Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Эти средства мы более подробно рассмотрим в дальнейшем. 488 Урок 13. Решение дифференциальных уравнений Решение системы из двух дифференциальных уравнении с выводом графика региения в полярной системе координат > «у« .- шс(у(х),г)-2«а(х) "«1 (в«х)-у(х)*по«(2*х)-х, п12цх(х),х) у(х) ео (уос),х(х))> « -д«о1«е((«у«,у(0) О,х(0)-1),топ«,туре-пшьег1с,опер«1-11«тргопеспхе): а а он= — т(х) 2»(х)ы(5»> — Их)сы>2х) — х,— Мх)«т(х) (ь ' д» «х *: (з(х),х(»Н (> Ю Ь («,у(х)):2> Ь («,х(х))г > Р1от((у,з),0..12,«о1ох ьзасх)г ->00 ->50 Рис.
13.3. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом с выводом всех графиков искомых завнсииостей Я ВНИМАНИЕ При решении некоторых задач физики и радиоэлектроники выбираемый по умолчанию шаг изменения аргументах илн ( — 0 может привести к неустойчивости решения. Неустойчивости можно избежать рядом способов. Можно, например, нормировать уравнения, избегая необходимости использования малого шага.
А можно задать заведомо малый шаг. Например, при ше(кой=с(аниса( для этого служит параметр з(ерзне Ю Примеры такого подхода будут даны в уроке 17 (см. Решение физических задач и моделирование цепи на туннельном диоде). Дифференциальные уравнения с кусочными функциями Функции кусочного типа широко используются при матея(атическом моделировании различных физических объектов и систелс В основе такого моделирования обычно лежит решенно дифференциальных уравнений, описывающих поведение оГ>ъектов и систем.
Покажем возможность применения кусочпых функций для решения дифференциальных уравнений. Ниже представлено задание дифференциального уравнения первого порядка, содержащего кусочную функцию: 6111(у(х). х)ь р1есш(110(хсх 2-3. ехр(х/2))еу(х); ( (Н2») ег);= — у(х) ~ + ( х<х — 31 у(х) О о(йе«и сте~ Основные средства решения дифференциальных уравнений ()89 (Ш4) (-2 е 1 1 л < — — — чПЗ 2 2 ( ) 14 - 1)4 Ч' ) 3 ) С/ (24 1 ! х<-+-,ПЗ 2 2 у(х) = )ы4-))4)))) ())24) (нее о41)31 )-2е — 2е +24 С1 е 1 ! -+-,/)З йх 2 2 Нетрудно;)аметит)н что результат получен также н форме кусочиой функ)ши, пол)шстью оирелеляк)щей решение па трех интервалах изменениях. Приведем пример решешш дифференциального уравнения второго порядка с ку- сочной фупкциеи: » Ец := О)(((у(Х), ХФ2) + Хее(Л(у(Х).
Х) + у(Х) р(ЕСЕИ)ВЕ(Х О, 1); е):= — у(х) +х — у(х) + у(х) = ) '-=~д,т. ~ ~дх ~ 'О 0<х отде) и (уе Ево)че(ец. у(х)): у(х) = ) 2 е' '2" )ет) — 1Лх С1+е)ч' " С2+е' ' ' 'ео' -е' (2 л<0 0<х В копие этого раздела приведем пример решения нелинейного дифференциаль- ного уравнения Риккати с кусочпой функцпеи: ец := о)(Г(у(х), х)-р)есеи)ве(х>0, х)"у(х) 2; д (' х О < х ец:= — у(л ) = ( у(х) дт ~ 0 о(1)ес)ч)йе~" » ))во)че(( у(0) = 1. ец ). у(х)); 1 С1 х<0 у(х) = 1 -2 т — 2 С) 0<х с) =) В ряде случаев желательна проверка решения дифференциальных уравиенцй.
Ниже показано, как она делается для последнего уравнения: в(ар1(ту( еча1(ьовв(Ф, ец))у; х < О 0 х<0 х 4 — 0<х (х2 — 2) 4 2 2 (х -2) 0<х Используя функцию дзо1че, выполним решение этого диффереш(иального уравнен)нн » бво)че(ец, у(х)); 490 урок 13. Решение дифференциальныхуравнений ~ ПРИМЕ4АНИЕ Как видно из приведен них дос<а>очно простых и на(лядных примеров, результаты решения дифференциальных уравнений с кусочныни функциями магу> быть давольно <ромоздкими, э<о, однако, не мешает эффек<ивному приненению функций данного класса. Структура неявного представления дифференциальных уравнений — 0ЕЯо! В ряде сл] (асв иметь явное Представление;ви!»[жрешшальиых уравиешш нсцссксообратно. Для неявного их ирсдставлсш(я в Мар[с 7 введена специальная структур>е 0[501(ехрг,чагз) где ехргв выра>ксиве для исходной системы дш[>фсрсиииалыиях урависшш.
уаг5 — заданный в виде опции список Переменных [или одна исрсмсииая). Структура 0Е5о1 образует искоторьш объект, даенинй представление о дифференциальных уравнениях, чем-то иапомипак>щсе йоот0б. С агим объектом мо>кио обращаться, как с функцией, то есть его можно иитсгрироьат>ь дифференцировать, получать разложение в ряд и вы )ислягь численными методами. [[а рис. [ЗЛ показаны Прим(ры иримсис)шя структуры 0Е5о1. Обратите ишмани( на последний пример — в исм структура 0Е5о1 использована для получения роше)шя диффсрсиииши ного ура)и)еисш в ви;(е стеисииого ряда.
й ка' М'2" Ф ! примеры применения структуры рево) > ав1; окво1( Р(у)-у, у )7 ,< 1:= ВЕВ як (В(я) — у), (у] ) "> О<о 1>-Овэз о > Оег;- Ояеоь( а>яг(у<х>,х>-у< ), у(х>, (у(О>-1) > с явгш Вввя(4 у(х)) — у(хи, (у(хн, (г(0) 1]) (ак > Ов1(х)-де2 (а ( (д Вквя((~ — у(к)) — у(х)], (у( )]) - ВЕВ )~(~ — у(х) - у(кн (у( )), (у(0)" ))) > аэук(аег, )-Е 21 о ! > ро1у; оопчеге(хег1ек(ае2,к-о),ро1упое) > 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7„) В ) 9 яе(уы) к х к ь — х х к я к х 2 6 24 120 720 5040 40320 362ШШ > оквоь< у<х> г-у<к) 1, у<к> ) > в.<о«17- у и > 006о1( у(к)-к, у(*)) И Рис.
13.6. Примеры применения структуры ВЕ50( Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений 0ЕГооь 491 Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений РИооЬ Средства пакета ОЕ1ооЬ Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно пз достоинств системы Мар!е 7, Пакет 0ЕГоо1з предоставляет ряд полезных функций лля решения диффереип~альных уравнений и сзктем с такими уравпенпязпс > итть!ВЕтоотз); 'туагп/пд, Епе паше аг/1о/пГ Ьаз Ьееп геоейпег/ (ЕзЕпогта/, ВЕР/от, Е/Ер!отун!, ЕтЕ/т/от ро/тяго>т, Езрастоп Езрастог!С/Л//зрастснзо!и /7с/1апееиап ОС///7, ЛСЕ/1з, РОЕсЬаппесоогт/д Е/етнаннрзо/з.
Хс/инде, Хсоттшагог, Хдаиде, аЬе!зо/, а4огп(, аи(отшлшиз, Ьсгпоийьо(, Ьи//с(зо(. Ьт(сьут, салопй сазер/от, сттетр/!(, сйесь алй с/нльо(, с/апти(ю/, солз/сое(/то/т, сонтаг!А/е, сон нег!зуя, г/а (етЬегьо(, г/соеДя, с/с 2йтрор, с///еЫрlо!, с/х/ор2т/е, т/зиЬз, е/Ее~пну, епт/отпер/пои с/итгро/тч ет/ийш, е/а /г, еи/егзоЬ. ехас/зо(, ехртлЬ. ехгег/ог роткеп71путг,йг!етг,(опла! зо/,ден ехр,яенега(е Ь,Еелlзолшзо(,яензттт. /1агтн/(он едз, ис//с/а/ет/, /лрйеп, !и/г/а/т!а!а, /л(еь а!е зоЬ, !л!/ас!ог, Ь еапйпгп /сотас/сзоЬ, (еЯптт/огп Еею(, /те т!, 1/лсапто(.
л1а(пхОЕ, та!гь песа!1, тозег гесУисе, тис/гинее, ~пи/!, ти!ез(, леннон то/троп, поста/Ст2, от(еитЬЬог, ос(ерт/е, рогато/псзо/, рlтзерог!га~(, ротсаге, ро!шоЬ, гаьоЬ, гейн1е, гег/исеОгт/ег, гег/исе огс/ег, геди/аг ригь, гери/агзр, гетото Яоо!О/, песа/т' зуз!ет, песа!Его(, г(/т(тр, и/Г(иаут!т/стл, пау/ог, зерагаЬ/езо(, ю/не ггоир, зирег гет(исе, зушдел, зттпгпегг!с роте<, зулннеЫс ргос/нс(, з>зн!ез!, (гатт!лтч паля!а!е, т1/ганз/аге, иат/таг ат, гоот1 Этот пакет дает самые изысканные средства для аналтттического и численного решения дифференциальных уравнений н систем с ними.
По сравнению с версией Мар!е Ч тс5 число функций данного пакета в Мар!е 7 возросло в несколько раз. Многие графические функции пакета 0ЕЬоо1 з были уже описаны. Ниже приводятся полные наименования тех функций, которые есть в реализациях К5, 6 и 7 системы Мар!е: О 0Епогва1 — возвращает нормализованную форму дифференциальных уравнений; О 0Ер1от — строит графя!ки решения дифференциальных уравнений: О 0Ер1 отЗо — строит трехмерные графики для решения систем дифференциальных уравнений; О 0саапяенаг — изменение переменных в дифференциальных уравнениях; 492 Урок 13.
Решение дифференциальных уравнений О Р()Ес))апцесоогс)з — изменение координатных систем для дифференциальных уравнений в частных производных; О Р()Ер)о2 — построение графиков решения дифференциальных уравнений в частнь(х производных; О аитопошопз — тестирует дифференциальные уравнения на автономност)и О сопчегСА)у — возвращает список коэффициентов для дифференциальных у раз нели й; О сопкег1эуз — преобразует систему дифференциальных уравнений в систелсу одиночных уравнений; О ()11е)()р)от — строит график решения дифференциальных уравнений в ви;(е векторного поля; О (пс)(с(а)ес) — преобразует дифференциальные уравнения в полиномнальныс; О р))азерог2га11 — строит график решения дш!)ференциальнь(х уравнений в форме фазового портрета; О гес)исеОгс(ег — понижает порядок дифференциальных уравнений; О гери)агар — вычисляет регулярные особые точки для дифференциальных уравнений второго порядка; О 1гапэ)асе — преобразует дифференциальные уравнения в список операторов; О пп1гапз) асс — преобразует список операторов в дифференциальные уравнения; О награгаш — находит общее решение дифференциальных уравнений методол) вариации параметров.
Применение этих функций гарантирует совместив(ость документов реализаций Мар!е Кб, 6 и 7. Основные функции пакета 0Е1ооЬ Ввиду обилия функций пакета Шоо)э дать их полное опясапие в данной книге не представляется возможным. Поэтому выборочно рассмотрим наиболее важные функции этого пакета. Функция; аисопошоов(Сею чагв.1каг) тестирует дифференциальное уравнение (или систему) с(ез. Ее параметрами помимо с)ез являются независимая переменная 1чаг и зависимая переменная Очаг.
Следующие примеры поясняют применение этой функции: > антопоаонв(в(п(г(т)-а(1) 2)*(пера)(а)(т).соа(а(1)).в,ад): ггие > 0Е: 61ГГ(х(в).в).х(в)*сов(агссап(х(е))) агстап(в): > аитопааоыв(ВЕ,(х),в): Ха(ае Функция Оспапуечаг используется для обеспечения замен (подстановок) в дифференциальных уравнениях: 494 Урок 13. Решение дифференциальных уравнений Функция нормализации ОДУ ОЕпогша1 синтаксически записывается и виде: ОЕпогиа1(Сев.хчаг.очаг) где без — система дифференциал~ ных уравнений, ]чаг — независимая переменная и Очаг — зависимая переменная, Применение этой х[вуикццц поясняют следующие приморьи > ОЕ ;= х 3*у(х)+х"2*(х 1)*0(у)(х)+59*х 3*(0992)(у)(х)=х"ип(х); ()Е:=хау(х)+х'(х — 1) Е)(У)(х)+50хв(() )(у)(х)=хйп(х) > ОЕ2 ;- сопчегтА19(ОЕ,у(х)); ()Е2;= [[х',х' — х,50л.'],хв(п(х)] > ОЕпогиа1(ОЕ,х,у(х)); У а 3 ( ав 1 в(п(.х) х у(х)+ (х — 1) —. у(х) 1+ 50х —, у(х) > ОЕпогиа1(ОЕ2,х); ~[х,х — 1,50х], Функция сопчегхА)9(((ез,очаг) возврзщаез список коэффициентов формы системы дифференциальных уравнений Оез с зависимыми цсрсхкииььхи~ Очаг, Это поясняют слс;)уюищс пригас)3ьи > А :- 51(Г(у(х),х)*в1п(х).гй ГГ(у(х),х).тап(х)*у(х)=5; '-Г "х) ~- (х'-~-"+"-""х) ' ' [а.
'~ [а > сопчегтА19(х.у(х)); [[-(ап(х), йп(.х) — 1], 5] > В:= (0992)(у)(х)*сов(х) + (0992)(у)(х)*5*к"2; В:= (Е) )(у)(х) сов(х) + 5 ((3 )(у)(х) х" > сопнегтй9(В,у(х)): [[0,0,сов(х)+5х ],О] Для изменения переменных в системах дифференциальных урщгиений исполь- зуется ф)цпо(ия сопчегтзуы сопчегтвув(Седов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
