Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Затем можно точно вычислить корни функции (точки перехода через О), экстремумы, крутизну наклона (производную) в заданных точках и т. д. Еще более информативна в этом отношении трехмерная графика — для большинства функций двух переменных вида 2(х, у) нужно очень богатое математическое воображение, чтобы представить их вид — особенно в одной из многих десятков координатных систем. Однако некоторые виды графиков трудно представить себе даже при наличии такого воображения. В этом отношении Мар! е 7 предоставляет поистине уникальные возможности, обеспечивая простую и быструю визуализацию решений.
Ниже мы рассмотрим несколько наиболее характерных примеров такой визуализации. Системы линейных уравнений могут решаться как с помощью функции 50)че, так и с помощью матричных методов. Замечательной возможностью функции зо)че является возможность решения относительно ограниченного числа переменных. Например, систему линейных уравнений с переменными х, у, 2, Г н и можно решить относительно только первых трех переменных х, у и 2. При этом 458 Урон 12, Расширенные средства графини узрес — уиаг-ш1п у..шах у; о — необязательные параметры, например указывающие цвета линий, представляющих неравенства или равенства, и областей, образованных этими линиями и границами графика.
Пример применения этой функции представлен на рис. 12.33. Рис. 12.33. Пример графической интерпретации решения системы неравенств Обратите внимание на задание цветов: орттопзреаз1Ые задаст цвет внутренней области, для которой удовлетворяются все неравенства (равенства), орс1опзореп и ор11опзс1озес1 задают цвета открытых и закрытых границ областей графика, ор11опзехс1ооеб используется для цвета внешних областей.
График дает весьма наглядную интерпретацию действия ряда неравенств (или равенств). Конформные отображения на комплексной плоскости Объем данной книги нс позволяет объяснить столь тонкое понятие, как конформные отображения на комплексной плоскости. Ограничимся лишь указанием на то, что в пакете р!о13 имеется функция для таких отображений: соптогеа1(р.г1,г2,ом Расширенные средства графической визуализации 459 где Р— комплексная процедура или выражение; г1, г2 — области, задаваемые в вндс а..Ь нлн паве а,.Ь; о — управляющие параметры.
Таким образом, для построения нужного графика достаточно задать нужное выражснне и области изменения г1 и г2. Пример построения конформных изображений для трех выражений дап па рнс. 12.34. Рис. 12.34. Конфорнное отображение на комплексной плоскости графнкоа трех зависимостей Средства копформного отображения в Мар!с 7, к сожалению, остщотся рудиментарными н вряд ли достаточнымн для спсциалпстов в втой области математики. Графическое представление содержимого матрицы Многие вычисления имеют результаты, представляемые в форме матриц. Иногда такие результаты можно наглядно прсдставить графически, например в виде гистограммы.
Она представляет собой множество столбцов квадратного сечения, расположенных на плоскости, образованной осями строк (готу), и столбцов (со!шпп) матрицы. При зтом высота столбцов определяется содержимым ячеек матрицы. Такое построение обеспсчиваст графическая функция ваСг1хр)оС из пакета р1отв. На рис. 12.35 показано совместное применение втой функции с двумя сабо Урок 12. Расширенные средства графики функциямн пакета 11па1ц, формирующими две довольно экзотические матрицы А и В. Рис.
12. ЗЗ. Графическое представвенне матрицы На рис. 12.35 показана графическая визуализация матрицы, полученной как разность матриц А и В. Для усиления эффекта восприятия прпмеияегся функциональная закраска разными цветамп. Лля задания цвета введена процедура Р. Визуализация ньютоновских итераций в комплексной области теперь займемся довольно рискованным экспериментом — наблюдением ньютоновских итераций с их представлением на колгнлексной плоскости. На рис. 12.36 задана функция ~(г) комплексного аргумента.
Проследить за поведением этой функции на комплексной плоскости в ходе ньютоновских итераций позволяет графическая функция соар1ехр1отЗс1 из пакета р!отв. Наблюдаемая картина весьма необычна и свидетельствует о далеко не простом ходе итерационного процесса. Расширенные средства графической визуализации 4ом1 Рис. 12.3б. Наблюдение эв процессом ньютоновских итераций в трехмерном пространстве Я ВНИМАНИЕ Риск работы с этим примером заключается в том, что в системе Мер~в 7 он иногда вызыввет фетальные ошибки, ведущие к прекращению работы с системой. Обычно при запуске этого примера сразу после загрузки системы Мвр!е такого не происходит, но, когда память загружена, сбой вполне возможен.
Объективности ради надо заметить, что е системах МврГе б и 7 подобное поведение системы не было звмечено. 7ем не менее рекомендуется записывать подобные примеры нв диск перед их звпуском. Визуализация корней случайных полиномов Наряду с традиционной для математических и статистических программ возможностью генерации случайных чисел Мар1с 7 предоставляет довольно экзотическую возможность генерации случайных полиномов с высокой максимальной степенью.
Для этого используется функция: гвпброЗу(квг.о'г Она возврагцает случайный полипом переменной ыаг, причем максимальная степень полинома вшах может указываться параметром о вида бедгее пщах, 462 Урок 12. Расширенные средства графики Приведем примеры генерации случайного полннома с максимальной степенью 50: > ро)у;-гапоро1у([х).ведгее=50); ~1 56 к«+ 49 за 63 зк+ 57 зз 59 а+ 45 о > ро1уг-гапдро1у([х),ведгее-50): ро(у:= 66 хка + 54 хз" — 5 хзо+ 99 х'т — 61 хз — 50 хз >ро1у:-сандро)у([х).дедгее-50): ро(у;= -91 хкп — 47 хзз — 61 хат + 41 х'з — 58 ха — 90 х" С помощью функции а11уа1нез можно построить список 5д корней случайного полннома Л с помощью команды вида: > нз(П(р1отз).сожр1ехр1о.(5А,х--1,2 .1 2.з(у1е=рощт) построить комплексные корни полученного случайного полинома в виде точек на комплексной плоскости.
Один из таких графиков (их можно построить множество) показан на рис. 12.37. Рис. 12дт. Расположение корней спучайнаго попиноиа на коиппексной плоскости Можно заметить любопытную закономерность — точки, представляющие корпи случайного полинома, укладываются вблизи окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Однако этот пример, приводимый в ряде книг по Мар1е, показывает, что порою вычисления могут давать довольно неожиданные результаты.
Кстати говоря, аналитически можно вычислять корни полинома с максимальной степенью не более четырех. Визуализация поверхностей со многими экстремумами Мар1е 7 дает прекрасныс возможности для визуализации поверхностей, имеющих множество пиков и впадин, другими словами, экстремумов. Рисунок 12.38 показывает задание «вулканической» поверхности с глубокой впадиной, окруженной пятью пиками. Здесь полезно обратить внимание на способ задания такой поверхности Яа, 2г, с) как функции трех переменных а, Ь и с. Он обеспечивает индивидуальное задание координат каждого экстремума и его высоты [отрицательной для впадины).
Расширенные средства графической визуализации 463 Рис. 12.3В. Построение графика поверхности с нножестаон зкстреиуноа Наглядность этого графика усилена за счет применения функциональной окраски и контурных лищш, нанесенных на саму поверхность. Все эти возможности обеспечпвагот параметры основной функнии р1отЗгз. Л па рис. 12.39 представлен ецте одпп способ задания поверхности — с помощью функции двух угловых переменных г(0, ср). При построении этого рисунка также используются функциональная окраска и построение контурных линий.
Визуализация построения касательной и перпендикуляра В ряде геометрических построений нужно строить касательную и перпендикуляр к кривой, отображающей произвольную функцию г(х) в заданной точке х а. Рисунок 12.40 поясняет, крк это можно сделать. Линии касательной Т(х) и перпендикуляра ттт(х) определены аналитически через производную в заданной точке. Во избежание геометрических искажений положения касательной и перпендикуляра при построении графика функцией р1от надо использовать параметр зса11па сопвтга1пеб.
:вб4 Урок 12. Расширенные средства графики Рис. 12.39. Построение графика поверхнопи, заданной функцией двух углавнх переиенннх Рнс. 12.40. Построение касательной и перпендикуляра к заданной точке графика функции Ях) Расширенные средства графической виЗуализации 4бб Визуализация вычисления определенных интегралов Часто возникает пеобхолимость в геометрическом прелставлспии определенных интегралов в виде алгебраической суммы плошадей, ограниченных кривой польштегральной функции Дх), осью абсцисс х и вертикалями х = а и .т = 6 (пределами интегрирования). При этом желательно об( спеченпе закраски верхней и нижней [отрицательной и положнтельной) площадей разными цветамп, например зеленым лля верхней плошади и красным для шгя<неп.
Как известно, численное значение определенного интеграла есть разнос)ш этих площадей. К сожалению, в Мар1е 7 нет встроенной функции, явно даю[цей такое построение. Однако ее несложно создать. На рис. 12Л1 представлена процедура а р[от, решающая эту задачу. Параметрами процедуры являются интегрируемая функция у[х) [заданная как функция пользователя), пределы шпегрпровация а и Ь и пределы слева аа и справа Ьп, зада)о[цне область построения графика /Гх). Рисунок 12А1 дает прекрасное представление о сущности интегрирования для определенного интеграла. Приведенную па этом рисунке пропслуру вюжпо использовать для подготовки эффектных уроков по иптегрпрояанию разных функций. г2: вча12(а > 1*О]г у2: еча12(г(г2))г 12< уз > О ) вь Л[(1:-ро[удо р[ое<[[к[,О),[гз,уз),[гг,уг),[гг,в)1, «о1ог дгееп,асу1в рас«Ь одгсе)г ы л[1[г-розудо р[ос< [[ 1,«1,[г[,у[1,[аг,уг[,[гг,о]1,«о[от-ген, а[у1в ра[«ьоодг(О)] 211 оог Н1чр1ау([р1ос(2(г), г а ..Ьл, ««1«г Ь[«е сь[«клева 2, О1а«оос (гче), а ) (Л( 1 1 1 1 .
о) ) ] ю О > 1::с->а1 (г)/г:а р1о1(2,-2,5,— 10,10)Г рис. 11.41. Графическое представление определенного интеграла 466 Урок 12. Расширенные средства графики Визуализация теоремы Пифагора Еще один пример наглядного геометрического представления математических понятий — визуализация известной теоремы Пифагора (рис. [2А2).
В этом примере используется функция построения многоугольников. Наглядность построений усиливается выбором разной цветовой окраски треугольников и квадрата. Ь:=5 [[> е[СЬ<р)отв): 01»р1»у< ро1уоопр1оС ( [ <О, 0], <Ь, 0], [О, а] ],ео1ог гвт( ), ро1уоопр1ое( [[Ь,О),[а+Ь,О],[а+Ь,Ь]], во1ог Отвел ), ро1уиопр1от( [(а+Ь,Ь],[а+Ь,а+Ь],[»,а+Ь]], ео1ог Ыве ), ро1уоопр1ое( [[О,а],[а,а+Ь],[о,а+Ы ], оо1ог ч)о1ве ), ро1ут)опр1ое(([[Ь,О],[а+Ь,Ы,[а,а+Ы,[О,а]]),во1ог ув11ое), веа11пи ооииега»пеп)т Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
