Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Здесь мы расширим представление об анимации и рассмотрим не вполне обычный пример — наблюдение в динамике за гармоническим синтезом некоторой произвольной функции Ях) на отрезке изменения х от 0 до 1. Значения функции у[х) могут быть одного знака или разных знаков. В атом примере можно наблюдать в динамике синтез заданной функции рядом Фурье с ограниченным числом синусных членов [гармоник) — до 1, 2, З...сьг. На рис. 12.50 представлен документ, реализующий такое разложение и затем синтез для пилообразного линейно нарастаю)цего импульса, описываемого выражением 7[х) = -1+ 2 'х.
На графике строится исходная функция и результат ее синтеза в динамике анимации. ' МАМ)ад(ч[ 3[й))й.: " Л "..н""",вд[~ЗФ[())а(йд)341$йсдд[[([)йЮЖМ ~2[[с")с-.','!г!~>дл~~Ъд!:-':~~%~~!'", Представление фуикцни1[х) родо>с свурье с аниьсацией [ > ыгвь(рговл) с и: Нос гс х->-1+в хсьгс аггауш..и) с [> «Г:-(в,и)->Н«ал1«1ае(в-и)*(в-и)-Неал1«зде(1-1-К)*(1-1-1) с > Гог 3с во И ао ЬГ[3с); ела11(В*1пт(«1п(3с*Р1«х)лг(к),х 0..1)) ос3свв: (к,в)->лпл(ае(1,п)*ЬЕ[п)*в1п(п«Р1«х),п 1..И)С лс л;=(к,с) — ь 2 «г(с,л)а/ лл(лик) л-1 > ап1лаве((е(к),вл(х,в)),х 0..1,1 О..и,(гале« Зли,ппмрозпвл ели,оо1ог Ььао3с)с ', ов Рис.
12.ВО. Один из первым стоп-кадров анимации разложения импульса в ряд Фурье Рисунок 12.51 показывает завершаю[ций стоп-кадр анимации, когда число гармоник М равно 30. Нетрудно заметить, что такое число гармоник в целом неплохо описывает большую часть импульса, хотя в его начале и в конце все еше заметны сильные отклонения. Для 7[х) - 1 строится приближение для однополярного импульса с длительностью 1 и амплитудой 1, при Ях) - х — приближение для пилообразного линейно Расширенная техника анимации 475 нарастаюшсго импульса, при [[х) -1 2 — приближение для нарастающего по параболе импульса, при Дх) = В<япцш[х — 1/2) — приближение для симметрвчного прямоугольного импульса-мсандра и т. д.
Фактически можно наблюдать анимационную картину изменения формы импульса по мере увсличения числа используемых для синтеза гармоник. Выбор используемого числа гармоник осушествляст амплитудный селектор — функция аЯГ,)<), основанная на применении функции Хевисайда. Представление Функции((х) рядом <рурье с анимацией > еггь<раосв): и:-зо:г;-в->-1+гав:ьг:-асс«я<1.. и): 1> «Г:-<1,К)->иеав1«1ае<Е-К)*<1-К)-иеав1«1не<1-1-К)е<1-1-К): ! т> го К Со И По Ьг[К):-ев«11<геап(<ага<К Рс**) г<*),*-О..Ю ) оен ев. («,е)->все<ах(е,п)епг[п)*«1п(п«Р1«в),п 1..И); У и:= [в, () -а а~~ ат[(,в) аг вш[в в в) п=) > ап1паее((г(п),св(в,е) ),в 0..1,1=0..и,г апев 3*н,пппро1«ев Вен,со1о атас[с) т ОВ Рис.
12.51. Второй [аавершающий) кадр анимации Самым интересным в этом примере оказывается наблюдение за зарождением и эволюцией эффекта Гиббса — так называют волнообразные колебания на вершине импульса, связанные с ограничением числа гармоник при синтезе сигнала. С ростом числа гармоник эффект Гиббса не исчезаст, просто обусловленные им выбросы вблизи разрывов импульса становятся более кратковременными. Амплитуда импульсов может достигать 18% от амплитуды перепадов сигнала, что сильно ухудшает приближение импульсных сигналов рядами Фурье и вынуждает математиков разрабатывать особые меры по уменьшению эффекта Гиббса.
Можно ли наблюдать одновременно все фазы анимации? Можно! Для этого достаточно оформить анимационную картину, созданную функцией ав1взВе, в виде 47б Урок 12. Расширенные средства графики отдельного графического объекта, наггрилвер и, после чего можно вывести все его фазы оператором г)дзр)ау. Это и иллюстрирует рис. 12.52.
На этот раз задано Ях) = з)йпппт(х-1/2) и Х - 25. Таким образом рассматриваются симметричные прямоугольные импульсы — меапдр. У каждого рисунка координатные осп с делениями удалены параметром ахез=попе. Рис. 22.52. Иллюстрация палунвния всех кадров анимации двумерного графика Любопытно отметить, что при определенных числах гармоник связанная с колебательными процессами неравномерность вершины импульса резко уменьшается. Наблюдение этого явления и является наиболее интересным и поучительным при просмотре данного примера. При внимательном просмотре рис.
12.52 заметно, что после некоторого периода установления фазы анимационной картинки практически повторяются. Это связано с известным обстоятельством — установившийся спектр меандра содержит только нечетные гармоники. Поэтому, к примеру, вид спектрального разложения при 22 гармониках будет тот же, что и при 21 гармонике, при 24 гармониках тот же, что при 23, и т, д.
Однако эта закономерность проявляется только при установившемся (стационарном) спектре, Расширенная техника анимации 477 Наблюдение кадров анимации поверхности Наблюдение за развитием поверхности производит на многих (особенно на студентов) большое впечатлсние Оно позволяет понять детали создания сложных трехмерных графиков и наглядно представить нх математическую сущность.
Рассмотрим анимацию поверхности на примере рис. 12.18. Как и для случая анимации двумерного графика, большой интерес представляет построение всех фаз анимации на одном рисунке. Делается это точно так же, как в двумерном случае. Это илл>острируст рис. 12.53. На нем представлены 8 фаз анимации трехмерной поверхности соз(г"хеу>>3), представленной функцией трех переменных г, х и у. При этом изменение первой переменной создает фазы анимации поверхности. Рнс. 12.53.
Фээы энммацмм трехмерной поеерхмостм Применение анимации дает повышенную степень визуализации решений ряда задач, связанных с построением двумерных и трехмерных графиков. Следует отметить, что построение. анимированных графиков требует дополнительных и достаточно существенных затрат оперативной памяти. Поэтому злоупотрсГ>- лять числом стоп-кадров таких графиков не стоит.
478 Урок 12. Расширенные средства графини Новая функция для построения стрелок апов В пакет р1отз системы Мар1с 7 введена новая функция построения стрелок аггоы. Она задается в виде аггею(о, [ч,3орсз) или еггоы1о,ор1з) Построение стрелок задается одномерными массивами координат начала стрелок и их направления о и ч или двумерным массивом О, которые могут быть представлены векторами, списками или множествами. Вид стрелок задается параметром ор1з, который может иметь значения Фаре, )епдтп, и1г1с)а, 'пеаг) ы1г)сг1, леай чепо2)г или рчапе и задает вид стрелок (форму, длину, ширину и т.
д.). Детали задания параметров можно найти в справке по данной функции. рисунок 12.54 дает наглядное представление о ес возможностях. Рис. 12.$Е. Построение стрелок с оонощью функции аоои Построение сложных комбинированных графиков 479 Построение сложных комбинированных графиков В заключение этой главы рассмотрим построение с помощью системы Мар!е 7 достаточно сложных комбинированных графиков, содержащих различные графические и текстовые объекты.
Пример построения такого графика представлен па рис. 12.55. р5 г- ерасеспгсе([ [0,2,С,Е 0,.3], ((0,2,3], [О, 1,3]] ),сс)аг агава, Еьтсипеее-3): ре: ерасвапгсе((2,0,<,С 0..2),сс1сг те))ач,еь1сипеяк 3): р7 : Ьвтгер1сезе([[0,2.3,2.75,'Н'],[2.2,0,1.')5,'Ь'],(0,-.6,3.3,'а']), гспс-[2ПЫВВ,ВОЬО,10])г РВ г Еехер1отза([(-1.0,1,1.5,'Р1апе 1'],[-1.0,1,,3,'Р1апе 2'))): стяраатэа( [р ( ( <1.. В) ] ) Г к» п»пс, сье п .е сь»пс с ые ь ьееп с ыег псы Рис.
22.55. Пример построения сложного объекта состоящего изб графических и текстовых объектов Представленный па рис. 12.55 объект задает построение восьми графических объектов от р1 до р8. Среди них цилиндр, две пересекающие его плоскости и иные (в том числе текстовые) объекты. Обратите внимание на способ вывода этих объектов функцией (!!зр!ауЗ(1, Этот пример показывает, что с помощью графических программных средств Мар!е 7 можно строить достаточно замысловатые графики, которые могут использоваться для визуализации тех или иных геомет, рических и иных объектов.' 480 Урок та.
Расширенные средства графики Ч го нового мы узнали? В этом уроке мы научились: О Пользоваться графикой пакета р1оса. О Пользоваться техникой анимации графиков пакета р1осз, О Применять графику пакета р!оссоо!з. О Использовать расширенныс средства графической визуализации. О Использовать расширенную технику создания графической анимации.
О Использовать новую функцию Мар1е 7 для построения стрелок, О Строить сложные комбинированные графики. Решение дифференциальных уравнений Основная функция дво1че Решение дифференциальных уравнений первого порядка Решение дифференциальных уравнений второго порядка Решение систем дифференциальных уравнений Численное решение дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения с кусочными функциями Структура неявного представления дифференциальных уравнений ОБо! Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений ОИооЬ Графическое представление решений дифференциальных уравнений углубленный анализ решений дифференциальных уравнений Основные средства решения дифференциальных уравнений Основная функция дзоте Важное место в матсматнческпх расчетах занимает решение дифференциальных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
