Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 78
Текст из файла (страница 78)
ряды а. Ь, ...; О роисгеаге(ехрг) — создает ряд для вырзжсшш ехрг; О роиро!угро!,наг) — создаст ряд лли иол>шопа ро! по исрсмсииой уаг; О роизо1ие!5У5) — создаст ряд лля решения лиффсреипиальиых уравнений 5У5: О йрог1епг(а,Ы вЂ” возвращает частиос для а и Ь в видо ряда: О гетега>опта) — даст обратное к композиции разложсиис ряда а; О зийггасг(а. Ы вЂ” дает разпость рядов а и Ь. В выражении ехрг ли>гу> использоваться операторы +, -, *, / п ". С ними могут комб>ииироват>кя встросииыс функции и функции пользователя, цаприа>ср,Гф). Кроме того, могут использоваться следую>цис фуцкп>ш: Роиехр Ром>>тг Роигап Роисо5П РОИ5атг рои'оо РОИСОО РОИС5С роитес» , >г р>у по>к ет ООИСО РОИ5>ПП роисогй рою гт оою пг РОИ5ЕС роигапп Ооиабб роипеч РОИ ОО роисог РОИ 5СП Примеры применения пакета роазепе8 О грзтогягр, чаг, огбег) — преобразует ряд р в обычиу>о форму с заданием порядка огбег; О грзУогя(р, чаг) — преобразует ряд р в обычную форму с порядком, заданным переменной Огбег.
Здесь р — имя стеиеицого ряда, чаг — перемеииая, относительно которой записав ряд, огбег — порядок ряда. Если параметр огбег не указан, используется зиа- Назиаче>шс больиишства этих фуикпий пчевидпо из их иазвюшй — оии возвра>цают соотвстству>ошую фуикцшо (укззгии>ук> после с>юва рои в имени) в видо разложения в ряд или полицома. Например, роиехр раскладывает выражения с экспоиеициальиыми функциями в ряд. Получаемые функциями ряды представляются в сис>гп>ми поз> формате, Поэтому для их применения в обычном виде необходимо использовать фуикцию грзГогв в следующих видах: Пакет числовой аппроксимации пцтарргох 529 чеппе глобальной перемепиой Ог()ег.
Ниже даны примеры, иллюстрирующие тех- нику работы со степепиыми разложениями: > р1;=рочехр(а(п(х)). р(:= ргос(оо1 рпгт) ., еп(( ргос > р7;=роиехр(соа(х)); р2:= ргос()уоирсотп) . епд ргос тра[оси(р1,х); л 1 4 1 5 1ехе — х — — л — — х е0(х ) 2 8' 15' > тра[осе(р2.х): 1 л 1 и е — — ех е — е х + 0(л') 2 б > а:- роиаепеа[роиехр)(х): > Ь :- роиаег(ее[тра[оси)(а.
х, 5); 1 1, ! Ь:= 1 +к+ — х + — х е — х еО(х') 2' б 24 > с:= роиа<Ы( роиро)у(1+х"2+х,х), рои)ов(1+х) ): > О := Сратопп(с. х. б); 1л1л1„15> л':= 1 + 2л +-х +-л- — — л. +-х еО(х ) 2' 3' 4' 5 Прпмепсвпе фупкппй этого пакета достаточно просто и прозрачно, так что заинтересованный читатель иолсет сам опробовать па примерах работу тех фупкиий, которые пс были пспользовапы в приведенных примерах. Пакет числовой аппроксимации пиварргох Состав пакета пшпарргох Этот пакет содержит небольшое число безусловно очень важпых функций: > и(тв(пцеарргох): (сйеЫе8, сьеЬти)4 слеЬрайе, сдеьуогд сЬеьууьец соп3гигуогт, Ьттйе рпг(е„ Ьогпег/огт, Ь(/погт, )аигепг, т(п[тах, рпг(е, гетех1 В ик числе фупкпии интерполяции и аппроксимаппи полиномамн Чебышева, рядом Тейлора, отношением полипомов (Паде-аппроксимапия) и др.
Все они широко применяются не только в фупламептальпой математике, по и при решении многих прикладных задач. Рассмотрим их, начиная с функций аппроксимации аналитических зависимостей, 530 Урок 14. Математические пакеты Разложение функции в ряд Лорана Для разложения функции т в ряд Лорана с порядком и в окрестности точки х = а (нлц х = О) служит функция 1ангепС: 1ашепцт, х-а.
п) 1аогегты, х, п) Представленный ниже пример иллк)стрируст реалпзацшо разложения в ряд Лорана: и 1аигепт(Их),х=0,4) 2 1 а) 1 15) 1(0) е 1)(Я0) л е — (1) )(т)(0) л 4--(О )(Г)(0) х' 4 0(х") 2 6 и 1аигептгехргх).х,в); 2 3 1 4 5 1 ч-л+ — х + — х 4" л 4'0(х ) 2 6 24' Паде-аппроксимация аналитических функций Для аппрокснмапни аналитических функций одной нз лучших является Палеацпрокспмаппя, прп которой заданная функция приближается отношением двух полпнокюв. Для осуществления такой аппроксимации используется функция раг)е: расе( 1, х-а (ж и) ) рабе(1, х, (е.п)) Здесь г — аналитическое выражение илп функц5ин х — переменная, относительно которой записывается аппроксимирукнпая функция, а — коордш2ата то тхи, относительно которой выполняется аштроксимацня, в, и — максимальные степени полиномов числителя и знаменателя.
Технику аппроксимации Паде поясняет рис. 14А. На рнс, 14А представлена аппроксимация спнусоидальной функции, а также построены графики этой функции и аппроксимирующей функции. Под ннлш дап так)ке )рафик абсолютной погрешности для этого вида аппроксимации. Нетрудно заметить, что уже в интервале 1-п, п) т)огрешность резко возрастает на концах интервала аппроксимации.
Важным достоинством Паде-аппроксимации является возможность довольно точного приближения разрывных функций. Это связано с тем, что нули знаменателя у аппроксимирующего выражения способны приближать разрывы функций, если на заданном интервале аппроксимации число разрывов конечно. 11а рис. 14.5 представлен пример Паде-аппроксимации функции сап(х) в интервале от -4,5 до 4,5, включающем два разрыва функции. Как видно из рис. 14.5, расхождение между функцией гангенса и ее аппроксимирующей функцией едва заметно лишь на краях интервала аппроксимацин.
Оба разрыва прекрасно приближаются-аппрокспмируютцей функцией, Такой характер аппроксимации подтверждается и графиком погрешности, которая лишь на концах интервала аппроксимации 1-4,0, 4,0] достигает значений 0,01 (около 1Ж). Пакет числовой аппроксимации пцпгарргох 531 2 6 )2121 872781 !6662210 (> Снг (я)-> Ср > р101()С(я),С (я)),я †..Ь,оо1о )1 ск)г )7 ! 4 > р1ос(кн(я) — С(я), -Ь.. Ь,у - 01 0.01, о1оя ИЬ ок), 001 ОО76' Рис. 14.4. Аплронсниация Паде для синусондалнной функции Рис. 14.$.
Аппроксннвция Паде для рв)рненОй фуиКЦии тантвнса 532 Урок 14. Математические пакеты Паде-аппроксимация с полиномами Чебышева Для многих аналитических зависимостей хорошие результаты дает аппроксимация полиномами Чебышева. В общем случае применяется Пале-аппроксимация отношением таких полиномов. Она реализуется функциями свеЬраде: сПеЬрасе((. х-а. Ь. [в,п]) спеораое((. х. [и и,") спеЬраое((, а Ь.
[в,п!) Здесь а..Ь залает отрезок аппроксимации, в и и — максимальные степени числителя и знаменателя полиномов Чебышева. Приведенный ниже пример показывает аппроксимацию Паде полиномами Чебышева для функции [=сов(х): > 0(9(ты=10:спеЬрасе(сок(х),х=с.,!.0). .8235847380 Т(0, 2 х — 1) — .2322993716 Т(1, 2 х — ! ) — .053715 ! 1462 Т(2, 2 т — ! ) ч- .002458235267 Т(3, 2 х — ! ) -'; .0002821 190574 Т(4, 2 х — 1 ) †.7722229156 10 ~ Т(5, 2 х — 1) > сПеЬраое(сок(х) .
к=в .. 1, [2 . 3] ); (.8162435876 Т(0, 2 х — 1) †.1852356296 Т(1, 2 х — 1) †.05170917481 Т(2, 2 х- ! ) ))( Т(0, 2 х- ! ) + .060672! 4549 Т(1, 2 х — ! ) ч-.01097466398 Т(2, 2 х — 1 ) + .00053 1 1 640964 Т( 3, 2 х — 1 )) Наилучшая минимаксная аппроксимация Мпнимакспая аппроксимация отличается от Паде-аппроксимации минимизацией максимальной абсолютной погрешности во всем ип.гервале аппроксимации. Она использует алгоритм Ремеза (см.
ниже) и реализуется следующей функцией: ап пшах(Г, х=а..Ь. [П,п]. и. 'вахеггог') в(пчвах(Г. а .Ь, [в,п]. и. 'вахеггог') Здесь помимо уже отмеченных параметров и — процедура нли выражение, вахеггог — переменная, которой приписывается значение п)1п!шах-нормьь Ниже дан пример аппроксимации функции сок(х) в и~(тсрвале [-3, 3[: > в(п1вах(сок(х).х=.3,.3.[2.3]. 1.'в(ивах'); .5458304182+(,5119634586 1О ~ —.2308484266 х) т .5217186403+ (.1496104420 10'к+ .1062847466 х) х > в(ивах; 0462!605601 Наилучшая минимаксная аппроксимация по алгоритму Ремеза Для получения наилучшей полиномиальной аппроксимации используется алгоритм Ремеза, который реализует следующая функция: гевет(и. г.
а, ь, в п. сг(с, 'вахеггог') Пакет числовой аппроксиивции пагпарргпх 533 Здесь и — процедура, представляющая функцию тп(х) > 0 в интервале [а, Ь[, т— процедура, представляющая аппроксимируемую функцию )(х), а и Ь вЂ” ч)шла, залаипцпе иитсрвал аппроксимации [а, й[, в и п — степени числителя и знаменателя аппроксимирующей фуикгиш, сг(т — массив, иидексировапиый от 1, до и + и + 2 и прсдставляюипш набор оценок в крип)ческих точках (то есть точек кгаксимуьгагкгиппьгукга кривых погрешности), аахеггог — икгя переменной, которой присваивается мппимаксиая иориа тв а!ы(/ — г). Слсдугощггй пример ил)иострпруст иримеиеиие данной функции для аппроксимации фуикгищ егт(х): > 0)9 Ем=12:и:=ргос(х) 1.0 елей и:= ртос(х) !.0 епй ртос ~ Г:=ргос(х) еча1((егт(х)) впг); /:= ртос (х) еуа!К етг(х) ) спй ртос > сггт:=аггау(1..7. (0.,1,,25..5..75.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
