Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 69

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 69)

'") Оцеяка (9 2.!7) сравнения пе смещеяа, если М (епь) = О. Лалее, пря яезавясямык (еяе) формулы (9,2.12~ я (9.2.13) для М(55) справедливы, если мы определим е, и ~ ~ ~~~ ~, Р (епь); зтя условия достаточны так! ! а же для сохраяеяяя результата (9.2.19) о средяей дисперсии оценок и (тп — 1)/2 разностей, йсля, далее„ распределение еое не завясят от й я оллвс = О, то результат (9,2.18), касающийся дисперсии оценки сраваеяая (9.2.17), также справедлив, з нк латинские квхдпхты.

оценки 349 а полная 55 равна 55«олн = Х Х Х ~1ц»Уц»', всюду надо заменить уп» выражением (9.2.1). Если мы подставим (9 2.1) в (9.2.3), то структура наблюденных средних упрощается и имеет вид у „=р+ас 1 пг-~~'~'д (нлв+алзс+е ) (926) (9.2.5) при всех ~', 1, й.

Заметим, что в описанном выше случае (П1), где факторы А, В являются характеристиками, по которым группируются иР экспериментальных «объектов», главные эф- фекты (ал) и (аз) являются эффектами, которые «элимини- руются» группировкой (подобно эффектам блока в случайных блоках), взаимодействия (ацэ) остаются эффектами объекта, (адлмс) и (а~~) являются взаимодействиями «совокупностн усло- вий» С с двумя характеристиками группировки, а (алцз»с) есть взаимодействие «объект — совокупность условий», Полагая, что рандомизация порождена случайными величи- нами (А;»), определенными так же, как в э 9,1, а именно г(у» — — 1, если в эксперименте осуществляется «совокупность условий», состоящая из 1-го уровня А, 1-го — В н й-го — С, и А;» = 0 в остальных случаях, причем (А~«) не зависят от технических ошибок, мы получаем уравнения модели (для на- блюдений).

Эти уравнения можно записать в любом из трех видов у,,= Х г(, уц„ или уц„ = Х г1ц у, или укм = Х г1ц,уц,,' » ! * ! где (ун,) нужно заменить выражением (9.2.1), а уп, представ- ляет собой наблюдение прн «совокупности условий» экспери- мента, состоящей из Ого уровня А и 1-го уровня В и т. п. Все статистики, использованные прн анализе экспериментов с ла- тинскими квадратами в 9 5.1, являются функциями полученных средних при различных уровнях трех факторов, полученного генерального среднего и полной 55.

Эти статистики имеют сле- дующее строение. Полученные средние при г-м уровне А, 1-ив В и Ьм С соответственно равны у,„.=т-'ХХ 1ц»уц,, у, =т-'Храп„уц„, / » » У., = пг ' Х Х г(ц»Уцм (9.2.3) ! наблюденное генеральное среднее равно у...= 'ХХХа у;, (9.2.4) » ГЛ. К РАНДОМИЗИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ (аналогичные выражения имеют нм, и ум,), в силу Е г(ИА = Е "пь = Х г(НА = 1 с А и дополнительных условий (9.2.2). Заметим, что случайные величины л» и еь в (5.1.15) состоят из следующих членов (9.2.6): д = т ' Х ~ д „= (аА(э + азиэьс), е„= пг ' ~, ~ йпьень. / 1 ! Результаты этого параграфа зависят от первых и вторых моментов (г(ИА). При выводе этих моментов нам будет удобно называть уровни А сгрокамн, уровни В столбцами, а уровни С числами (подобно числам в (5.1.Ц).

Из равенства М(г(НА) = = Р(йпь = Ц, где Р(Ар = Ц есть вероятность появления числа й в ячейке (1,1), вытекает ((й (((ИА) ш (9.2.7) так как наша рандомизация эквивалентна рандомнзации по строкам, столбцам и числам, и поэтому все числа с одинаковой вероятностью могут появиться в ячейке (й/). При выводе вторых моментов мы воспользуемся приемом, аналогичным (9.1.9), М(ан,ап,,)=Р((н,=»Р= -Р, (9,2.8) где Р†условн вероятность Р=Р((Н;А =11(ИА=Ц. (9.2.9) Для определения Р рассмотрим четыре случая соответствующих числу выполненных условий: 1=!', й = й', (9.2,10) в (1) случае выполнены все условия, во (П) — точно два, в (1П) — точно одно, а в (1Ч) — ни одного.

В силу симметрии плана с тремя факторами, при вычислении Р важно только количество Ф условий (9.2.10), имеющих место (У = О, 1,2,3), а не их состав. В случае (!) Р = Р(г(НА = 1!Ар = 1) = 1. В случае (П) предположим й чь и'. Тогда из (9.2.9) следует, что Р есть условная вероятность того, что число й' попало в ячейку (01) при условии, что в эту ячейку попало й. Следовательно, Р = О.

В случае (П1) положим 1= 1' и рассмотрим только числа ~'-й строки. В этой строке появилась какая-то перестановка чисел 1, 2, ..., т. Тогда Р есть условная вероятность появления числа й' в 1'-м столбце при условии, что число й появилось в )ьм столбце. Так как наша рандомнзация порождается случайной перестановкой чисел, то в ~'-й строке равно- возможны все т! перестановок 1, 2, ..., т. Из них в (т — Ц! й стоит в (ьм столбце, а из этих последних перестановок Ф ят ллтинскнг килли»ты, оцвнки зз! в (т — 2)! й' стоит в /'-м столбце.

Следовательно, Р =- = (т — 2) !/(т — 1) ! = (т — 1)-'. В (1Ч) случае рассмотгпим условную вероятность того, что число й' попадет в ячейку (!, /') при условии, что такое же число й имеется в ячейке (й!). Так как перестановка чисел случайна, то эта вероятность одинакова для всех й' Ф й, поэтому она равна (т — 1) ! [1 — Р(й в ячейке т, /'[й в ячейке !, !Ц = =( — 1)-'[1 — РИ '=![бн = 1Н=( — !)-'Е! — ( -!)-'1! последнее равенство вытекает из значения Р в случае (ШП. Таким образом, в случае (1Ч) мы получаем Р=(т — 1) — '(пт — 2). Подставляя эти значения Р в (9.2.3), мы получаем М (г(н»гтгг»') п! если все три О, если точно два т (т — 1) , если точно одно т (т — 1) (т — 2), если ни одного из условий (9.2.10) (9.2.! 1) выполнены.

Суммы 55 определяются и вычисляются так же, как в 9 5.1. Их выражение в терминах случайных величин (с(ч»), технических ошибок (е;!») и параметров !г и (се,) получается, если в 55с = Х (У..» У...) Математические ожидания этих сумм зависят от вторых моментов (с(,!») и (еч»). Их вычисление довольно утомительно, поэтому мы приведем готовые результаты *) без доказательства: (55с) = о', + (1 — 2т ') атлас + олв + пюас, (9.2.12) (55») о + (1 3т !) олвс + отав + отлс + ойс (9 2 13) где (а',чгв) ~' (алис)е от ! от ! ! а лз (лг - ц» ° лис (» цт ХЮ' » *) Это есть частный случай формул Уилки и Кемпторна !Фик, КептрЩогпе, !Вбу), которые рассматривали случай, когда уровни факторов могут выбираться иа популяиии уровней.

подставить сначала (9.2.3) н (9.2.4), а затем (9.2.1); аналогично получаются формулы для 55л и 55и. С помощью (9.2.5) мы определяем затем 55» 55иоля ту а 55л 55В 55с Гл, а РАндомизиговлнныв модвли 352 и т. д. Формулы для М(55») и М(55») можно получить из (9.2.!2), переставляя символы А, В, С. Заметим, что при гипотезе Нс. все а~~=О, или о«с=О, М(55,) обычно превосходит М(55с); более точно, М(55«) > М(55с), если алас ~ гп (ало + авс) ° хотя и с коэффициентом гп-'.

Чтобы учесть хотя бы в первом приближении влияние взаимодействий на Р-критерий, когда а' взаимодействий (например, а'„з) входит в М(55) как числителя, так и знаменателя, мы можем подобрать подходящее значение параметра нецентральности. В Я 1.6 и 2.6 мы нашли, что 55» и 55», числитель н знаменатель Р-статистики, имеют математические ожидания М (55и) = о' (1 + д-'6'), М (55о) = а2, где д — число ст.

св. 55ю а 6» — параметр нецентральности. 6(ы можем воспользоваться другим параметром нецентральности (см. $ 2.8) ~р»=(д+1)-'6', мощность критерия меньше меняется и остается почти постоянной, если д меняется, а фиксировано ~р', а не 6з. Итак, д м рз„) — м (ззо) +1 м(зз ) (9.2.! 5) Мы будем называть ф, определенный (9.2.15), обобщенным параметром неценгральности во всех случаях, когда рассмат.

риваемая статистика равна отношению двух средних квадратов 55«и 55о. Мы можем считать «р» грубой мерой мощности критерия; убывание ~рз соответствует убыванию мощности. Согласно терминологии, введенной ниже (9.1,19), на стр. 339, наш план является смещенным для проверки гипотезы о',=0 (если только мы не предположим, что о«. =аз =и-'„з =О), Если мы вспомним, что в случае (111) а„' является мерой величины взаимодействий «объект — совокупность условий» (см. рассуждение ниже (9.2.2)), то мы получим, что наш план, в отличие от плана со случайными блокамн, смещен для проверки гипотезы а'- = О, если присутствуют взаимодействия «объект — совокупность условий», в том смысле, что а"„-з входит в разность М (55с) ™ (55,) = ' — о',„— а'„+ и 'о'„-„, звз ялтинские квлд»лты оцвнки В силу (9.2.12) и (9.2.!3) обобщенный параметр нецентральности для Яс/Ю, равен ~р' — —, „, с, (9.2.16) — мвс — (4с+ "вс)+ ~ '4вс п~ «~+ АВ+ («Лс+ ОВс) + (1 — ЗIП ) ОАВс '"~с Сравнивая его со значением Ч~з= — —,с, получающимся ж в', при отсутствии взаимодействий, мы видим, что наличие взаимодействий, о» которых, например о'„, входит только в М(Яв), оказывает двойное влияние на уменьшение мощности, уменьшая числитель и увеличивая знаменатель ~р', в то же время наличие таких и', например о'„, которые входят в М(Юю) и М(55в) с одинаковыми коэффициентами, влияет только на знаменатель.

Характеристики

Список файлов книги