Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 73
Текст из файла (страница 73)
г в случае нормальной теории. Большинство доводов в пользу этой уверенности (о приближении церестановочных критериев критериями нормальной теории) относится к случаям, когда наблюденная выборка уо подчиняется некоторым ограничениям *), например, из предыдущего следует, что это приближение будет хорошим, если функция ф от уо близка к единице, а это обычно так, когда )7(!' мало по сравнению с единицей. Эти доводы можно, вообще говоря, разбить на три группы: Во-первых, это опубликованные **) численные примеры (для частных не), где есть близость г (ус) и г"ч, Во-вторых, некоторые асимптотические вычисления. Легко доказать, что если в плане со случайными блокамн увеличивать число блоков У, оставляя фиксированным число «совокупностей условий» !, то предельное распределение статистики У в модели ноРмальной теоРии Равно РаспРеделению Х'; г Было доказано э**), что если увеличивать ! при фиксированном ! *) Хефдянг (НоеНд!пя, 1952) доказал, что еслн в случайных блоках ! увелнчнвается, а 1 постоянно, то прн некоторых предположениях относнтельно последовательности распределений наблюдений «уровень значнмосгн» (» (р) перестановочного крнтерня (являюшнйся случайной велячнной) схо.
днтся по вероятностн к константе. Отсюда он смог показать, что перестано. вочный критерий имеет аснмптотнческн в некотором смысле ту же самую мощность, что н обычный г-крнтернй ярн конкурнрующнх гипотезах, обычных в моделях нормальной теория. Нам, конечно, более желательно было бы нзучнть эту мощность Е-крнтерня прн конкурирующих гипотезах, допустимых в рандомнзнрованных моделях. *') Фишер (Р!зсьег, 1935, 42!), Велч (%е(сп, 1937, стр. 31), Пнтман Рпщап, !937, стр. 334], Кемпторн (Кешр!погпе, 1952, стр. 152), Иден н эйтс (Едеп, Уа(ез, 1933), Результаты Идена н Иэйтса можно рассматривать как сравнепне значений в г".таблнце с оценками г (у ), полученнымн нз эмпнрнческнх выборок перестановочных распределений статнстнкк Я для раалнчных уровней а н единственного множества «наблюденнй» р» (не дей.
ствнтельных наблюдений, а средних нз множеств по восьми наблюдений а однотипных нспытаннях со случайнымн блокамн; онн пользовались также 1 в= — 1п Зг вместо У ). К этой статье относнтсч дискуссия между Нейма. 2 ном н Иэйтсом ((чеушап, Ха1ез,!935, стр. !64, !65].
"*) Вальд н Вольфович (%а!д, %о!!отч!!х, 1944). 4 з.з. перестдиовочные критерии 369 и если последовательность удовлетворяет некоторым ограничениям, то перестановочное распределение статистики У имеет тот же предел. Аналогичные вычисления были проведены также для однофакторного анализа *). В-третьих, вычисления моментов. Моменты вычисляются обычно для преобразования () статистики У, проведенного выше, а именно () = 55п((55п Х 55,), где 55л и 55, являются соответственно 55 числителя н 55 знаменателя У".
Мы рассмотрим здесь лишь вычисление моментов для плана со случайными блоками. Выше мы нашли, что й) ((г) и Р((г) перестановочного распределения сг', т. е. дискретного распределения, в котором (. выборкам нз 5(уо) приписываются равные вероятности, даются формулами (9.3.10) и (9.3.13). В нормальной теории при гипотезе Н статистика У" =55л/55, имеет г'-распределение с (г — 1) и (г — 1) (7 — 1) ст. св.; поэтому с) = 55~/(55~ +55,) является р-величиной с теми же ст. св. Из (9.3.14) вытекает, что в нормальной теории Сравнивая эти выражения с (9.3.10) н (9.3.13), видим, что в обоих случаях М((г) одно и то же, а Р((г') могут немного различаться, причем отношение Р((У) в перестановочном распределении к Р((1) в нормальной теории равно Если )г/Х мало по сравнению с единицей, то это отношение обычно близко к единице; оно точно равно единице, когда полученный выше корректирующий множитель у для чисел ст.
св. равен единице. Получающееся хорошее соответствие (при Н) между перестановочным распределением и распределением сг' (или, что равносильно У = 55л/55,) в нормальной теории несколько удивительно "*), так как совместные распределения 55л и 55, ') Силан (Я)чеу, 1954). '") Описываемое ниже явление не показалось удивительным анонимному читателю, который репеизироаал рукописг атой книги для издателя. Ои укааал, что совместное распределение 55а н 33, в перестановочной теории можно рассматривать как условное при данных определенных условиях, нз которых вытекает, что кл53а+а~53 сола).
Легко показать, что в нормальной теории У' 35а/35, не зависит от 53, +55,. Отсюда следует, что в рамках нормальной теории условное распределение У" при данном тл53л + т,33, = сопз1 совпадает с безусловным, когда 55, и 53, независимы. Зтв Гл, а, РАндОмизиРОЕАнные мОдели в этих двум случаях сильно различаются. Обозначим а каждом из этих случаев М(55,) через Оа. В нормальной теории распре- деления 55а и 55, независимы с М (55„) = М (55,) = Оа, 0 (55„) = 2т 'Оа, 0 (55,) = 2т, 'о", где та = / — 1 и т, = (Х вЂ” 1) (Х вЂ” 1); в перестановочиом рас- цределении 55» и 55, полностью зависимы, так как та55а+ + т.55, = сопз1, причем их моменты равны М (55А) = М (55,) = оа, 0 (55А) =2УА О (! — Х )(1 — Х У), 0 (55,) = 2та 'о'Х '(1 — Х ')/); (9.3.17) Перестановочный критерий для латинских квадратов В модели, определенной формулой (9.2,!), Не существует перестановочного критерия для проверки гипотез Х/с, заключающейся в том, что О' =-О, т.
е. главные эффекты фактора С равны нулю. Однако мы можем найти перестановочный критерий для проверки гипотезы О, заключающейся в том, что фактор С имеет все эффекты нулевыми в том смысле, что Ос=пас =оэс= о'„„=9, а технические ошибки (епа) обладают следующим свойством: паа величин (сна), осуществив. шихся в эксперименте, распределены как та величин (ео), распределение которых не зависит от того, какие уровни С комбинируются с уровнями А и В; в частности, в случае (111) в начале $ 9.2 совместное распределение (ен) для та экспериментальных объектов не зависит от того, как «совокупности условий» поставлены в соответствие «объектам». Это совместное распределение (еп) подчиняется условию М (еч) = О, а в ос- ") Патмаа (Риюап, )937, стр. 333 — 333).
(9.3.!7) легко выводится из (9.3.13). Таким образом, 55„и 55, совпадают в обоих распределениях, 0(55а) различаются весьма значительно (более чем в Х раз). ПОКаЗаНО а), ЧтО При 'Р' = 0 ПЕрЕСтаИОВОЧНОЕ раСПрЕдЕЛЕ- пие (/ хорошо согласуется с распределением в нормальной теории по третьим и четвертым моментам. Очень мало известно о мощности г'.критериев при конкурирующих гипотезах в рандомизированных моделях, ие являющихся таковыми в нормальной теории; кое-какую информацию дают только формулы для М(55). $ з.з перестлновочные ЕРмтеРНН зт! тальном произвольно "). При гипотезе Н наблюдение, сделанное при «совокупности условий», когда А находится на з-и уровне,  — на )ем, С вЂ” на й-м, имеет структуру р — !! ! ЕА+ <»В ! пАВ (9.3.18) где ал=аэ =алз~=аАВ =0 при всех !, !.
Напомним читателю, ! что в ситуации типа (111) в начале 9 9.2 (ал!Д являются ошибками объектов (см. текст ниже (9.2.2)). Если латинский квадрат выбран случайно только из одного множества трансформаций, то в этом случае множество б перестановок состоит из (т!)а перестановок строк, столбцов и чисел.
Если множество трансформаций было выбрано с опре-' деленными вероятностями из совокупности всех множеств трансформаций, то перестановочное распределение статистики н его моменты определяются, как и выше, для каждого множества трансформации с последующим взвешиванием с теми же самыми вероятностями. Переста!ювочный критерий для проверки Н, основанный на ~ = Яо/55„равносилен критерию, основанному на статистике 0= Вас/(55«+55,), которая является строго возрастающей функцией от уг; ее знаменатель постоянен для перестановочного распределения, так как члены, стоящие справа в ~~с+ ~~о ~ поли ~ А ~ В+ постоянны.
Точный вывод перестановочного критерия, по-видимому, будет самым простым, если его основывать на сумме квадратов для «чисел» (т. е. уровней фактора С), а именно иа ~. 1ле, где Те — общая сумма В! наблюдений, в которых фактор С находится на уровне й. Число различных квадратов в множестве трансформации в т!(тп — 1)! раз больше числа стандартных квадратов в этом множестве, Так как наша статистика инвариантна относительно т! перестановок уровней С, то число ее различных значений, принимаемых с одинаковыми вероятностями при данном множестве трансформации, в (Вт — 1)! раз бзльше числа стандартных квадратов в этом множестве.
Систематически получить эти значения можно было бы, располагая наблюдения в квадрате, строки и столбцы которого соответствовали бы уровням А и В; при этом надо, отправвтяясь от каждого стандартного квадрата множества трансформаций, рассматривать (т — !)! квадратов, получающихся перестановкой всех строк, кроме первой, из этого стандартного *) Этн предположения гораздо менее ограннчнтельнм, чем в $9.2.
379 ГЛ. Э. РАИДОЫИЗИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ квадрата *). Мы, конечно, должны рассматривать сначала лишь те квадраты, которые могут дать нашей статистике значения, не меньшие наблюденного. Прн и = 4 существует два множества трансформации, в одном нз которых имеется один стандартный квадрат, а в другом — трн; поэтому наша статистика прнннмает 6 значений в одном множестве н 18 — в другом. Этн 24 значения будут равновозможны, если множества трансформации выбираются с вероятностями, пропорцнональными числу стандартных квадратов, содержащихся в ннх; это равносильно тому, что каждый из четырех стандартных квадратов выбирается с одинаковой вероятностью. Критерий в нормальной теорнн с обычными уровнями значимости, очевидно, будет очень нлохнм приближением перестановочного критерия, если т = 4.
Прн т = 5 чнсло значений Р-статнстнкн равно 56Р',4! = 1344, Из формул для М(Я) рандомнзнрованных моделей в Э 9.2 при и'; 0 вытекает, что М(У) в нормальной теории н в пере. становочном распределении совпадают. Была вычислена н 0(У), однако формулы **) столь сложны для численных расчетов, что онн непригодны для практического использования. Поэтому неосуществнмым также является прием, который позволял бы, вводя поправки **') ст. св.
критерия в нормальной теории, получать приближение к точному перестановочному критерию; для этого также нужно знать значение 0(У). К сожаленню, в настоящее время, по-внднмому, единственным обстоятельством, указывающим на то, что критерий в нормальной теории не является слишком плохим приближением перестановочного критерия прн т ) 4, является наличие четырех численных примеров, включенных в таблицу 9.3,2. Последний столбец дает приближенное значение вероятности того, что У ) Уэ прн перестановочном распределении, если Уо равно бого-ному *) В $3.! было установлено, что различные квадраты из множества трансформации можно получить нз множества стандартных квадратов, содер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
