Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 81
Текст из файла (страница 81)
О Пользоваться фуыкциями пакетов комбиыаторики. О Применять пакет финансово-зкономических функций. О Использовать ортогопальиые мпогочлеиы из пакета огсйро1у. О Работать с суммами пакета зшпсоо1ю О Применять степенные разложения пакета роччегзет1ез. О Работать с пакетом численной аппроксимации пшпарргох. О Использовать интегральные преобразования пакета (ос[гааз.
О Осуществлять приближение кривых с помошью пакета СцгчеГ(гс)пя. О Использовать пакет работы с полииомами Ро1упош!а!Топ!з. Пакеты линейной алгебры и функциональных систем Основные определения линейной алгебры Пакет решения задач линейной алгебры Ипатия Пакет линейной алгебры с алгоритмами МА6 1лпеагА!яеЬга Интеграция системы Мар1е 7 с матричной системой МАП.АВ Пакет линейных функциональных систем ЫпеагГипсбопабув1етв Основные определения линейной алгебры Прежде чем перейти к рассмотрению обширных возможностей пакетов Мар!с 7 по части решения задач линейной алгебры, рассмотрим краткие определения, относящиеся к ней. Матрица (тхп) — прямоугольная двумерная таблица, содержащая т строк и и столбцов элементов, каждый пз которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным илп математическим выражением (расширительная трактовка матрицы).
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк т равно числу столбцов и. Пример квадратной матрицы размера 3 х 3; [4 5 б] Сингулярная (вырозкдепная) матрица — квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен О. Такая матрица обычно нс упрощается прн символьных вычислениях. Линейные уравнения с почти сингулярными матрицами могут давать большие погрепшости прн решении. Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой диагональные элемеп гы равны 1, а остальные элементы равны О.
Ппже представлена единичная матрица размера 4 х4: ! О О О О 1 О О Е= О О ! О О О О 1 Сингулярные значения матрицы А — квадратные корни из собственных значений матрицы А'А, где А' — транспонированная матрица А (см. ее определение ниже); Траяспояироваяная матрица — матрица, у которой столбцы и строки меняются местами, то есть элементы транспонированной матрицы удовлетворяют условию Ат(1,1)=А(),!). Приведем простой пример.
Исходная матрица: Основные определения линейной алгебры 549 Транспонированная матрица; А =Ь е lс Обратная матрица — это матрица М ', которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е. Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первьш ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от перво| о ненулевого элемента в предыдущей строке, то сеть все элементы ниже первого ненулевого в строке — нули. Диагональ матрицы — расположенные диагонально элементы А матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами; [~ Е,] Обычно указанную диагональ называют глапнои диагональю — для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами Л, Е и г'..
Иногда вводят понятия поддиагоналей (элементы с1 и ~г) и наддиагоналей (элементы 6 и Д. Матрица, все элементы которой, расположенные кроме как на диагонали, подднагонали и наддиагоналн, равны нулю, называется ленточной. Ранг матрипы — наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы. След матрицы — сумма диагональных элементов матрицы. Определитель матрицы — это многочлсн от элементов квадратной матрицы, каждьш член которо1о является произведением и элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок: с1егА = ~~ аО( — 1)'в М~"' где М1 — определитель матрицы порядка и — 1, полученной из матрицы А <у> вычеркиванием первой строки и )-го столбца. В таком виде определитель (он же детерминант) легко получить в символьных вычислениях.
В численных расчетах мы будем подразумевать под определителем численное значение этого многочлсна. Матрица в целой степени — квадратная матрица в степени и (и — целое неотрицательное число), огтредсляемая следующим образом: М' = Е, М' - М, М'- ММ, ..., М" - М" 'М. Иделгпотентная матрица — матрица, отвечающая условию Р' Р. Силсметричеснал матрица — матрица, отвечающая условию Ат - А. 550 Урок 15.
Пакеты лннейной алгебры н функциональных систем Кососиммвтричвскал матрица — матрица, отве гающая условию Ат - -А. Ортогональггал матрица — матрица, отвечающая условию Ат = А ', Нуль-матрица — матрица, все элементы которой равны О. Блоквнатрица — матрица, составленная из меньших по размеру матриц, также можно представить как матрицу, каждый элемент которой — матрица. Частным случаем является блок-диагональная матрица — блок-матрица, элементы-мат- рицы которой шге диагонали — нуль-матрицы. Кочпгексгго-сопрхглсепггая гиатрица — матрица А, полученная из исходной мат- рицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные, Эрмитова матрица — матрица А, удовлетворягощая условиго А = А Т Собстоввиый вектор квадратной матрицы А — лнгбой вектор х и Ъ'", х ы О, удовлетворяющий уравцснию Ах =- дх, где д — некоторое число, называемое собщвввг*вым значением матршгы А.
Характеристический мпвгочлвн матрицы — определитель разности этой матри- цы и единичной матрпцы, умноженный на персмснпукг многочлена, — )А — дЕ,'. Свбствеппьге з>говения матрицы — корни се характеристического многочлена. Норма — обобщенное понятно абсолютной величины числа. Норма трехмерного вектора ~1х) — его длина.
Норма матрицы — значение выр(()АхкЦ1х)(). 1-норма матрицы А — число ~~~АЦ =снах~ 1Аг Матричная форма записи системы липвипыг уравпе~ий — выражение А Х = В, гле А — матрица коэффициентов системы, Х вЂ” вектор неизвестных и  — вектор свободных членов. Одни из способов решения такой системы очевидсн— Х = А 'В, где А ' — обратная матрица. Пакет решения задач линейной алгебры Впаяя Состав пакета Ипатия Несомненно, что уникальной возможностью системы Мар1е 7, как и других систем компьютерной алгебры, является возможность решения задач линейной алгебры в символьном (формульном, аналитическом) виде, Однако такое решение представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку даже при небольших размерах матриц (уже при 4-5 строках и столбцах) символьные результаты оказываются очень громоздкими и труднообозримыми. Они полезны только при решении специфических аналитических задач, например Пакет решения задач линейной алгебры Впав 551 с разреженными матрицами, у которых большинство элементов имеют нулевые значения.
Поэтому разработчики Мар1р 7 были вынуждены реализовать в своей системе численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются в основных сферах ее приложения — математическом моделировании систем и устройств, расчетах в электротехнике, механике, астрономии и т, д. В ядро Мар1е 7, как отмечалось, введены очень скромные и минимально необходимые средства для решения задач линейной алгебры. Основной упор в их реализации сделан на подключаемые пакеты.
Основным из них, унаследованным от предшествующих реализаций системы, является пакет решения задач линейной алгебры 11па19. Это один из самых обширных и мощных пакетов в области решения задач линейной алгебры. Он содержит свыше ста функций: и ч1ть111ла1В): ууагп1по, ГЬе пагпез ПЬопасс1, Епчетзе апб пю1бр1у Паче Ьееп гедейпеб УУагп1по, гЬе рготес1еб лаптев попп апд васе Ьаче Ьееп гебейпеб апб опрго1есГеб 1ВЕосЕгРЕаеооа1 6гат$сйтЫЕ,.ЕоггЕаоВЕосЕ1 1Л/АесотЕЛ ЯМесотр, ИггоняИат,агЫсо1, аатЕгои, атЕЕ1 атуоЕпт, алеЕе, аиьчнеп1, ЬасйяиЬ, ЬаягЕ, Ьатйь Ьехои1, ЬЕосЕооа1гйй ей агтаг, сйагроЕу, сйоЕея~у, со1, соЕгйль сойрасе, соЕярап, сотрагдон, соосщ, соогЕ, соЕяугп1о, сготяргой, сиг1, йе71п11е, йеЕсоЕя, Вей ошя тЕет, Лае, ЙЕчегде, туо1рготЕ, е1ееочаЕя, егеепчаЕиея, е1еенчес1огя, еЕееочестя, еоЕешиатпл; еаиа1, еяроаепиаl, ехтепгЕ, Яаияяе11т„11Ьооасс~'„~олчагтЕяий, ЕгоЬеаlия, ВаияяеЕйн, еаияяуогтЕ, ЕЕенетЕия, еенн~атгЕх, егагЕ, АагЕатапУ, Ьегт11е, Ьеяя1ао, ЕиЕЬегд Ьй анярояе, ЕЬегтйе, ~нгЕехбжс, ЕноегрготЕ, Ептйа тгт, оп егяе, мтгйд втглиЕаг, Еяхего,/асойган, ЕогтЕап, йеюе1, ЕарЕаоан, ЕеоятятЕгя, ЕтяоЕче, татагЕгЕ, татгЕх, тйтг, ттроЕу, гниЕсо1, тиЕгоип тийярЕу, аогт, погта11хе, аийярасе, огтйое, регтаоео1, ргчо1, ротеп~гаЕ, гагкйиа1ах, галтЕчес!ог, гаоЕг, гатуоги, юн; гон глт, юн ярасе, гошяран, ггеЕ,'.тсаЕогти!, я!пеи!агча!я, яаи гй, яЕасйогатггх, яийтаЕпх, яиЬ иесеод хитйаягя, я юарсоЕ, яшаргою, яу!теятег, Еоер111х, 1гасе, Егаиярояе, чаогЕеготогЕе, чесротео1, чесЫйп, чес1ог, нгооялтап] Ниже указано назначение тех функций пакета 11па!я, которые подробно не описаны: О атЫсо! — добавляет к одному из столбцов другой столбец, умноженный на некоторое число; О атЕбгон — добавляет к одной из строк другую строку, умноженную на некоторое число; О ап91е — вычисляет угол между векторами; О аы9вепй — объединяет две или больше матриц по горизонтали; О ЬаскзиЬ вЂ” реализует метЪд обратной подстановки при решении системы линейных уравнений (см.
также гогнагдзцЬ1; О Ьапо — создает ленточную матрицу; О Ьаз1з — находит базис векторного пространства; 552 Урок 15. Пакеты линейной алгебры и функциональных систем О ЬегоМ вЂ” создает Вехопт-матрицу двух полиномов; О В! осЮ1адопа1 — создает блок-диагональную матрицу; О Ь1 ос1сааЬг1х — создает блок-матрицу; О сдо1езйу — декомпозиция Холесского для квадратной пололкптсльно определенной матрицы; О спагаа1 — создаст характеристическую матрицу (сйаппас(Мз ) — матрица, вьгчисляемая как ч Е-М); О свагро1у — возвращает характеристический полипом матрицы; О со1зрасе — вычисляет базис пространства столбцов; О со1зрап — находит базис линейной оболочки столбцов матрицы; О соарап1оп — вычисляет сопровождающую матрицу, ассоциированную с полиномом; О соп0 — вычисляет число обусловленности матрицы (сопг1(М) есть величина попп(М) погп1(М ')); О сиг1 — вычисляет ротор вектора; О бе11п1те — тест на положительную (отрицательную) определенность матрицы; О г)1ад — создает блок-диагональную матрицу; О йчегде — вычисляет дивсргенцию векторной функции; О е1депча1з — вычисляет собственные значения матрицы; О е1депчессз — вычисляет собствсцныс векторы матрицы; О едиа1 — определяет, являются ли две матрицы равнымп; О ехропепс1а1 — создает экспонспциальную матрицу; О ггдаыззе11а — свободное от дробей Гауссово исключение в матрице; О У1Ьопасс1 — матрица Фибоначчи; О тогыагбзпЬ вЂ” реализует метод прямой подстановки прп рещспип системы линейных уравнений (например, для матрицы Ь и вектора Ь 1опчагс(зпЬ(1, Ь) возвращает вектор решения х системы линейных уравнений Ь х=Ъ); О тгоЬеп1пз — вычисляет форму Фробениуса (Гго!зепшз) матрицы; О дапеае11а — Гауссово исключение в матрице; О дапзз,1огг1 — синоним для гге1 (мстод исключения Гаусса — Жордана); О деледпз — генерирует элементы матрицы из уравнений; О депаа1г1х — генерирует матрицу из коэффициентов уравнений; О дгаг1 — градиент векторного выражения; О дгаабсЬа1г)с — вычисляег ортогональныс векторы; О Ьас)ааагс( — вычисляет ограничение на коэффициенты детерминанта; О Ьекз1ап — вычисляет гессиан-матрицу выражения; Пакет решения задач линейной алгебры Впа1В 553 О Ь11Ьегт — создает матрицу Гпльберта; О Пбгапзрозе — находит эрмитову транспонированную мазрицу; О 1Ьегв1те — целочисленная эрмцтова нормальная форма; О 1поехГипс — определяет функцию индексации массива: О ! ппегргоб — вычисляет векторное произведение; О 1птЬаз1з — определяет базис пересечения пространств; О з зв11П вЂ” ~1слочисленная нормальная форма Шмитта; О 1заего — проверяет, является ли матрица ноль-матрпцей; О 1асоЬ1ап — вычисляет якобиап векторной функции; О ЗогбапВ1 оск .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
