Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 67
Текст из файла (страница 67)
е. о'„=оз = О) имеет место равенство М(55л)= = М(55,), если даже есть взаимодействие «совокупность уело. вий — объект» в блоках (олзв = О). 339 % ВА. СЛУЧАИНЫЕ БЛОКИ. ОЦЕНКИ Обозначим на минуту и'„любое из и', входящих в формулы для М(55), например ол, о' и т. д. Мы будем иногда называть план для проверки гипотезы пз = О меслгещениылг, если существуют два 55, имеющие равные М(55) при о'„= О (отсюда еще не следует существования несмещенного критерия). )т(ы примем следующее, более удовлетворительное определение.
План называется иесзгещенньгн для проверки О';=О, если существуют два 55, которые имеют М(55), разнящиеся на сп'„, где с — известная ненулевая константа *), Так как в плане со случайными блоками М (55А) — М (55,) = УОА — олв, то этот план является несмещенным только в том случае, когда мы предполагаем пда — — О. Проверка гипотез в таких моделях будет рассмотрена в 9 9.3. Во многих приложениях, по-видимому, более удобно рассматривать блоки как случайный фактор, Можно показать, что в случае, когда блоки рассматриваются как случайная выборка из бесконечной популяции блоков, мы получаем а*) формулы, совпадающие с (9.1.19), только к М(55А) добавляется член ОАБ, в этом случае М (55А) — М (55в) = УОА.
Любопытно отметить, что теперь план становится несмещенным 2 в определенном выше смысле для проверки гипотезы ОА = О. Отсюда возникает один кажущийся парадокс, разрешение которого поможет углубить наше понимание взаимоотношения различных моделей, в которых один и тот же фактор рассматривается соответственно как постоянный или случайный. Если дана выборка У блоков из бесконечной популяции, то математические ожидания (9.1.19) можно рассматривать как условные, так что М (55А 55а! У бЛОКОВ) = УОА ОАВ (9.1.21) Предположим теперь, что а""„= О и ОАБ нь О. Тогда М (55А — 55, ~ У блоков) < О. Так как М (55А — 55,) =1М (55А — 55, ЗУ блоков)), (9.1.22) ') Из этого определения вытекает существование несмещенной опенки оа.
Если х относится к постоянному фактору, то опенка о обычно мало 3 кого интересует. Я хочу включить в свое определение понятие, связанное с мощностью хорошего критерия, так что чем дальше огстонт истинная гипотеза от проверяемой, тем больше равнина между двумя 55. *') Уник (%~Пс, 1934). ГЛ, З, РЛНДОМИЗИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ З«а то М(55л — 55«)(0, если блоки рассматривать как случайный фактор. Но в силу (9.1.20) в этом случае М(55л — 55,) = О. В этом парадоксе мы не обратили внимания на то, что ол имеет разный смысл в зависимости от того, рассматриваются ли блоки как постоянный или случайный фактор, В первом случае О'„относится к главным эффектам «совокупности условий», которые определяются как средние по з' блокам в эксперименте; в последнем случае усреднение берется по блокам популяции, Аналогичное замечание относится и к усредненяю в определении взаимодействий, входящих в О' .
Заменяя эти символы в первом случае на более точное Обозначение ОА)l б„„„, Олв), „„„и опУскаЯ пРедыдУщее Условие Од — — О, мы полУ- чаем с помощью (9.1.20), (9.1.21) и (9.1.22) ~ОА М ( ОА)телеков гз«в)т ало«о»)' (9'1'2З) Если О'„=О, то отсюда еще не следует ол „, „=0; однако если последнее справедливо для всех множеств г' блоков, то О' 1, „„„также должно быть нулем для всех множеств з блоков «). Это разрешает наш кажущийся парадокс. Эффективность случайных блоков Возвратимся к той точке зрения, что блоки соответствуют постоянному фактору.
Мы рассмотрим эффективность планов со случайными блоками относительно полностью случайных аланов, в которых «совокупности условий» случайно ставятся в соответствие тУ «Объектам», причем требуется только чтобы каждая «совокупность условий» появилась з раз, н каждое такое соответствие имело одну и ту же вероятность.
Простые результаты можно получить только в том случае, если мы это сравнение произведем при предположении полной аддитивно. сти, которое мы скоро определим. При этом 'представляют интерес выражения, показывающие корреляцию ошибок в рандомизнрованных моделях и увеличение точности при сравнении с планом, в котором экспериментальные объекты оптимальным образом распределяются по блокам; эти выражения будут справедливы при условии полной аддитивности.
Наибольшая точность получается, когда в модели блоки составлены так, чтобы они были по возможности однородными (т. е. когда разности между эффектами объектов внутри блоков минимальны, *) это вытекает нв (9Л.23) прн о~а О; прямое доказательство в случае, когда 1 блоков выбраны нз конечной совокупностн к блоков (Я' ) 1), указано в задаче 9«К 5 в.!. слвчлйнын Блоки. Онвнкн 34! а между блоками — максимальны *). Если результирующие разности между блоками большие, то мы можем ожидать, что взаимодействия «совокупность условий — блок» также будут большими. Однако это обстоятельство не отражается в определяемой нами аддитивной модели.
Под полной аддигиеностью мы будем понимать отсутствие взаимодействий между «объекгами» и «совокупностями условий» в полностью случайных планах; это значит, что при любой группировке «объектов» в блоки взаимодействия «совокупиость условий — блок» (уц) и «совокупность условий — объект» т)ц, внутри блока все равны нулю, т. е. (9.!.24) эта значит, далее, что технические ошибки аддитивны в том смысле, что, применяя «совокупность условий» ! к «объекту» (),т), мы получаем техническую ошибку ец„состоящую из независимых компонент !ц„и иц„связанных соответственно с «совокупностью условий» и «объектом», (9.!.25) ец, = !ц, + иц„ где М(!ц,) = М(иц,)= О, а (!ц„), (иц,) предполагаются полностью независимыми друг от друга и от (дцъ), так что Р (е,,) = а',, + о~ (9.!.26) где о,' с=Р(Уц,) и а„',э= 0(ис„).
Здесь возможен случай, когда дисперсии наблюдений при одной или нескольких «совокупностях условий» (или «объектах») намного больше по сравнению с остальными. Уравнение модели в случае полной аддитивности превращается в уц — — !с+а!+6!+ец+ец, где ец= л, цД!т (так как -- %'Д т все т!ц,=О, и поэтому ец,=5!,) и ец — — 2 дц,ец, — — ~ дц, (гц, + иц„). С помощью сделанных до сих пор предположений относительно распределения (йц„) и (ец,) мы можем вычислить дисперсии и ковариации ошибок «объектов» (е,!) и технических ошибок (ец) Сот(ец, е! л)=бц (би — Г')ой, л (9.!.27) "! В том смысле, кто »тот состав блоков мнннмнвнруст оп н, следова.
2 ! т тельно, обращает в макснмум ов, так как в (эй.зт) ои фнкснрованно. Гл. г, РАНдомизИРОВАННые мОдели 342 где оч = (7 — 1) ~, аг,; Соч(егн е, )=Ьн,Ь,(о',,+о'„), г -)х ГдЕ О„, г = 7 ~„о,, ~ч, И Соч(ен, ен, у) =О. (9.1.28) (9.1.29) Для вывода (9.1.27) мы воспользуемся (9.1.!2) и напишем Соч(ен, ею ~ ) = М (ене; ~ ) = х 2 М(с(нчсК; нч ) К~Ддч —— ч ч = Ьн Е ~~ М ((нчА 1ч ) аг4ч Далее, из (9.1.!1) Мы получаем при г =1' Соч (е и ен ) =Ьн ~, ~„ГЬ„Ь Д,, = ч =Ьн) Еа)ч=бн (1 — 7 ')ой,~ и при 1Ф1' Соч(ен, ег ~ ) =Ь» 7 ' (7 — 1) ' ~, х, (1 — Ь„) $г,4уч = — Ьн Г'ой ь ч ч' так как 2 ~~,— — О.
Из этих двух формул мы получаем (9.1.27). Для вывода (9.1.28) мы подсгавляем (9.1.26) в (9.1.17). (9.1,29) мы получаем из равенства Соч(еин е; ~) =~„~ М (Г(н,йг 7 ч)$~,М(е; г ч). Из (9.1.27) мы находим, что коэффициент корреляции для двух различных ошибок «объектов» е» и-енГ в одном и том же блоке равен — 1/(7 — !).
(9.1.30) Если экспериментальные объекты упорядочены по времени получения наблюдений или в порядке расположения сельскохозяйственных участков, а блоки получены группированием по 1 расположенных последовательно объектов, то можно ожидать, что корреляция между объектами в одном и том же блоке будет положительной: смежные илн близкие объекты более похожи друг на друга. Однако в (9.1,30) стоит знак минус; причиной этого является то, что это вычисление было проведено для ошибок объектов внутри блоков; зта формула выражает корреляцию разностей от средних в блоках, а упомянутая выше положительная корреляция относится к эффектам смежных 4 ЭЗ. СЛГЧхн/<ЫЕ ВЛОКИ, ОЦКИКи 343 среднее /-й «совокупности условий» равно у„ /< + а<+ е„+ е<„ а дисперсия оценки <р = ~ с,.у,, сравнения $ <г = Х с<а<, (Х с< = О) (9.1.3!) равна 1У (Ф) = Е Х с<с < (Соч (е <., е < .) + Соч (е<., е< .)1 = < =У ~,~ ~ ~,с<с< [Соч(е<!, е< !)+ Соч(ен, е, !)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
