Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Столбец М(55), заполненный указанным способом, позволяет нам применять Р-критерии, вообще говоря, приближенные даже в предположении нормальности. Для проверки гипотезы, соответствующей какой-либо строке таблицы (за исключением строки ошибок), в качестве числителя берем средний квадрат этой строки, а в знаменатель помещаем такой средний квадрат, который имеет при нашей гипотезе то же самое М(55). Если такого среднего квадрата нет, то он заменяется линейной комбинацией нескольких 55, математическое ожидание которой равно М(55) числителя при нашей гипотезе. Мы приписываем этой линейной комбинации число ст. св., вычисленное по методу, указанному в конце З 7.5. Применяя этот метод, мы считаем средние квадраты 55 независимыми, а каждый 55 распределенным как величина х', умноженная на М(55) и деленная на число ст. св.
На самом деле независимость и тз-распределение могут и не иметь места без дополнительных ограничений. Если среди факторов имеется только один случайный, то для главных эффектов постоянных факторов можно построить точные критерии, основанные на статистике Т' Хотеллинга. Если число уровней случайного фактора, например В, равно а число уровней одного из постоянных факторов, например А, равно ! (! ( 7), то для анализа главных эффектов А с гл. а. смпшдннын модплн ззо помощью Т' мы составляем таблицу ()с,'л, У) разностей стн = эн Ви, где Я = 7 — 1, а уп равно среднему всех наблюдений с 1-м уровнем А и )цм уровнем В. Анализ далее идет по схеме, которая изложена ниже формулы (8.1.34а), если заменить там (уи„) на (уп), а (ссс) обозначать главные эффекты А, Однако, если в смешанной модели случайны по крайней мере два фактора, то критерий Хотеллинга Т' приводит к столь громоздким вычислениям, что вряд ли его можно применять на практике е). Модификация изложенных правил вычисления М(55) в слу.
чае, когда ошибки не имеют одинаковой дисперсии о';, приводится в начале $ !0.4. ЗАДАЧИ 8.!. В таблице А приведены данные, харзктернзующие скорость истечения топлива нз сопел трех типов; измерения произзодилнсь пятью операто. рами, каждый из которых произвел по три яаблюдення на каждом сопле. а) Проанализируйте эти данине с точки зрения смешанной модели $8.1.
б) Значимо ли различаютси сопла, если анализ провести на основе модели с настоянными факторамн? Таблица А*). Оператор Сопла 21,14,7 25,18,25 — 5,2,-5 15,8,1 !2, — 2, — 16 -4, 10, 24 А В С 6,6, -15 13,6, 13 10, 10, — 11 26, 12,5 4, 4, 11 — 35, О, -14 11, 4, 4 !7, 10, 17 11, -1О, -17 в) Если ответ на задачу б) отличен от соответствующего ответа зада. чн а), то дайте интунтиваое объяснение, почему разности, значимо отличаю. щнеся от нуля в одной модели, не отличаются от нуля в другой, 8.2. В таблице Б даны измерения водонепроницаемости (равные логариф.
мам проницаемости, измеренной в секундах; чсм больше измеренное число, тем выше водонепроницаемость) листов неко~араго материала, изготовленного на трех разных станках в течение девяти различных дней. а) Проверьте с уровнем значимости 0,05 каждую из гипотез Нж Нэ, Нпе, обозначая через А станки, через  — днн н применяя смешанную мо. дель 4 8.1.
б) Вычислите точечные оцеяки всех параметров этой модели (включая три коэффициента корреляции пнп (оып,ч) ~~, 1 Ф !'), ") Имхоф (1шпо1, 1958) нашел точный критерий и метод множественных сравнений, основанный на 7' в случае полного трехфакторного анализа с двумя случайными факторамн и одним постоянным.
') заимствовано пз Рпппапьспсе3е о! Апе!уыз о! пес!апсе, часть 1, с. н. н!см !папа!. г!е! Опон!у Сонно!, т, !з, э, !зте. тпаппце !щ стр, ш. злдлчм Таблица Бе) 331 Станок 1,66 1,54 1,68 1,40 1,45 1,63 1,63 1,36 1,84 1,79 2,04 1,58 1,63 1,28 1,69 1,80 1,45 1,57 1,82 1,24 1,18 1,52 1,43 1,86 1,89 148 1,39 1,67 1,37 1,1 1 1,72 1,37 1,92 1,93 2,13 1,23 1,51 1,44 1,33 1,38 1,54 1,43 1,70 1,64 1,07. 1,38 1,70 1,84 1,40 1,35 1,62 1,31 1,63 1,41 1,93 1,40 1,91 1,48 1,89 1,51 1,58 1,65 1,38 1,36 1,77 1.73 1,54 1,23 1,40 1,53 1,32 1,34 в) Примените к разностям между тремя парами станков 5-метод. 8.3. а) Заполните столбец М(55) в задаче 5.8.
б) Затем постройте (приближенные) г"-критерии. в) По шести средним значениям для различных расстояний найдите примую линию, пользуясь методом наименыпих квадратов. г) Найдите для наклона прямой в в) 95-процентный доверительный интервал. 8.4, Для изучения влияния М различных условий содержания цыплят проводят эксперимент, в котором из ! пород цыплят выбирают по ! групп, а из каждой группы по К не~ухов. Из потомства каждого нз этих ПК петухов выбирается по Мй! цыплят, и в каждом из М условий содержат й! из этих цыплят. Составьте уравнение модели и постройте таблицу днсперснонного анализа, аналогичную таблице 8.2.2, для этой схемы.
8.5. Следующая задача рассматривается в Я 8.23 — 8.26 книги Дэвиса (Пан!ва, 1956). Для того чтобы исследовать устойчивость к коррозии 1 алюмиииевмх сплавов (фактор А) в атмосфере химического завода, в каждом из ! выделенных мест (фактор Б) завода помещено иа год по одной пластинке каждого из 1 сплавов. Затем каждая пластинка оценивается каждым ил К наблюдателей (фактор С).
Мы условимся первоначально считать все три фактора постоянными; и частности, девять сплавов не являются выборкой из популяции сплавов. Однако мы можем ожидать, что имеется некоторая изменчивость среди пластинок, изготовленных из одного и того же сплава, н, возможно, также среди различных частей одного и того же места (расположения пластинок). Чтобы все это учесть, добавьте к уравнению молели с постоянными факторамн случайные эффекты а! и а, и предполо- Я жите, что эти эффекты независимы, имеют нулевые средние и 42(а!!7=дл н )у(а! )=й .
Покажите, что для получения М(55) надо к каждой из фор- / В мул М(55л), М(55в) и М (55лв) модели с посгояиными факторами добавить Кбзл+ Кб,'-. «! Звнмствонлно нл тлблнцм З2, стр. 402. хннгн Хвльлл «Метеметнческвн ствтнстнкл с техническими прнложенннмнж ИЛ, !%6. Глава й РАНДОМИЗИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ ф 9.1, Случайные блоки. Оценки В рассматривавшихся до сих пор моделях мы предполагали, что ошибки наблюдений статистически независимы и имеют одинаковые дисперсии или же известную (может быть с точностью до скалярного множителя) ковариационную матрицу ($1.5).
В этой главе мы изучим модели, не налагая на ошибки ограничений такого рода. Такие рандомизнрованиые модели е) будут построены для случайных блоков и планов с латинскими квадратами; сначала мы разберем вопрос об оценках в этих моделях, а затем проверку гипотез; последнее потребует введения понятия перестановочного критерия. Читатель, вероятно, уже знаком с каким-нибудь нематематнческим изложением (хотя бы с изложением в 9 4.2), из которого нетрудно сделать вывод о том, что рандомизацня позволяет избежать тех трудностей, которые возникают при нарушении обычных предположений в нормальной теории. Точное описание рандомнзированных моделей по необходимости получается очень подробным; это подробное описание моделей, а также последуюшее их изучение может показаться слишком громоздкимн для тех статистических выводов, к которым онн приводят.
Тем не менее автор считает полезным попытаться дать подробное изложение этих двух планов; с одной стороны, это изложение даст хотя бы частичное обоснование тех обобщений, с нестрогими выводами которых читатель может быть знаком, и, с другой сто- е) Рандомизированные модели были введены нейманом сначала (ь!еушап, 1923) для полных рандомизированных планов, а затем ((Чеушап, !935) для раидомизнрованных блоков, Велчем (%е!сЬ, !937) н Питманоьг (Рг!пап, В37) для латинских квадратов (при некоторой нулевой гипотезе), а Кемп.
торном (Кешрйогпе, В52, !955) и Уилком (%!Пг, 1955) — для многих других планов. Только Нейман (!чеушап, !935) и Уилк (%!В, !955) учитывали технические ошибки, предполагая, что онн имеют нулевые корреляпии и одинаковые дисперсии. $»з, случхиные влоки. Оценки ззз роны, понимание природы распределения ошибок, порожденных механизмом рандомнзации, должно быть частью нашего знания основной теории дисперсионного анализа. Читателю будет полезно вновь прочесть пункты в конце $ 4.2, озаглавленные «План случайных блоков» и «Рандоми. зация». Предположим, что ! «совокупностей условий» сравниваются на !! экспериментальных объектах (на сельскохозяйственных делянках, экспериментальных животных и т. д.), причем эти О объекта группируются в ! блоков, по ! объектов каждый.
В каждом нз этих блоков ! «совокупностей условий» случайным образом ставятся в соответствие ! объектам, независимо друг от друга в.каждом из ! блоков, так что каждое из (!1)' соответствий с одинаковой вероятностью может быть использовано в опыте. В каждом блоке экспериментальные объекты будем нумеровать ч = 1, 2, ..., !. Пусть мн, означает «истинный» результат Рй «совокупности условий» на объекте (!»м) (т. е. на ч-м объекте 1-го блока); эта величина будет нами рассматриваться как математическое ожидание результата, если Ря «совокупность условий» применяется на объекте (1, т).
Мы можем написать (9.1.1) йц» = И + гг~ + ~~ + ун + еп»~ где генеральное среднее 1г, главные эффекты «совокупностей условий» (оп), главные эффекты блока ф), взаимодействия «совокупность условий» вЂ” «блок» (ун) определяются в терминах (мп,) так же, как они опРеделЯютсЯ в теРминах (»1ц) в (4.1.9); следовательно, они удовлетворяют обычным дополнительным условиям, а ен» определяется как (9.1.2) еп» = Кн» рп*. Заметим, что величины генерального среднего р = р„„и главных эффектов «совокупности условий» (ап = р;„,— р) не зависят от того, как разбиваются на блоки У экспериментальных объектов (по ! объектов в каждом), так как они являются средними по всем )! объектам, Заметим также, что (е„,) удовлетворяют равенству (9.1.9) е» =0 при всех 1, !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
