Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 72
Текст из файла (страница 72)
=(Н!)'. Обозначим уп наблюденную выборку (уе!) и обозначим 5(у9) множество (Н)' выборок, полученных из р9 с помощью множества перестановок !е. Для того чтобы легче было установить, что при Н и принятой рандомизации эксперимента все выборки в 5(у9) имеют одну и ту же условную вероятность (при условии, что выборка лежит в 5(у,)), перепишем (9.3.6) в виде ус! = Х !(п.зг», (9.3.7) где я!, = р+ О!+ »Е!о + и!и (9.3.8) является наблюдением экспериментального объекта /, Р. Читатель, не желающий вдаваться в подробности доказательства, может пропустить конец этого абзаца. Мы можем отправляться от произвольного совместного распределения (г!о); тогда при гипотезе Н, по определению, М(Е!,) =е9+Р!+ь!„ откуда в силу (9.3.8) следует М(и!,) = О.
Обозначим через г ВЕКТОР (ЗН,..., гы, г»!... г9!..... ге!,..., гп)' И ЧЕРЕЗ г9 Зиачение, которое принимает г в эксперименте. Каждое частное соответствие в рандомизации «совокупиостей условий» «объектам» определяет !(е!„' все такие соответствия имеют одинаковые вероятности, Вектор у определяется через г с помощью (9.3.7). Иначе говоря, элементы у получаются из элементов я с помощью одной из перестановок 6, причем все такие перестановки равновероятны. Теперь ясно, что при г = г9 все р в 5(г9) равновероятны; здесь 5(аа) обозначает множество выборок порожденных элементами аа с помощью перестановок из !е. Для любого г из 5(я9) множество 5(г) совпадает с 5(г9); поэтому если известно, что я лежит в 5(го), то все у в 5(г,) равновероятны, Наконец, 5(г9) совпадает с 5(уо), а г лежит в 5(г9) тогда и только когда, тогда у лежит в 5(у9). Итак, мы получили доказываемый результат: все у из 5(у9) имеют одинаковые условные вероятности при условии, что у лежит в 5(у9).
Прежде чем вывести точный перестановочный критерий для проверки Н, основанный на статистике еЗЯА зз в которой суммы 55 совпадают с 55, определенными в $4.2, заметим, что 55А+ 55, имеет постоянное значение на множестве 5(у9), так как в равенстве А + е поли В п«ее гл.з. рлндомизиговлннын моднли справа стоят постоянные (на 5(у,)) члены, причем сумма квадратов 55а для блоков зависит только от средних в блоках. Отсюда следует, что У является строго возрастающей функцией от 55„, а следовательно, и от суммы квадратов ~, (~ у,т) . Та! ким образом, перестановочный критерий, основанный на этой статистике, равносилен перестановочному критерию, основанному на У .
Так как на значение этой статистики не влияет перестановка «совокупностей условий», то (!1)' значений разбиваются на множества по )! равных значений, т. е. можно предполагать, что при гипотезе Н ()!)'-' значений имеют одинаковые вероятности. В вычислениях мы можем, фиксируя наблюдения первого блока, производить ()1)'-г перестановок наблюдений внутри остальных блоков. Обычно это число перестановок столь велико, что расчет практически невозможен.
Поэтому мы приведем приближенный расчет. Мы рассмотрим теперь перестановочный критерий, основанный на статистике А ззл+ Х8 он равносилен критерию, основанному на У. Мы предпочитаем строить критерий на статистике (у, а не 55л, так как в этом случае удобно строить приближение, а также сравнивать полученный перестановочный критерий с критерием в нормальной теории. Критерий, основанный в нормальной теории на Р-распределении статистики У, равносилен критерию, основанному на р-распределении (определенном ниже) статистики (!1 но он не равносилен критерию, основанному на йз-распределении статистики 55л.
Статистика (! более удобна, чем У, поскольку в предлагаемом приближении и сравнении используются моменты статистики, а (! в отличие от У имеет при перестановках из О постоянный знаменатель. Сначала мы предположим, что отсутствуют технические ошибки, т. е. о'; =О, а значит, все и;, = О, Таким образом, мы теперь предполагаем, что (9.3.9) ол = олн = оли = о, = ": зти условия являются частным случаем обших условий, при которых справедливы") формулы (9.1.19) для М(55). Из этих ь) прн выводе (9.1.19) мы предполагали, что в рандомнзнроваггнов модели технические ошибки независимы; в нашем случае нмеет место эта незавпснмость, так как аз О.
т $ аз. пеРестлновочные кРитерии формул мы получаем М (55„) = (» — 1) а-', М (55,) = (1 — 1) (7 — П о-', где ай» вЂ” — (»' — 1) ' ~' $»т, последнее можно назвать «дисперсией )-го блока». В предположениях (9.3.9) дисперсии блоков можно вычислить точно по наблюдениям (у»»)! в самом деле, в силу и;, = О нз (9.3.8) вытекает $»,= г;,— г;,; отсюда по- лучаем ой» = (» 1) Х (г»ч г»") ' ч Это выражение совпадает с ай. »(1 — 1)-' Х (и»» - и,»)'.
(9.3.12) Результат (9.3.11) можно выразить через квадрат коэффициента Е Ж, » —.о)' вариации дисперсий блоков )» = з, в следующем (7 — !)(пй ' виде "): (9.3.13) В предположениях (9.3,9) статистика 0 имеет дискретное распределение, сосредоточенное в О ( У (1. Приблизим его (непрерывным) р-распределением с теми же средним и дисперсией. Говорят, что случайная величина Х имеет 8-распределение со ст. св. т! и та (или 8-распределение с индексами т,»2 "] Вела (м»е!сн, !937, стр. 26 — 27), Пптман (Р(тп»ап, (937).
е') Это полезное аыраженне дано Кемпторьом (Кеп»р(ногпе, !932, стр. )42). где ой» (» — 1) 'д д 9»,. Вычисляем постоянное значение 55А+ 55, 55„+55,=М(55„+55,)=У(7 — !) =~ ~:Р Таким образом, математическое ожидание (» равно М(1») = (554 + 55«)-'М(554) = 1 — ', (9.3,10) Дисперсия !» вычисляется довольно сложно; приведем сразу результат без доказательства а) 0((»)=2з' ~(7 — 1) '~1 — ! ои Хой, ф (9.3.11) » ГЛ.В РАИДОМЗГЗИРОВАИИЫЕ МОДЕЛИ и ть,'2), если прн 0 < х < 1 ч,-с Р(Х(х) =с )! з (1 — 1) ' Огч, в где Легка показать, что среднее и дисперсия б-величины равны ) М(Х)= ', 0(Х)= ( „),(' '„, (9.3.14) Приравнивая их значениям М(0) и 0(У) и разрешая полученные равенства относительно тг и тт, мы находим = гр(1 — 1), тэ = гр(à — 1)(У вЂ” 1), где 1 2 гр = 1 — Х 'Г У(1-1) ' (9.3.15) (9.3.16) где 5 = Е уц — Г ~Е уц) .
') Их можно вычислить с помощью интегрировании по частям или жс представлпн М(Х') в виде отношении полных р-функгзгга, выраженных через Г-функции; прн этом надо использовать рекуррентную формулу Г(е+ Ц = уГ(л). Наше приближение перестановочного критерия Н, основанного на статистике К состоит в том, что гипотеза Н отвергается в том случае, когда значение У для наблюдений выборки не меньше верхнего а-предела 9-распределения с вычисленными выше ст.
св. чгг и тз. Если Х есть р-величина со ст. св. чг и тш то чтХ/[чг(1 — Х)1 является строго возрастающей функцией Х и имеет Р-распределение со ст. св. Агг и чгэ. Таким образом, отвергать Н при У, не меньшем верхнего а-предела б-распределения со ст. св. Рг и тт, — все равно, что отвергать Н при Я ) Р„, „,, Таким образом, наше приближение перестановочного критерия для проверки Н, основанное на статистике бг, равносильно видоизмененному критерию в нормальной теории, получающемуся умножением чисел степеней свободы Р-распределения на множитель гр.
Множитель гр можно вычислить по наблюдениям (уг1) с помощью (9.3.15) и э в.з. первстлновочныв кРитеРии 367 Обычно, если нельзя пренебречь отклонением множителя ср от единицы, то оно положительно. Этот критерий, таким образом, более чувствителен, чем обычный критерий в нормальной теории. Просматривая Е-таблицы, нетрудно убедиться, что при а ( О,! и иа » 2 функция У,,,„ „ убывает по и~ и по тз, таким образом, значение статистики У, не значимое в обычном критерии, может быть значимым в видоизмененном. Показано *) также, что б-распределение, подобранное по первым двум моментам (7, имеет также близкие третьи и четвертые моменты, если только )х/з' не близко к 1.
Теперь мы дадим обоснование полученного приближения перестановочного критерия в том случае, когда технические ошибки (иьн) имеют произвольное распределение, подчиненное только условию М (иг») = О. Рассмотрим условные распределения при данных (и„). В этом случае члены (и;,) в (9.3.6) являются константами, а уравнение (9.3.6), описывающее структуру наблюдений, можно записать в виде УО =)з + ()т+ Е с(О~5)~ т где $,'.„= з,.„+ ит, — и ., (3' = (), + и,.„— и„„)з' = (з+ и., н Ц, = О при всех /, (),' = О, так что условное распределение наблюдений такое же, как в (9.3.6), если ($тх) заменить на (Я, ((з,.) на (6'.), )з на (з', а (иьч) в (9.3.6) заменить нулями.
Это условное распределение () совпадает, таким образом, с распределением (7 в предыдущем случае, где (и„) равны нулям, а ($ьт) заменены на ($'.,): это последнее распределение 17 не зависело от )з или (()!). В частности, если в определении дисперсии блоков атп мы заменим йт, на $'„, то эти «условные» дисперсии блоков все еще определяются (9.3.16) в терминах наблюдений (уц), Приближение к «условному» перестановочному критерию получается, если числа степеней свободы критерия в нормальной теории умножаются на ~р, вычисляемое с помощью (9.3.15) и (9.3.16).
Фактически ср теперь есть случайная величина, которая постоянна только по условному распределению. Однако если по условному распределению вероятность ошибки первого рода равна приблизительно а, то та же вероятность будет безусловной. Среди статистиков широко распространена уверенность, что критерии для средних *«), построенные по обычной статистике У и У-таблицаз! (в нормальной теории), являются хорошим ') Питманом (Рцтап, )937, стр, ЗЗ! — ЗЗЗ); его козффнпиент К = (! — з-() (! — 7 'Г). *') Различие мелсду критериями для средних и для дисперсий выясняется в $ !02, в абзаме, следующем за формулой ()02.8).
гл. з. рлндомизировлнныв моднли приближением точного перестановочного критерия, основанного на Р-статистике соответствующей рандомизированной модели. Автор встретил трудности в попытках ясно сформулировать, в каком смысле понимать это приближение. В нормальной теории мы отвергаем гипотезу с уровнем значимости а, если У ) гп, где гп — константа, не зависящая от наблюденной выборки ус, В точном перестановочном критерии мы можем говорить, что мы отвергаем гипотезу, когда У ) г (уе), где значение Р (уо) зависит от наблюденной выборки уе. Выше мы изучили, как приблизить Е„(уе) в схеме случайных блоков, меняя числа ст. св.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
