстрирует хорошо известный факт — быстрое нарастание погрешности полиномиального приближения за пределами области хорошего совпадения решений. С другой стороны, он показывает, что сте- что нового мы узнали? 511 пень полинома более 60 (и даже выше) вовсе не так уж бесполезна, как это утверждается во многих статьях и книгах по полиномиальному приближеншо. Точность полиномиальиых вычислений Мар1е 7 достаточно высока, чтобы обеспечить получение приближенных полииомиальных выражений со степенью порядка десятков и иногда даже сотен. Другое дело, что столь «длинный» полипом не всегда удоГ>ен для аналитических расчетов, даже несмотря на его структурную простоту. Рнс. 13.17. Примеры решения ДУ третьего еоряака Что нового мы узнали? В этом уроке мы научились: О Использовать основную функцию решения дифференциальных уравнений йзо1че.
О Решать дифференциальные уравнения первого порядка. О Решать дифференциальные уравнения второго порядка, 512 урок тз. Решение дифференциальных уравнений О Решать системы дифференциальных уравнений. О Выполнять численное решение дифференциальных уравнений. О Решать дифференциальные уравнения с кусочными функциями. О Использовать структуру неявного представления дифференциальных уравнений РЕ5о1. О Применять инструментальный пакет решения дифференциальных уравнешвй с'Всоо!з. О Осуществлять графическое представление решений дифференциальных уравнений. О Осуществлять углубленный анализ аналитических решений дифференциальных уравнений.
Математические пакеты Назначение пакетов и обращение к ним Пакеты функций комбинаторики Пакет финансово-зкономических функций Йпапсе Пакет ортогональных многочленов огтпро1у Пакет для работы с суммами вцпйооЬ Пакет реализации степенных разложений роиегзеп'ез Пакет числовой аппроксимации пнаарргох Пакет интегральных преобразований 1п агапе Пакет приближения кривых СигчеР1ттлпд Пакет для работы с полиномами Ро!упоппа!ТооЬ Назначение пакетов расширения и обращение к ним Как уже отлгечалось, некоторые функции системы Мар1е помимо их нахождения в ядре могут быть расположены в стандартной библиотеке и в пакетах, входящих в поставку системы. Это значит, что их нс надо приобретать дополнительно, однако перед использованием таких функций надо загрузить их пли отдельно, или вместе с целым пакетом, сели больн~инство его функций представляет интерес для пользователя.
Обзор пакетов В этом уроке дается выборочная информация о функциях, содержащихся в пакетах. Напоминаем, что список пакетов можно получить, используя команду: >?расГадез Этот список приведен ниже: О НЕтоо!з — решение дифференциальных уравнений; О Ропы!пз — создание областей определений в вычислениях; О СŠ— поля Галуа; О Оацез1пс — работа с целымн числами Гаусса;- О бгоеЪпсг — вычисления в базисе Гробнера; О ЕВЕсоо!з — манипуляции с линейными рскуррснтными отношениями; О ГйпеагА!ЕсЬга — линейная алгебра; О Маг!ай — интеграция с МАТЮКАВ; О Оге а1неЬга — основные вычисления в алгебре линейных операторов; О РРЕсоо!з — решение дифференциальных уравнений в частных производных; О Яргеай — работа с таблицами; О а1яспгчез — работа с алгебраическими кривыми; О соденеп — генерация кодов; О сошЬ!пас — функции комбинаторики; О сошЬзсгпсс — структурьг комбинаторики; О сопгехс — контекстно-зависимые меню; О й!Ва!й — дифференциальная алгебра; Назначение пакетов расширения и обращение к нин 515 О Й((огшз — дифференциальные формы; О Йпапсе — финансовые расчеты; О яеп(цпс — рациональные функции; О ясошЗт! — трехмерная геометрия Евклида; О яеошеггу — евклидова геометрия; О ягопр — представление бесконечных групп; О !ттгггапз — интегральные преобразования; О 1тезуппп — симметрия Лв; О 1ша!й — линейная алгебра и структуры данных массивов; О пегшогкз — графы; О ппшарргох — численная аппроксимация; О ппшг!теогу — теория чисел; О огг!юро1у — ортогональпые полцишчы; О райс — Пи-адическпе числа; О р!отз — расширения графики; О р!отгоо!з — создание дополнительных графических объектов; О ро1усоо1з — действия с полиномами; О ротгзег1ез — формальные степенные ряды; О ргосезз — мультипроцсссы (для операционной системы г)п1х); О гйшр!ех — линейная оптимизация (симплекс-метод); О зтасз — статистика; О згпс)епг — функции в помощь студентам; О зцпноо!з — определенные и неопределенные суммы; О тепзог — тецзоры и теория относительности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
