Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Все зто станет яснее ниже, когда мы будем вычислять эффекты этой модели. Рассуждая 8 8.8. СМЕШАННЫЕ МОЦЕЛИ В МНОГОФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ 317 аналогично, мы опускаем в (8.2.4) члены с индексами РС, АРС, АСЬ, РСУ., АРФ. Теперь мы рассмотрим дополнительные условия. Напомним, что даже в том случае, когда все факторы в (5.3.!0) постоянны, не все суммы по какому-либо индексу равны нулю. Например, суммы по 1 или и членов, содержащих индекс 1', не равны нулю, Если мы назовем 1 «индексом группированного фактора» (уровни этого фактора обозначаются (п1), то мы можем сформулировать следующее правило: суммы членов, содержащих индекс группированного фактора, не равны нулю, если суммирование лроизводитсл па индексам тех факторов, по которым идет группировка.
(Согласно вводимой ниже терминологии, мы можем сказать, что суммы по «мертвым» индексам не равны нулю.) Кроме того, мы не имеем теперь дополнительных условий е), связанных с суммами по случайным факторам (1 или п в нашем случае). Поэтому остаются только дополнительные условия а" = а" = аАР = алс = ачс = агс — — асс = алгс = аАРЕ = О (8.2.5) ° ° .н и *Е н. Знб зн..из ери всех 8', 1, й, и. Все а в (8.2.4) имеют нулевые средние. Дисперсии а не зависят от индексов случайных факторов, но, вообще говоря, зависят от индексов постоянных факторов: Р(аР)=ар при всех и, Р(ас„) =-а", при всех и, 1, Р(асгст ) =а'-, при всех и, 1 и т. д.
(8.2,6) Формулы для М(Я) содержат только выражения ах без индексов уровней факторов. Если определенное в (8.2.6) ах имеет такие индексы (они будут обязательно индексами постоянных факторов), то мы избавляемся от иих с помощью следующих фо мул: р ал (т 1) Хх ~) ос =т Хос с' з аль =(! — 1) (К вЂ” 1) ~ ~ (азе ) асс=1 (К вЂ” 1) ХХасд м и т д. 3 й Коэффициенты в этих суммах представляют собой произведения числовых множителей, определяемых яо индексам суммирования следующим образом. ° ) Аналоги этих условий выполняются в популяциях, из которых взяты Нмборки, но не в множестве членов, полученных в вкспернменте.
Зуа гл. з. смешанные модели Пусть индекс г фактора г' меняется от 1 до Р. Если г' при- сутствует среди индексов аа, то этот числовой множитель равен ( — 1)-', в остальных случаях он равен Уг-'. Позднее мы уви- дим, что этот коэффициент является обратным числом к числу ст.
св. 55 с теми же индексами, что и а'. Мы предположим, как обычно, что ошибки (юге,е) в (8.2А) независимы, имеют нулевые средние, одинаковые дисперсии ае и не зависят от всех а. Мы не будем выписывать ковариации а; они определяются через введенные ниже функции т(~', и, о, уг) н распределения У„и У, величин и и п. Читатель, янтересующийся лишь правилами применения приближенных г'-критериев для проверки обычных гипотез, может пропустить нижеследующую часть параграфа вплоть до пункта, озаглавленного «Определение и вычисление ВВ и чисел степеней свободы». Возвратимся к нашему первому примеру. Мы придем к той же самой модели полного четырехфакторного анализа, если представим себе, что К уровней С в эксперименте выбраны из некоторой популяции, лУ уровней 0 выбраны нз другой популя- ции, а уровни А и В не выбираются.
Снабжая уровни в попу- ляциях факторов С и 0 индексами и и и, мы обозначим т(йу,и,п) истинное среднее, соответствующее комбинации У-го уровня А, у-го уровня В, уровня и из популяции С н уровня о из популяции О. Индексы и и и случайны и независимы с рас- пределениями вероятностей У„ и У,. Истинные средние т(г,у, и, и) представляют собой О совместно распределенных случайных величине). Обозначим ух=та(е, е, Ф, е), ал=т(г, Ф, е, е) — т(е, е, е, «), ас(и) =т(е, е, и, *) — т(е, е, е, е), ада= п(г, у, е, е) — т(г, *, е е)— — пг(*, у', *, е) + т (*, *, е, *), а"с (и) = т (у, е, и, «) — гп (у, *, е, *)— гл (е, е, и, е) + т (Ф, е, е, е), (8.2.7) асо (и и) = т (е, *, и, и) — т (е, *, и, *)— — т (е, е, е, П) + т (е, е, е, ь), алас (и) т(у у и е) т(г у е „) — т(у, а, и, е) — т(е, у, и, е)+т(у, е, е, ь)+ +т(е,у,*, е)+т(е, е,и, е) — т(*,*,е, е) ит.
д; ° ) Мы будем предполагать Их дисперсии конечнымл. То же самое предполагается в другом рассматриваемом примере четырехфакторного анализа. э вэ. смешхннын модели в много«Анто»иом хи«лизе з1д здесь замена 1 нлн 1 иа звездочку в т(й),и,о) означает усреднение по ! нлн 1 от 1 до ! нлн 7 соответственно, а замена и или о на звездочку означает переход к математическому ожиданию по и нли о относительно распределения У„ нлн У,.
Таким образом,мы имеем т (1, 1, ц, о) = и + а, "+ а,' + а (ц) + а (ц) + а"„' + а"' (и) + + цАО (о) ! аВС (ц) ! аВО (о) + аСО (ц о) ! аАВС (ц) ) аАВО (о) + Из определения стоящих справа в (8.2.8) членов следует, что математическое ожидание каждого члена а равно нулю, а суммирование по ! каждого члена, содержащего 1, дает нуль при всех значениях остальных индексов 1, и, о, от которых может зависеть этот член; то же самое имеет место при суммировании по !. Таким образом, прн всех 1, 1, и, о цА цВ аАВ цАВ аАС (ц) ОАО (о) — авС (ц) — аВО (о) Ф и аАВС (ц) аАВС (ц) аАВС (о) дАВО (о) дАСО (и о) =Овса(и, о)=алвсо(и о)=алвсО(и, о)=0. (8,2,9) Участвующие в эксперименте К уровней С и М уровней 0 рассматриваются как случайные выборки (иь..., и«) н (оь ... ..., ов) нз соответствующих популяций уровней, т.
е. (иь ..., и«) н (оь...,ов) независимо распределены, (и») согласно распределению У, и (о,) согласно У,. Таким образом, истинное значение ти», наблюдения уи»««равно т脄—— т (1, 1, иы О„). Из (8.2.8) вытекает уравнение модели (8.2.1), где ас ас (ц ) дО ао (о ) ОАс — ОАс (и ) аАВсО цАВсО гц о 1 и т д ° 1/Ьз и ( Ф' А) (8.2.10) отсюда следует, что все а имеют нулевые средине. Дополнительные условия (8.2.2) вытекают нз (8.2.9).
Равенство некоторых дисперсий в (8.2.3) является следствием определения этих а в (8.2.10). Ковариацни величин а можно вычислить с помощью (8.2.10) н (8.2.7); далее, очевидны некоторые независимости, напРнмеР, ц",с не зависит от аА»счо, если йчьц'.
Построение модели, связанной с (8.2А), во втором примере с четырьмя факторами А, Р, С, Е производится следующим образом. Представим себе бесконечную популяцию «растворов», из которых выбирается Ф «растворов» для эксперимента; «рас- гл. а смгш»нные модгли творы» в популяции отмечаем индексом и, который имеет распределение У„; точно так же представляем себе бесконечную совокупность «образцов», из которой для эксперимента выбрано 7л!! «образцов»; «образцы» в популяции отмечаем индексом о, имеющим распределение;У..
Если «образец» подвергается 1-му «режиму термообработки» с «раствором» и, то истинный результат в Ьм «месте» образца будем обозначать т(йи, о, Ф). Нетрудно определить все возможные взаимодействия в популяциях (даже те, которые совсем нельзя оценить в эксперименте рассматриваемого типа), а также найти способ вхождения этих членов в уравнение модели (8.2.4). Мы определяем так же, как и в (8.2.7), 24 различных эффектов в популяциях (1 генеральное среднее, 4 главных эффекта, 6 двухфакторных взаимодействий и т.
д.); (8.2.! 1) Из этих формул вытекает, что математическое ожидание любого а равно нулю, а суммирование любого а или а по ! или й дает нуль. Итак, мы получаем т (1, и, о, й) = в + а" + а" (и) + ас (о) + а» + а"," (и) + або (о) + +а".е" +арс(и, о)+ а»»~(и)+ ась(о)+ а,"»с (и, о)+а",„'*с(и)+ + иАсь (о) + иРсс (и о) + иА»сс (и о) (8 2 12) Положим, что (иь...,ил) являются й( индексами «растворов», участвующих в эксперименте, так что (и„) независимо РаспРеделены по Р„. Обозначим онн индекс 1'-го «обРазца», подвергнутого 1-му «режиму термообработкн» с «раствором» и; 7л(Х величин (оыД независимо распределены по У,.
Если средние значения наблюдений уие„ обозначать т„;е, полагая (8.2.!3) циеле = т;е~е+ Виеед, то тоне равно выражению (8.2.!2), если заменить в нем и на и„и о на о, / Если мы подставим это выражение для щ,ш» и =т(*, *, ай =т((, е, а" (и)=т(е, и, ахн(и) =т(1, и, — т (е, и, а у'с (и, о) = т (1, и, — т (е, и, +т(е, е, е, е), е, е) — т (е, е, е, е), е, е) — щ(е, е е, е), е, *) — т (1, *, е, *)— е, е) + щ (е, е, е, е), о,е) — т(1,и,е, *) — т(1,е,о,*)— о е)+т((, *, е, )+т(е, и, *,:)+ о, ) — т(, °, °, )ит.д. з вл. смвшхипые модели в многофхктогпом Аяллнзя зяг в (8.2.13) и обозначим аг=аР(и„), а,".„Р=а,"Р(и„), аее=аее(и„), ЦАРе — цАРе (и ) аип — — а (ог„г)+а,.
(пг„г)+а (и„, и,„)+а,. (и„, и,„), с с Ас Рс Арс (8.2.! 4) асе — асе (и ' ) + ЦАсе (о ) + ЦРсе (и и ) + цАРсе (и и ) то мы получим (8.2.4). Легко видеть, что все выражения для а в (8.2.14) имеют нулевые математические ожидания. Из послед- них двух равенств (8.2.14) и выражений (8.2.11) вытекает ас =т(1, иве ВЫ Е) — т(Е', и, Е, *), 'ЦСЫЕ = т(1, и„, О,„, й) — т(1, и„, ПМР е) — Лг (1', и„, *, й)+ + т(1, и„, Р, *). (8.2 15) Из этого выражения для ас„вытекает, что при каждом 1 каж- дый из УАЕ эффектов ас„, распределен так же, как т(1, и, о, е)— — т(1, и, Р, ), Обозначим их общую дисперсиюо',. Аналогично проверяются остальные утверждения (8.2.6) о равенстве неко- торых дисперсий.
Дополнительные условия (8.2.5) вытекают из (8.2.14) и (8.2.11) или из (8.2.15) и (8.2.1!). Определение и вычисление 55 и чисел степеней свободы Рассмотрим теперь смешанные модели с любым количеством факторов. Все наши правила будут основаны иа уравнении модели той задачи, которую надлежит решить. Мы уже указывали, как его найти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
