Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 69
Текст из файла (страница 69)
12.02. Графическая иллюстрация к теореме Пифагора Визуализация дифференциальных параметров кривых Дифференциальные параметры функции Ях), описывающей некоторую кривую, имеют большое значение для анализа ее особых точек и областей существования. Так, точки с нулевой первой производной задают области, где кривая нарастает (первая производная положительна) или убывает (первая производная отрицательна) с ростом аргумента х. Нули второй производной задают точки перегиба кривой.
Следующая графическая процедура служит для визуализации поведения кривой /, Ях) на отрезке изменения х от а до (): расширенные средства графической визуализации 4б7 и!СЫр) атз): зпаре р1оС :- ргос((1.а.Ь) )оса) т,п,х1,х2.ха!О,д.у1.У2,А,В. а,и,з1оре. сопсач; п:- 200: 0 ;- (Ь-а)/и; х2 ;- а; М : тах!а!Се( т(х), х - а..Ь); а;= а!п!а!зе(т(х),х - а..Ь); тог ! тгаа 1 Со и оо х1:= еча1т(х2); У1: еча1(( т(х1)); х2 ;- еча)т(а + !>0)! У2 :- еча!т( т(х2)); хппа;- х1 + О/2: з!оре :- еча1[( зцЬз( х ха!О, О!тт( т1.х ))): сопсач :- еча1т( заЬз( х ха!Е, еттт( т1,х Ф 2))): !т( з1оре > 0 ) Саеп А[!]:=р1оС(т),х-х1..х2,со1ог Ы!ае Сшсапеззмцахез-Ьох); е!зе А[!]: р1ас(т1,х х1,.х2.со!аг год,сысспезз 2,ахез ьох); тт." тт( сапсач > 0 ) тьеп В[! ]:=ра! Удало! ОС ( [ [х1.
М], [х1, У1]. [х2, У2], [х2, М] ] со1ог дгееп.зту1е рассьподг!О); е1зе В[!]: ро1удопр!оС( Нх1,а]. [х1,У1], [х2,У2]. [х2,аН, со1ог сага!.зсу)е расспподг!О); тт: оо; снзр1ау(( зец( А[!],1-1..п ).зец( В[!],1-1..п ) ) ): епо: В этой процедуре заданы следующие цвета (их можно изменить): Таблица 12.1. Цвета при визуализации в процедуре тдаре р!от Изменение у(х) Цвет Синий Красный Возрастание убывание Площадь Цвет Зеленый Коралловый Над минимумом Под максимумом Например, для функции: > т; х.>зтп(х)>х/2!кларе р1оС(т(х),-б,б): 1 /':= х -з з!п(х) + — х 2 построенный график будет иметь вид, представленный на рис. 12.43 (естественно, в книге цвета — лишь оттенки серого). Рисунок 1243 дает наглядное представление о поведении заданной функции. Рекомендуется опробовать да[)ную процедуру на других функциях.
Следует отметить, что, поскольку процедура использует функции в1в1в1ае и вах1в1хе, она может давать сбои при исследовании сложных функций, содержащих специальные математические функции или особенности. Иногда можно избежать такой 4б8 Урок)2. Расширенныесредства графики ситуации, исключив особенность. Например, для анализа функции яп(х)ггх можно записать ее в виде: Г: х- зт х-0 Свел 1 е)ве з(п(х)/х епе (Г; зьаре р) ое(Г(х), -10,10); Исполнение приведенной выше строки ввода дает график, представленный иа рис, 12.44, Рис. 12.43. Визуализация поведения функциидх) ое ол Рис. 12.44. визуализация поведения функции з(п(х)/х Данная процедура дает хорошие результаты при анализе функций, представленных полиномами.
Вы можете сами убедиться в этом. Иллюстрация итерационного решения уравнения 1(х) х Классическим методом решения нелинейных уравнений является сведение их к виду х = у(х) и применение метода простых итераций х, - а(х,,) при заданном значении х,. Приведем пример такОго решения: расширеииые средства графической визуализации 469 ( : х .»3*)л(х+1); г';= х -з 3 1в(х + 1 ) » х(!О : 0.5: хО;= .5 хв ; .5: хО:=.5 » Гог и Ггов 1 зо 16 ео х! !К:- ета)Г( Г(х~ !(К-1) )): ое: х/:= 1.216395324 х2;= 2.387646445 хЗ:= 3.660406248 х4;= 4.617307866 х5;= 5.177557566 хб:= 5.462768931 х?:= 5.598173559 х8:= 5.660378631 хР:= 5.688529002 х(0:= 5.70!18!9!О х11:= 5.706851745 х12:= 5.709388956 х!3:= 5.710523646 х!4:= 5.711030964 х15:= 5.711257755 х!б:= 5.711359134 11струдно заметить, что значения х„в ходе итераций явно сходятся к некоторому значензпо. Проведем проверку решения, используя встроез(пузо фупкцшо зо!че: » Г(х) х; зо)те(Ф, х); 3 )п(х+ 1) =х О,— 3(.ав)Ьсп%(~ -1, — — е ! — 1 1 (-рз)3 3 Результат выглядит необычно — помимо довольно очевидного корня х = О значение другого корня получено в виде специальной функции Ламберта.
Впрочем, нетрудно найти и его численное значение: » еча) Г(З); О., 5.711441084 Однако как сделать процесс решения достаточно наглядным? Обычно )(ля этого строят графики двух зависимостей — прямой х и кривой Ях) — и наносят на пих ступенчатую линию перемещения точки хг Специальной функции для графиков подобного рода Мар!е 7 не имеет. Однако можно составить специальную гатО Урок 12. Расширенные средства графики процедуру для их построения.
Ее листинг, заимствованный из примера, описанного в пакете обучения системе Мар]е 7 — РоыегТоо] з, представлен ниже: я геатагЫ и)СЬ(р!оса): Чlагп)пр, вте пате спапресооп)а Ьаа Ьееп геоейпео я гес р)а( : ргос( Г1, а , Ь, х0) 1оса1 х1, х2, у1, у2, т , р1, р2, рз, и, а1,а2; х2 :- хО; у2:- 0; п ; 10; Рог т Ггою 1 Со и Оо х1: х2; у1: У2; у2: Г(х1); х2 :" у2: р1[1] ; р1от([[х1, уц,[х1, у2ц .х = а..Ь,со1ог Ы асх); р2[(]; р1от(Пх1.у2],[х2. У2]].х а..Ь,со1ог Ыасц):осц сцяр1ау( р1от( Г1(х). х - а..Ь, Сысхпеаа 2, со1ог - Ыце), р1от(х, х - а..Ь, Скцсхпеаа - 2. со1ог = Ыасц), аец( р1[1], 1 1..п), аец( р2[!].
1 1..п) ); еш): Парал(етралти этой процедуры являются; Г1 — функция Ях); а и Ь вЂ” пределы изменения.х при построении графика; х0 — значение х, с которого начиваются итерации. Исполнив команду: > гес р1от( Г(х). О, О, хО); можно наблюдать график, иллюстрпруюп(пй итерационный процесс. Оп представлен на рис.
12.45. а 1 2 3 4 Рис. 12.40. Иллюстрация процесса итераций Нетрудно заметить, что для данной функции процесс итераций хотя и не очень быстро, но уверенно сходится к точке пересечения прямой у = х и кривой у -Ях). Вы можете, меняя зависимость 1[х), провести исследования сходимости уравнений х Ях). Построение сложных фигур в полярной системе ноординат Некоторые виды математической графики имеют определенную художественную ценность и фигурируют в символике различных стран и общественных Расширенные средства графической виэуадиэации 4171 организаций. Остановимся на нескольких таких примерах применительно к графике в полярной системе координат. Представим фигуры, образованные множеством линий на плоскости.
Рисунок 12.46 демонстрирует одну из таких фигур. Это семейство из 1О кардиоид разного размера. Параметр вса111пд сопзтга1вес1 обеспечивает правильное отображение фигур — каждая кардиоида вписывается в огибающую ее невидимую окружность. Размер кардиоид задается значением параметра а. Рис.12.4б. Семейство кврдиаид нв одном графике Еще одно семейство кардиоид, на сей раз шестилепестковых, представлено на рис. 12.47. Здесь также изменяемым параметром каждой фигуры является ее размер, заданный параметром а.
Фигуре, представленной на рис. 12.48, трудно дать определенное название. Назовем ее волнообразной спиралью. По образу и подобию приведенных фигур читатель может опробовать свои силы в создании новых красочных фигур в полярной системе координат. Некоторые из них поразительно напоминают снежинки, картинки в калейдоскопе и изображейия морских звезд. Если убрать параметр со1 ог-о1аск, введенный ради черно-белой печати картинок в книге, то можно усилить красочность фигур за счет их разноцветной окраски.
Расширенная техника анимации 473 Построение сложных фигур импликативной графики Импликативные функции (см. урок 7) нередко имеют графики весьма любопытного вида. Ограничимся парой примеров построения таких графиков, представленных на рис. 12.49. Эти фигуры напоминают контурные графики функции двух переменных. Приведенные примеры дают весьма наглядное представление о больших возможностях визуализации решений самых различных задач в системе Мар!е зг.
Можно значительно расширить их, эффектно используя описанные ранее приемы анимации изображений. В целом надо отметить, что графические возможности Мар!е 7 дают новый уровень качества графики современных математических систем, о котором с десяток лет тому назад можно было только мечтать.
' й:,й)гаш ' >:, '!.,ЬявММ.':!вйа1дыяз(йо':"'не(17т).='к)ФЯ(йсгуоч(везМЙ6ЙЯ~Й~.. [ Примеры построения сложных фигур импликативной графики 1> ы(СЬ(рн Св): > 1пр11с1тр1ое(в*у*сов(х"яву*а)-1,х — 10..10,у — 10..10,пппро1пе» 1500, со1ог Ь1вс)т )г д (~~~~~с~~~1~~~~ „~1~~~~~. > 1пртьсаср1ос(в1п(за+а*кап(у)) сов(у+Засов(х)),х -10..10,) -10 ° ° 10, со1ог Ь1вси)т рис. 12.49. Построение сложных фигур, заданных имплнкативныин функцняии Расширенная техника анимации Анимирование разложения импульса в ряд Фурье тзнимированне изображений является одним из самых мощных средств визуализации результатов моделировання тех или иных зависимостей или явлений, 474 Урок 12. Расширенные средства графики Порою изменение во времени одного из параметров зависимости дает наглядное представление о его математической или физической сути.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
