Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 68
Текст из файла (страница 68)
« / /' (9.1.32) Подставляя (9.1.27) и (9.1.28) в (9.1.32), получаем Р (<р) = Х ' [(ой + а,) ~, с< + Х с<о<, ф (9.1.33) где си=У ~од ! 1 У 2~Еои,!ч (9 1 34) ! !» Напомним, что в (9.1.33) ой относится к ошибкам объектов в блоках, о'„— к компонентам технических ошибок, связанных с объектами, а ох < — к компонентам, связанным с <-й «совокупностью условий>.
Рассмотрим теперь полностью случайный план. Для нашей цели сравнения со случайными блоками нам будет удобно сохранить нумерацию !У объектов двумя индексами, как будто онн разбиты на !' блоков по 1 объектов; однако мы не будем обращать внимания на эти фиктивные блоки при случайном соответствии «совокупностей условий» «объектам».
В предположениях аддитивности этого пункта мы получаем результат наблюдения (если <-я «совокупность условий» применяется к (!,ч)-му «объекту») 14+ а, + й„+ !<!„+ и<!„, К. = ()/+ $!, (9.1.35) (9.1.36) где является эффектом объекта (не в !-и блоке, как $!,). блоков. В крайнем случае ! = 2 ошибки объектов в !-м блоке удовлетворяют соотношению е«+ ех< — — О, поэтому коэффициент корреляции равен ( — 1); то же самое дает (9.1.30). В предположении полной аддитивности ун = р + а, + р/+ е,/+ е / гл. к»лндомизиговэнпыв модели 344 Заметим, что ~, ~, й!, — — О. Тогда ч би=(УУ вЂ” 1Г'2. Х Й. ! « является мерой величины эффекта объектов; ее надо отличать от оэ-меры величины эффекта объектов внутри блоков. Заметим, что о' не зависит от распределения УУ объектов по блокам, а о', зависит.
Возводя в квадрат и суммируя (9.!.36), получаем (УУ вЂ” 1) 6« —.— У (У вЂ” 1) оэ + У (У вЂ” 1) о'-,г (9.1.37) В силу (9.!.35) 1-е среднее «совокупности условий» равно у!=И+о~+У 2 Х6!«(й!.+(ц«+цц,), (9.1.38) « где случайные величины (!ц,) определяются для полностью случайных планов аналогично (А;«), определенных раньше для планов со случайными блоками: Уц, = 1, если 1-я «совокупность условий» применяется к (1,т)-му «объекту», и 0 в остальных случаях. Аналогично (9.1.11) мы получаем У вЂ” вц, У'Ьц, если (1, т)=(1', т').
Если для сравнения (9.1.31) используется несмещенная опенка ф= ~, с,уц то аналогично тому, как мы получали (9,1.33) из (9.1.38) и (9.!.39), получаем !э($)=-У )(бй+о')2 с~+2 с~о), ф (9.1.40) Сравнивая это выражение в (9.1.33), мы приходим к выводу, что план со случайными блоками более эффективен, чем полностью случайный план (в том смысле, что дает несмещенную оценку (9.1.31) с меньшей дисперсией) тогда и только тогда, когда о' <ф, (9.1.41) а это условие не зависит от сравнения (9.1.31).
В силу (9.1.37) условие (9.1.41) равносильно овэ > У 'бц~ нлн о»э > У 'п«п. Ниже, в пРиложении, мы покажем, что пРи случайном разбиении «объектов» на блоки, когда каждое иэ 4 е с слтчаиныи клоки. оценки 345 таких разбиений имеет одну и ту же вероятность, М(ой) = =! М (оеа) = ое . Таким образом, условие (9.!.4!) означает, что наше разбиение на блоки дает ббльщую однородность в блоках (измеряемую о'), чем ее математическое ожидание в случайных блоках. Точное выражение возможного выигрыша при хорошем разбиении на блоки дается выражением (9.1.33); оно зависит от того, насколько малой можно сделать меру оез изменчивости объектов в блоках. Эффективность случайных блоков по сравнению с полностью случайными планами можно определить отношение еГ = = РЯ)/Р(ф) выражений (9.1.33) и (9.!.40) (ай+ азе) ~ с~+ ~' с;4 ! ( 2 + ',) Хс'+ХЬ',, ! ! Оно зависит от рассматриваемого сравнения, если только все о',, не равны одному и тому же о,' в этом случае и ай+ а2 а' +ач и е так как из (9.!.18), (9.1.28) и (9.1.34) вытекает о",=от+ос Используя (9.!.3У), мы можем записать (У вЂ” !) ()аэ + ае) + т (! !» (,~й + а',) (Π— !) (аи + ае) Несмещенные оценки числителя и знаменателя этого отношения выражаются через 55в и 554в, так как в случае полной аддитивности из (9.1.19) и (9.1.24) следует М (55 )=Унт + о', М(55 )=от +оз.
С помощью данных эксперимента со случайнымн блоками мы 'можем оценить эффективность е, достигнутую с помощью нашего разбиения на блоки, ея* = () — !) Л +)(! — !)88 В е ()! !) аае если предположить полную эффективность и равенство (оз,). Заметим, что получаемое при разбиении на блоки преимущество является в какой-то мере платой за потерю в плане со случайными блоками 4' — 1 степеней свободы' из общего числа гл. к гзндомизиговлнньш модели 346 1(7 — 1) ст.
св. «ошибок> в полностью случайном плане. Напомним также наше прежнее замечание о том, что успешное разбиение на блоки может увеличить меру о'„э взаимодействия «блок — совокупность условий». Приложение. Математическ ие о жида ни я о' и ац в случайных блоках Предположим, что имеется конечная популяция М = П объектов с эффектами (ть...,ти), где 2,'«„=0 и а' = л =(й1 — 1) '~т„' Пусть они разбиты на 7 блоков, по ! объек- тов в каждом. Обозначим й„эффект (не в блоках) ч-го объ- екта в )ъм блоке.
Если разбиение на блоки случайно, то Ф;, равно одному из (т„), причем каждое значение принимается 1 с вероятностью —. ,ч Поскольку М(й~",)=Е „Р(й,.= „)=и 'Х „", а и то М (йы) = 0 и 0 (йы) = М (й)«) = (1 — М ) ду. Коэффициент корреляции й!, и й~; при тФт' равен р= = — (й1 — 1)-'. Этот хорошо известный результат для выборки из конечной популяции можно получить из (9.1.30), заменяя ! на У.
Отсюда при т Ф т' получаем М (й~,й; ) =Сот(й~„, йии) =р0 (й!,) = — У 'ап, Так как Ц! —— 7 ~ ~„йы, то ч М®)=7 'ЕХМ(й,й;). (9.1.42) При суммировании в (9.1.42) 7 членов с э=т' имеют вид (1 — У ') йо, а оставшиеся ((7 — 1) членов имеют вид — 7«* а~о Таким образом, МЫ=7 'И1-)Р ')+7(7 — !)( — М-'Лб'=7-'Г'(7 — !)б', М(оз)=(7 — 1) 'ХМ(Й) =7-'дц, / в силу (9.1.37) М (оо) = 7 (7 — 1) ~(77 — 1) ао — 7(7 — 1) М (оэ)~= ай. 347 $ а.а.
ДАтинские кВАдРАты. Оценки 9 9.2. Латинские квадраты. Оценки Метод случайного отбора латинского квадрата обсуждался в 9 5,1, Принятая в этом параграфе рандомизированная модель не зависит от выбора множества трансформаций, содержащего действительно использованный квадрат, а зависит от следующего свойства метода отбора. Все квадраты из множества трансформаций, т.
е. все квадраты, которые получаются из данного перестановкой строк, столбцов и чисел, с одинаковой вероятностью могут быть отобраны в эксперимент. Различные рандомизированные модели с этим свойством подходят к различным ситуациям, трн из которых упомянуты ниже *), 1. Рассматриваются три фактора А, В, С с пт уровнями каждый; пта «совокупностей условий», участвующих в эксперименте, выбираются по плану латинского квадрата. Наблюдения составляются из «истинных» значений наблюдений прн этих «совокупностях условий» плюс случайные технические ошибки, которые не зависят от рандомизации, использованной при отборе латинского квадрата. Эта модель может быть пригодна в физических экспериментах с тремя факторами и не определенными конкретно экспериментальными объектами; три фактора могут изменяться, например, при получении каждого наблюдения на некоторой опытной установке.
(Хотя эта модель и подходит в данном примере, сам план ие будет хорошим, если факторы взаимодействуют.) 11. Та же модель, что и выше, только птз «совокупностей трехфакторных условий» случайным образом ставятся в соответствие та экспериментальным объектам. Эта модель подходит к биологическим экспериментам, в которых экспериментальными объектами являются животные. В модель могут включаться и технические ошибки (подобно 9 9.1). 1П.
Существует лишь один фактор, например С, и в эксперименте участвуют та экспериментальных объектов. Вместо того чтобы случайным образом ставить в соответствие уровни фактора с объектами, мы попытаемся «элнминировать» некоторую неоднородность экспериментальных объектов, группируя их, но не по одному признаку, как это можно сделать в планах со случайными блоками, а по двум признакам А и В. Например, та участков в сельскохозяйственпюм примере % 5.1 классифицируются по строкам и столбцам.
В эксперименте с автомобильными покрышками интересующий нас фактор — это марка покрышки. Мы можем взять пт = 4 и воспользоваться четырьмя автомобилями. Экспериментальными объектами будут *] Некоторые лругис случаи, в которых факторы считаются не абаза. тельно постоянными, рассмотрены Уилком и Кемпторном (цг!!!г, Кепгрг!!огне, !Рву). гл. з, »лндомизиговлнныа модпли 348 тогда 16 покрышек, которые классифицируются по автомобилям и положению на нем.
Если, например, имеется т пометав животных, то мы можем использовать и наибольших животных в каждом помете; таким образом, здесь имеется классификация по помету и по весовому порядку в помете»). Здесь тоже могут присутствовать технические ошибки. Мы не будем рассматривать случай 11, в котором имеются две различные рандомизации: отбор из тз возможных «совокупностей условий» тя, составляющих латинский квадрат, и выбор одного из (те)( возможных соответствий этих «совокупностей условий» с экспериментальнымн объектами. Наша модель будет включать случаи 1 и 111, которые фактически имеют одинаковое вероятностное строение, а отличаются лишь по нашему отношению к факторам А и В.
В случае (1) эти факторы нас интересуют так же, как С, и мы желаем определить нх эффекты; в случае (111) они носят вспомогательный характер и вводятся (а иногда даже определяются), чтобы как-то ослабить влияние неоднородности экспериментальных объектов (аналогично строкам и столбцам в сельскохозяйственном примере). Обозначим уне наблюдение, сделанное при «совокупности условий», состоящей из бго уровня А, 1-го уровня В н й-го уровня С. Мы можем разбить эту величину на истинное значение рл!е = М(уне) и техническую ошибку е~!а, М(ене) = О. Для упрощения наложим на (ене) более ограничительные предположения вв) (по сравнению со случайными блоками), а именно будем считать их независимыми и имеющими равные дисперсии а', Мы имеем в' у, =)т+ал»-ав+ас+алв (-алс 1 авс» цлвс 1 е (921) где генеральное среднее, главные эффекты н взаимодействия определены так же, как в 9 4.5 (мы здесь употребляем Нне вместо т)з!е), и удовлетворяют обычным дополнительным условиям цЯ цлв цлв цлэс — цлвс — цлас — () (() 2 2) *) Здесь можно также рассмотреть план дясперсяоняого анализа с ретрессяей по весу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
