Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 61
Текст из файла (страница 61)
— е,, А,/ . с!! — си. В/! = е/!. — е„, — е./. + е„„. Так как (У,«, У.//) совместно нормальны, то нам достаточно доказать, что при всех 1', 1, ! Сон(1, У.!/) =О. Каждое из только что определенных В не завнсит от любого А, поскольку мы предположили, что множества (е»А) и (т») независимы. Далее, В, и В» ортогональны; это доказывается уже известным нам способом построения фиктивной модели с постоянными факторами.
Следовательно, нам осталось только доказать, что Сон (Агь А;!) = О; мы имеем Сон(А!, А !)=М [сгч(с» — с!)[=М~У ' ~,, с/г(с// — У ' ~ с»Я~= l" = У ~ М(с// с;/) — У ~ ~~~/ М (с// с/у) = !' /' /" =У М[с!(о)с/ (о)] — У 'М[(с;(о)с! ° (о)[=О, так как М (с»с; / ) = б/! М [с, (о) с, (о)[. Применяя к (8.1.17) рассуждения, связанные с фиктивной моделью с постоянными факторами, мы заключаем, что 55, есть о',Хе!!/х / Если мы положим в (8.1.!6) Ь/+е.!.— — У/, то получим 55в УК~(У/ — У.)', где (У/) независимы и имеют распределение !!/(О, о',) с о', = о' + У-'К-'и',; поэтому 55 равно УУ(о'Х! „или (с/', + УКаее)тз! / Отсюда следует, что М (55,) = оз, М (Ыв) = а', + УУ(о', (8.!.18) (8.1.19) В общем случае (с/) н (с//) в (8.!.14) и (8.1.!6) имеют неравные дисперсии и коррелированы, поэтому следует ожидать, что 55А и 55АЕ не будут распределены как кратные соответствующих нецентральных (или центральных) величин )(з; можно показать, что это так при У ) 2.
Однако если справедлива гипотеза УУАЕ. о'„=О, то все с» и с/ в(8.1.16) обращаются в нуль, и, рассуждая, как обычно, мы получаем, что 55АА равно о',у' пп „. Для вычисления М(55А) н М(55АЕ) воспользуемся сбедуюпщивм легко выводимым правилом.
3 з !. смешАнные мОдели В двухФАДТОРном АИАлизе зот Л ем ма. Если (х„...,хн) независимые, одинаково распре- деленные величины с дисперсией ае,, то Р(х,) =сУ 'о„, 0(х„— х,) =(! У ') о~, Х М (х„— х,)' = (сс! — 1) о,. (8.1.20) (8.1.2Ц (8.1.22) Определив теперь для удобства а; =ус — у, (8.1.23) мы имеем ас = ас+ сс, + в!ее — е,„„ М (йс) = аь 0(йс) = 0(с;„)+ Р(е„, — е„,„), Применяя далее (8.1.20) н (8.1,21), находим Р (ас) = 0(си) + (1 — 7 ') Р (ес.,), 0(йс) = Х [Р (сс(о)) + К (1 — Г ) ое1.
Записывая 55А=УКХй', и подставляя (8.1.24) в М (55„) =1К~, М(й',) =УК ~ [Р (й',)+ аД, (8.1,24) М (55ле) = ст'; + Ко' (8,1.26) мы получаем М (55л) = К Х 0 (с! (в)) + (( — Ц о' + УК ~ а'., Используя определения (8.1.8) и (8.1.9), находим М (55„) = о', + Ко'„+ УКоз . (8.1.26) Вычисляя математическое ожидание (8.1.16), мы получаем М (55л ) = КХ ХЕ(с — сс.)з+ + КМ[л~' Х(еи, — ес., — еьн+ е, )'1.
~с Применяя обычные рассуждения, мы представляем второй член справа в виде в,'(7 — Ц(У вЂ” Ц. В силу (8.1.22) ~. М (си — с,.)'= = (у — ц Р (с,(о)); отсюда, учитывая (8.!.9), мы представляем первый член предыдущей суммы в виде К2. (~ — Ц 0(с,(.)) = К(~ — !) (~ — Ц"„,. Отсюда получаем ГЛ, В. СМСШАННЫВ МОДГелн Т а б л и ц а З.!.!. Таблица лисперсионного анализа и (лла Степень свободы Источник диспеРсии с'е+ Кола+ скол о„+!Ко~ Главные эффекты А (постоииного) Главные эффекты В (случайного) (А Х В)-вваиыолействия ! — ! ) — ! г о + Кола в о„ (с' — !) () — !) )У (К вЂ” !) Ошибки Выведенные нами формулы математических ожиданий средних квадратов собраны в таблице 8.!.!.
Они справедливы, как обычно, без предположения нормальности. С их помощью получаются следующие несмещенные оценки при К) 1: ов = (т'гт) (о".вв — ~Я, (8.1.27) длв=К '(Ялв — 33е), (8.1.28) 8',=Я,. (8.1.29) Найдем теперь точечные оценки для остальных параметров модели. Чтобы оценить р! и аь мы можем воспользоваться теми же оценками, что и в модели с постоянными факторами, а именно уы„и аь определенными (8.1.23). Несмещенность второй оценки показана ниже формулы (8.1.23) ", аналогично можно доказать несмещенность первой оценки.
Рассмотрим теперь составленные из средних Х векторов-столбцов (У!!е Уже»уне) . (8.1.30) Из формулы (8.!.!) получаем уц, = тн+ ег„; (8.1.31) таким образом, 1 векторов (8.1.30) независимы и одинаково распределены, Обозначим г случайную векторную величину, имеющую такое же распределение, как каждый из этих векторов; она, очевидно, нормальна. Вычислим ее М(г) и Г,. Поскольку в силу (8.!.31) М (уц,) = М (т!)) = рь то М(г)'= !а. Далее, обозначая (г,го)-й элемент Ги через тм, получаем тм = СОЧ(у!во у!9.) = М (((т!! — )Г!) + Е!!.! [(т! ! — )Г! ) + ЕГ !.)) = =Сот(т!и т; !)+ М(ен, ег!) (8,1,32) % аз.
смвшАнныв модели и даухФАктоином АнАлнзс 369 Несмещенной оценкой Фгг элемента тн является выборочная ковариация г-й строки средних (уи„,йзз„,...,ун,) с аналогичной 2'-й строкой: Фн' = (У вЂ” !) Х (ун* — уо.) (уг! — у;"*)! (8 ! 33) ! поэтому при К - 1 несмещенной оценкой элемента он матрицы ковариации основного вектора «2 нашей модели является <гн' ='сн' бггК бе (8.1,34) Заметим, что, подставляя (8.!.34) в (8.1.10) и (8.1.11), мы приходим к оценкам для о' и о'-„'а, совпадающим с полученными ранее оценками (8.1.22) и (8.1.28).
Все найденные нами оценки остаются несмещенными н без предположения нормальности. При К )! доверительные интервалы для о', можно строить *) на основе )(2-распределения величины 55,/о',. Для отдельного ссь отдельного рг или отдельной разности а, — аг можно получить доверительные интервалы, основанные на 1-распределении. Применение на практике основанных на кратных доверительных интервалов встречает те же самые возражения, о которых говорилось в конце 9 2.3; в этом случае обычно предпочтителен метод множественных сравнений. Если К ) 1, то отношение (!Ко' + о',) 155я к 55 /от имеет Р-распределение с 2 — 1 и Н(К вЂ” 1) ст. св, Поэтому дове и- тельные интервалы для оз/о, и критерии для гипотез 2 2 рвот =О нлн о'/ае,(с можно строить обычным путем; мощность этих критериев может быть выражена через центральное Р-распределение.
2 Гипотезу Нла . 'ола= О можно проверять с помощью статистики 55ла/55„которая при Нла имеет Р-распределение с (! — 1) (У вЂ” 1) и Н(К вЂ” 1) ст. св. Однако мощность этого критерия не выражается через центральное или нецентральное Р-распределение, так как прп невыполнении Нла статистика 55ла не распределена как кратное величины )(2 *"). Хотя 55А и 55ла статистически независимы и прн гипотезе НА' все сх;= О имеют одинаковые математические ожидания, их отношение при НА, вообще говоря, не подчиняется Р-распределению.
'] См. Шеффе (Бсаеце, 1966а, стр. 32), *э) Мощность этого критерия изучалась Имхофом (!Шко(, !966). гл. в, смпшдииып мОдели з!о Точный критерий для этой гипотезы может быть основан на Т'-статистике Хотеллинга "). Прежде чем заняться выводом этого критерия, заметим, что пока еще неясно, надо ли на практике использовать точный критерий вместо приближенного**) г"-критерия, построенного с помощью таблицы 8.1.1 и основанного на замене распределения ЯКА/ЯЯлв на Р-распределение с ! — 1 и (1 — 1)(7 — 1) ст.св.; неясно, так как точный критерий сопровождается чрезвычайно громоздкими вычислениями. Если, применяя приближенный критерий, мы отвергнем гипотезу, мы можем потом воспользоваться приближенными Я- и Т-методами множественного срав.
пения, в которых (уг„„) при оценке сравнения Х с,у, (~ сг = О) считаются независимыми величинами с одннаковымн диспер. сиями, полученными из М(озл) в таблице 8.!.1 вычитанием ап, и делением на зК, Для расчета Р-статистики, а также в случае значимого ее отклонения для применения методов множественного сравнения мы построим прямоугольную таблицу с )с = Т вЂ” 1 строками и 7 столбцами, поместив на пересечении г-й строки и 1-го столбца (8.1.34а) 1» = уг!* — у» далее, вычислим Я средних (г(„) и — !с(!с+ 1) сумм произве! дений а„= Х (с(,! — с(„) (с(;! — с(;,) = ~ г(„г(, ! — И,.с(„., (8.1.35) 7 векторов г1!!! = (г(гп г(зь " .,г(л!)' (8.1,36) независимы и распределены !Ч($,Гл), причем г-я компонента ф равна $, = сс,— аь а Гл не вырождена *во).
Несмещенной оценкой Г» является Гл = (Х вЂ” 1)-'А, (8,1.37) а матрица А=(а„) определяется (8.1.35). Обозначим гт вектор, г-й элемент которого равен с(,„; в силу (Ч.5) приложения Ч Х(Т вЂ” 1) (г( — $) 'А-' (г( — ф) (8.1,38) *) Хотеялинг (Но1е!1!пк, !931). *г) Можно доказать, что при выполнении условна симметрии (8.1.12) приближенный с-критерий и приближенные 5- н Т-методы становятся точными. «"') Если Рк была бы вырожденв, то (г(гь ..., г(к,й должны были бы удовлетворять линейному соотногпепикь $ ал. смешанные модели В двухФАктоРном АБАлизе 311 распределена как статистика Та Хотеллинга, или как (( — 1) (г' — 1) (1 — г'+ 1)-'Рг ь т г+ь (8.1.39) Мы, очевидно, должны предполагать ( ~!; таким образом, в нашем примере число рабочих в эксперименте не меньше числа станков.
В условиях ь1 в силу (8.1.38) и (8.1.39) величина С(А — Ц'А-'(( — Р, где С = ((( — /+ 1)/(1 — 1), имеет Г-распределение с г' — 1 и ( — 1+ 1 ст. св. При выводе этого распределения мы пользовалнсь тем, что Т векторов (8.1.36) независимы и имеют одно и то же 1А'-мерное нормальное распределение. Вывод останется справедливым, если ( векторов (ен„, ..., ен,) независимы и имеют одно н то же )т'-мерное нормальное распределение; так будет, например, если вместо общей дисперсии ошибки о' предполагать различные для г' станков дисперсии (пт,).
Прн гипотезе НА мы имеем В = О, поэтому нз (8.1АО) следует, что статистика 8 = СРА-Ч равна в этом случае гг ьг г+и Тв-критерий для Нл состоит в том, что мы отвергаем Нл с уровнем значимости гв, если 5 ) и„, г ь г 1+ь Для фактического вычисления статистики 5 совершенно необязательно обращать ()т Х)с)-матрицу А; вместо этого мы можем воспользоваться формулой (Ч.2) из приложения Ч И'А '0=1 + ~ — 1, 1Д! которая требует только вычисления двух детерминантов порядка (тт' Х гт). Предыдущая форма Ти-критерия кажется несимметричной, так как (-я строка играет в нем особую роль.
Однако нетрудно показать, что, используя вместо (г(г = р.«е — рнч) любой другой базис в (г' — 1)-мерном пространстве, порожденном разностямн (д„.— дг..), мы приходим к тому же критерию*). Мощность этого критерия можно выразить в терминах не- центрального Р-распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
