Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 73
Текст из файла (страница 73)
хпхтм чагм хчаг. Учес. Урчес) Злесь ((ех)пз — олио диффереициа.льнов урависщхе или список (множество), представляхпцие систему дифференциальных уравнений первого порядка, 1п1тз— множество или список начальных условий, чагз — зависимыс псрсмсииыс, 1чаг— независимые переменные, учес — вектор решений и урчес — вектор п)юизводных. Функция: 1пехс)а!ед(дев.1чаг,а1рпа Очаг) обеспечивает полиномиальное прслставление для линейного олиородиого лиффсрснциального уравнения второго порядка ((ез. Параметр а)р))а намечает точку сингулярности. > У ; (2 х 2+5"х 3)ь91ГГ(у(х),х,х)+(Вих.х"2) б1ГГ(у(х),х)+(1+х)*у(х) 0; > у'.
сове Вм)9( у. у(х) ): Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений ОЕ(оо(в 495 Г:=Ц!+х,5х-х,2х е5х'), О) > 1шнс1а1еп( У х, .2(б. у(х) ); 37 хт — — х=О 1О > (п01с!а1ш)( Ч, х, О. у(х) ); 3 ! х +-х+-=О 2 2 > 1пгнс1а1ес( т. х, 1. у(х) ): хт — х=О Функция; гееисеегсег(сес.очаг,раггво1. во1игтоптапл) обеспечивает понижение порядка дифференциального уравнения Оез (илп системы уравнений, представленных списком или множеством) при зависимых переменных Очаг, частном решении рагсво1 (или списке чаш вых решений) и флаге зо1 иь1 опгогя, показывающем, что решение происходит авар иям л~стодоы (ехр1 ) с) Ь1у). Для демонстрации действия этой функции воспользуемся примером из ее справочной страницы; > се := Ш ГГ(у(х).хвз) - б*стбт(у(х),х$2) + 1!*Ш ГГ(у(х),х) — б"у(х): Не:= — у(х) — 6 — у(х] е 11 ~ — у(х) — 6 у(.х) ~яхт ~ ~яхт ~ 1дх > во1 := ехр(х); за(;= с" > гесисеогсег( ее.
у(х). во1); с в у(х) — 3~ — у(.т) +2у(х) а,' ! ( ах> гесисеогеег( ее. у(х). во1, баю в): С' "'4 "'3 Функция: геви1агврщев, паг.ечаг) вычисляет регулярные особые (сингулярные) точки для дифференциального уравнения второго порядка или системы дифференциальных уравнений Оез. Следующий пример поясняет применение данной функции; > спета:- (21>(х"2 - х + 1).0,100>х"2*(х-1)"2); > геви1агвр(спета. х); (О, !) Еще две функции пакета 0ЕЬ001в: Сгапв1аее(сев.(чаг.ре,очаг) ипегапв1ате(сев.1чаг,ре Очаг) выполняют особую операцию трансляции дифференциального уравнения (или списка дтафференциальнык уравнений) из центрированного относительно 0 в цсн- 496 Урок 13. Решение дифференциальных уравнений трированное относительно 1 и наоборот, С деталяьш этого специфического процес- са заинтересованный читатель может познакомиться в справочной базе данных.
И е(це одна полезная функция пакета: чаграгав(во1а,чл чаг) находит общее реп(ение дифференциального уравнения (пли системы уравне- ний) во1 з методом вариации параметров. Параметр ч задает правую часть урав- нения; если он равен О, шцется только частпчиос решение; ь чаграгав( [ц)(х). цз(х)3. й(х), к). С, и1(х) + С ц2(х) + ц2(ч) е(х) (а 1 (а ц!(х) à — ц2(л ) 1 — в2(х) 1 — ц1(х ) ~ (а ) (ах + . ' ах в2(х) цЦх) я(х) о1(х) ( — о2(л.) 1 — в2(х) à — о1(л) 1а. ) 1ах Более подробную информацию об зтнх функциях читатель найдет в их спра- ночных страницах, а такако в информационном документе ()е(оо)з,пъюз, содержа- щем систематизированное описание пакета 0Етоо1 з с многочисленными приме- рами его применения.
Графическое представление решений дифференциальных уравнений Применение функции одер1о1 пакета р1о1ь ш)ер1ос(в,чагв,г.о) где з — запись (в выходной форме) дифференциального уравнения или систе- мы дифференциальных уравнений, решаемых численно функцией сзо1 че, чагв— переменные, г — параметр, задающий пределы решения (например, а..Ь), и о— необязательные дополнительные опции. На рис.
13.5 представлен пример решения одиночного дифференциального урав- нения с выводом ре~пения у(х) с помощью функции о()ер)от. В этом примере решается дифференциальное уравнение: у '(х) - сов(х[ч(х)) Для обычного графического представления результатов решении дифференциаль- ных уравнений можст использоваться функция о()ер1 о[ пз описанного выше пакета р1о1ж Эта функция используется в следующем вилс; Графическое представление решений дифференциальных уравнений 497 при у(0) - 2 и х, меняющемся от -5 до 5. Левая часть уравнения записана с помощью функции вычисления производной йтГ.
Результатом построения является график решения у(х). В другом примере (рис. 13.6) представлено решение системы из двух нелинейных дифференциальных уравнсннй. Здссь с помощью функции ос)ер)от строятся графики двух функций — у(х) н г(х). В этом примере решается система: учк) - жк). г 1х) = 3 5)п1Их)) при начальных условиях у(0) = О, г(0) = 1 и х, меняющемся от — й до ) прп числе точек решения, равном 25.
Иногда решение спстемь) из двух дифференциальных уравнений (или одного дифференциального уравнения второго порядка) представляется в виде фазового портрета — при этом по осям графика откладываются значения у(х) и г(х) цри пзмсиепип х в определенных пределах. Рисунок 13.7 демонст)п)рует построение фазового портрета для системы, представленной выше. Обычное решение, как правило, более наглядно, чем фазовый портрет решения. Однако для специалистов (например, в теории колебаний) фазовый портрет порою дает болыпе инфориацвш, чем обычное решение.
Оп более трудоемок для построения, поэтому возможность Мар!е 7 быстро строить фазовыс портреты трудно переоценить. рис ВЗ.В, Пример решения однночнопв днффврвнинвяьного уравнения 498 Урок 13. Решение дифференциальных уравнений Рис. 13.6. Припер решения системы из дзул дифференциальных уравнений Рис. 13.7. Представпение решения системы дифференциальных уравнений в виде фазового портрета Графическое представление решенийдиффереициальиыхурзвиеиий йв99 Функция 0Ер!о1 из пакета 0Е1ооЬ Специально для решения и визуализации решений дифференциальных уравнений и систем с дифференциальными уравнениями служит инструментальный пакет ОЕСоо1з. В него входит ряд функций для построения нацболее сложных и изысканных графикон решения дифференциальных уравнений. Основной из зтпх функций является функция ОЕр)оС, Функция ОЕР1оС может записываться в нескольких формах: ОЕр1асщеопм чагм Сгапде.
еопш Оер1ос(аеспв, чагм сгапде, 1пчсс еопю ОЕр1ос(оеапс, чапо. гапде. угапце, хгапце. еапш ОЕр'аСШеспс. чагм Сгапде, 1п1сс. хгапде чгапце, еспс) Здесь Мецпз — список или множество, содержащее систему дифференциальных уравнений первого порядка плц одиночное уравнение любого порядка; часов зависимая переменная пли список либо множество зависимых переменных; Сгапде — область изменения независимой переменной С; 1п1Сз — начальные услонпя для решения; угапце — область изменения для первой зависимой переменной, хгапде — область нзл~енення для второй зависимой переменной; ецпз— опция, записываемая в виде Меуыогб=та)пе.
Замена имен церемонных другими в данном случае недопустима. Эта функция обеспечивает численное решение дифференциальных уравнений илп их систем прп одной независимой переменной С и строит графики решения, Для автономных систем зтц графики строятся н ниде нектарного поля направлений, а для неавтономных систем — только в виде кривых решения. По умолчанию реализуется метод Рунге — Кутта 4-го порядка, что соответствует опццп веСЬоб=с1азз1са1 [гй41. С функцией ОЕр1оС могут использоваться следующие параметры: О аггоыз Суре — тнп стрелки нектарного поля ('5МАНЕ', 'МЕ010М', 'ЕАМ6Е', 'Е)МЕ' илц 'МОМЕ'); О со1оцг, со1ог = аггоысо1опг — цнет стрелок (задается 7 способами); О 01гдг10 = [1псецег,тпСедег] — шало линий сетки (по умолчанию [20, 20]); О 1СегаСтопз = тпСедег — количество итераций, представленное целым числом; О 11песо1ог, 11песо1ог 11пе 1п(о — цвет линии (задается 5 способами); О веСЬос).'гМ4' — задаетметодрешения('ец)ег', 'Ьасйец1ег', 'тпрец1ег' или 'гМ4'); О оЬзгапде - ТМОЕ,ЕАС5Š— задает (цри ТЙОЕ) прерывание вычислений, если кривая решения выходит из области обзора; О зсепе = [паве, паве) — задает имена зависимых переменных, для которых строится график; О всерз1хе Ь вЂ” шаг решения, по умолчанию равный аЬз((Ь-а))/20 и представленный вещественным значением.
500 Урок 13. Решение дифференциальных уравнений На рис. 13.8 показано решение системы дифференциальных уравнений: .т'(!) = 1(!) (! -у(< )), у'(!) = 0,3 у(<) (х(!) — ! ), онисыва!ощих модель Лотки — Вольтерра прн заданных в документе изменениях г, )г(г) и р(г). 1'ешение представлено в виде векторного поля, стрелкн которого явля!отса касатсльньжгн к кривым решения (сами этн кривые не строятся). Обратите внимание на функциональную закраску стрелок нскгорного поля, делавшую рев!еннс особенно наглядным (праг!Ла, лшвь !ш зк[)ане цветного дигпл(.'я, а нс на страницах книги), 'Кта<ГВЕГ(Умед!Нмс летие! О Л','ОС Ооьтнсуеь .нер.:-„1 ' С':,",' ',: .
',. '- .," .: ' ГЕ:..:а)Д[н Построение решения системы иа двух дифференциальных уравнений (модель [[отки-Вольтерре) с помов[иго функции [)Ер!о[ пакета 0Е1оо1в (> 1ЕЬ<окк 1е) с ОВР1ос([ел<к(г(Е),Е) г(Е)*(1-у(Е)),с!1ГЕ(у(Е),Е) .Зеу(Е)*(г(Е) — 1)1,[г(Е),у(Е )),Е -2..2,г--1..2,у -1..2,аггоые 1ЛВОВ,Е1Е1е-'модель Лотки-Вольтерра ! оо1ог [.Зеу(Е)*(г<Е)-1),*(Е)*(1-у<Е)),.1))1 Микеле Лот и.аслыеола Рис. 13.8. Решение системы дифференциальных уравнений Лотки — Вальтерра с выводом л виде графика векторного поля Е!це интересней вариант графиков, представленный на рис.
13.9. Здесь помимо векторного поля несколько иного стиля построены фазовые портреты решения с использованием функциональной закраски их линий. Фазовые портреты построены для двух наборов начальнь!х условий: х(0) - у(0) - 1,2 и лк(0)" 1 в у(0) = 0,7. Следует отметить, что функция ОЕр)о1 может обращаться к другим функциям пакета 0Итоо) 8 для обеспечения специальных графических возможностей, таких как построение векторного поля или фазового портрета решения. Графическое представление решений дифференциальных уравнений 501 е рммтйв Построение комбинированного фазового портрета с помощью функции РЕр>о! пвквтв РЕ>оо<В > 1(Л<ОВСссся>: ОкрссС<<0122<х<С),С)- <С)*(1-у<С)),О122<у<С),С)-.э~у<С)е<х(С)-1)>,Г <С),у<С )>,С -т..т,(<х<0) 1.2,у(0) 1.2>,<х(0) 1,у<0) .'»>,вверя1яе .2,1)С1е 'Модель Лотки-ВоиьтеРРа',сс1сг <У(С)*<х(С)-1),х(С)е(1-У<С)),.5>,11оесс1о Стт10,аггс, кв Ивпхем,еевьса гн245); Малехо Лотки.еалиерре Рис.
15.9. Пример построения двух фазових портретов на фоне векторного поля Функция 0Ер1ойЗд из пакета 0ЕТооЬ В ряде случаев решение систем дифференциальных уравнений удобно представлять в виде пространственных кривых — например, линий равного уровня или просто в виде кривых в пространстве. Для этого служит функция ОЕр!013<>: ОЕр>оСЗШЕедш. чагз, Сгапре. >шсзет. о) ПЕр>оГЗШОеепа. чагз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
